Soustavy rovnic, směsi, poměry

Dobrý den přátelé, já vás zdravím a vítám na lekci 7 našeho přípravného kurzu k přijímacím zkouškám pro devátou třídu. Máme dnes lekci sedm. Možná už jste si všimli tady za mnou, máme soustavy dvou rovnic o dvou neznámých. Tak to je jedna část látky, kterou budeme dnes probírat. Také si vysvětlíme a ukážeme řešení slovních úloh, které budeme řešit právě pomocí soustav rovnic. A mezi takové slovní úlohy samozřejmě také patří takzvané slovní úlohy o směsích. Až se naučíme řešit všechny slovní úlohy, tak si zopakujeme poměry a slovní úlohy na poměry a také se budeme věnovat nerovnicím. Máme toho dneska hodně, pojďme se pustit do práce. Takže vidíte za mnou, jak vypadá vlastně soustava dvou rovnic o dvou neznámých. Všimněte si, že máme tedy dvě rovnice, vždycky je píšeme pod sebe a v těch dvou rovnicích máme dvě písmenka, různá, dvě neznámé. Takže na rozdíl od lekce 5 a 6, kde jsme hledali hodnotu toho jednoho písmenka, té jedné neznámé, tak tady hledáme hodnoty dvě, a to je celé. Těch metod na řešení soustav rovnic je několik, asi jste se je různě učili ve škole. Já vám ukážu tu jednu hlavní, kterou budeme používat a která vám k přijímacím zkouškám bohatě stačí. Takže pojďme si to ukázat na těch příkladech, které jsem tady připravil. Jsme u příkladu jedna. Samozřejmě kdo z vás ví, jak na to, tak nemusí teďka poslouchat, pozastaví si video, zkusí si ty rovnice vyřešit, pak si ho teprve pustí a zkontroluje si, že vlastně jsem nad tím přemýšlel a počítal a že mu vyšlo to samé, co mně. Kdo neví jak na to, tak ani nezastavuje a rovnou řeší se mnou. Tak pojďme. Máme tady tu první rovnici, první soustavu rovnic. Tak já si je takhle vždycky podtrhnu, abych v tom měl pořádek. A teďka o co my se snažíme? My se budeme snažit ty dvě rovnice upravit tak, abych z nich mohl udělat rovnici jednu, o jedné neznámé, protože to je něco, co umíme. Ono to zní možná složitě, ale nic na tom není. Podívejte. My vlastně vždycky budeme chtít ty dvě rovnice takhle shora dolů sečíst. Takže já budu chtít sečíst tento sloupeček, tento sloupeček a tento sloupeček. Abych to mohl udělat, první důležitá věc, vždycky si zkontrolujte, že ty písmenka vám jdou úplně stejně v obou dvou řádcích za sebou. To znamená, máte jedno písmenko, x, a pod ním máte stejné, y, pod ním máte zase y a na pravé straně za tím rovná se máte ty členy bez písmenka. Takhle si tu rovnici vždycky připravíme. Ukážeme si pak v těch dalších, jak si to připravíme. Tyhle jednodušší rovnice už jsou tak připraveny. Takže to je první podmínka. První podmínka, kontrola, mám všude ve sloupečcích stejná písmenka? Ano, mám. Mám tady x, tady mám y a tady mám členy bez písmenka. Tak to mám splněno. To je první podmínka. Druhá podmínka, abych mohl použít tu takzvanou moji sčítací metodu, nebo naši sčítací metodu. Tak, já potřebuji, aby se mi při tom sečtení takhle shora dolů, těch dvou rovnic, aby se mi to jedno písmenko odečetlo. Proč? Protože já budu chtít, abych měl jako výsledek jednu rovnici s jednou neznámou, ze které si spočítám to jedno písmenko. A potom tu hodnotu toho jednoho písmenka doplním do jedné z těch rovnic a dopočítám to druhé. Tak, co musím zabezpečit, aby se mi to písmenko odečetlo? No, já potřebuji, aby v těch obou dvou řádcích bylo to písmenko ve stejné velikosti, ale s opačnými znaménky. Zopakuju, ve stejné velikosti, ale s opačnými znaménky. Vidíte, že tuto rovnici už takhle máme připravenu. Už máme, když se podíváme, tak vlastně obě dvě, x i y, mají stejnou hodnotu. Je to 1x nebo 1y. Ale ty x mají stejné znaménko, to znamená, když já je sečtu, tak z toho dostanu co? x plus x je 2x, jasně. Ale y minus y je 0 a to je přesně to, co chceme. Vidíte, že třeba tady, my už taky, kdybychom začali sčítat v těch sloupečcích, tak se nám ty y neodečtou, protože tady bychom dostali 8x a tady bychom dostali 5y. Takže tuhle rovnici budeme muset dále upravit, abych získal to samé, co už mám tady. To znamená stejný počet x nebo stejný počet y, ale na každém řádku s opačným znaménkem. Nebojte, ale pojďme na to. V téhle úloze vy teď jenom sečtete ty sloupečky. Proč? Zopakuju, protože mám stejný počet y v obou dvou řádcích a s opačným znaménkem, tedy se mi odečtou a x mi zbydou. To znamená, sčítám shora dolů ve sloupečcích, tedy x plus x je 2x, plus y minus y je 0, tedy 2x rovná se a 5 plus 1 je 6. To znamená, tady vlastně takhle já sčítám v těch sloupečcích a vidíte, že ten y se mi odečetl. A už z toho máme jednoduchou rovnici o jedné neznámé. 2x je 6, to znamená, my si vydělíme tu rovnici dvěma a dostaneme, že x se rovná 3. A v tu chvíli známe hodnotu jedné té proměnné a můžeme ji dosadit do libovolné z těchto dvou rovnic. Tak já vyberu třeba tu první, tak zase si to takhle oddělím třeba. A teď místo toho x do téhleté rovnice, já teď sem dám tuhletu rovnici a místo toho x už napíšu trojku. Takže bude platit, že 3 plus y se rovná 5. V tu chvíli já vím, že y se rovná, trojku si hodíme napravo, to znamená 5 minus 3 a y se rovná 2. Takže vidíte, že jsme vyřešili první naši soustavu rovnic, já vám gratuluju, hi-five, kde vy víte, že x má hodnotu 3 a y má hodnotu 2. Takže teď, kdybyste si dosadili sem 3 a sem 2, 3 plus 2 je 5, platí. Tady bychom dosadili 3 minus 2 je 1, taky to platí. Máme vyřešeno. Tak, pojďme si to znovu zopakovat a osvěžit tady na tomhle příkladu. Tak, vy už chápete, že první kontrola bude, máme ve sloupečcích x a y a čísla bez x a bez y? Mám. Dobrý. Druhý krok. Potřebuju si tu rovnici, nebo obě, jednu nebo obě, to je jedno, ty rovnice upravit tak, abych měl stejný počet x, nebo stejný počet y, ale s opačným znaménkem. Jak toho můžu dosáhnout? Zamyslete se. Klidně si to pozastavte a přemýšlejte. Těch možností je spousta. Ale ta nejjedodušší asi bude, když já si řeknu dobře, já potřebuji tady, když si budu chtít třeba odečíst ty y, tak já budu chtít dosáhnout stejného počtu y jako tady. Tedy vynásobím tuhletu rovnici čtyřmi. Vy z těch předchozích dvou lekcí víte, že když tu rovnici vynásobíte nebo vydělíte stejným číslem, tak se hodnota té rovnice vůbec nezmění. To vy víte, že? To znamená, my bez problémů vynásobíme tuhletu rovnici čtyřmi. Ale to by se nám pořád ty y neodečetly. My tedy uděláme co? My tu rovnici vynásobíme minus 4, to znamená minus 4, a dostaneme minus 4 krát 5x, dostaneme minus 20x, že jo? Minus 4y se rovná 4 krát 8, 32, že? To znamená minus 32. Tím jsme upravili tu první rovnici. Teď opíšu tu druhou a dostanu 3x plus 4y se rovná 15. Tu jsem neupravoval. A teď, když se na to znova podívám, první kontrolu mám, písmenka ve stejných sloupečcích mám, to už jsem kontroloval, ale teď už mám stejný počet těch y v obou dvou rovnicích, které mohu shora dolů sčítat. To znamená, minus 20 plus 3 je minus 17x, sečetl jsem zase. Minus 4y plus 4y, když to zase sečtu, tak je 0, takže nepíšu nic. A minus 32 plus 15 je minus 17. Je to tak, minus 17. Takže já vím, že minus 17x se rovná minus 17, my si teďka celou tu rovnici vydělíme minus 17 a tedy dostaneme, že x se rovná 1. Výborně. A teď zase můžu dosadit třeba do té první rovnice, proč ne? To znamená, já teď vezmu tu první a napíšu ji sem, ale místo x už napíšu tu hodnotu. To znamená 5, že 5 krát 1 je 5, plus y se rovná 8. A teď už vlastně vím, že y se rovná 8 minus 5 a tedy y se rovná 3. Tak a máme vyřešeno. Takže vidíte, že v téhleté rovnici už jsme pomocí té úpravy, tady to je ta úprava, způsobili nebo zařídili to, že máme stejný počet těch písmenek, ale s obráceným znaménkem. Tak, pojďme se podívat a zopakovat úplně to samé zde. Tak, co teď můžu udělat? Zkontroluji, že jo, první kontrola. Mám všude ve sloupečcích stejná písmenka? Mám, že jo, jedno, druhé, mám v pořádku. Protože mám x, mám y, mám číslo bez x a bez y. Tak, a teď se podívám. Když to sečtu takhle shora dolů zase, odečte se mi jedno písmenko? No neodečte. Tak to musím upravit. Zamyslete se, čím bych mohl kterou rovnici co nejjednodušeji vynásobit, abych dostal, aby se mi to jedno písmenko odečetlo. Co? No, asi nejjednodušší bude, aby se mi odečetlo to x tentokrát, že jo? Takže já tady to x zvětším na dvojku, ale udělám z toho mínus, protože plus 2, mínus 2 bude 0 a to x bude pryč. To je to, co jsem chtěl. Takže udělám krát minus 2. A tedy první rovnici opíšeme, to znamená 2x plus 3y se rovná 16. A zde už opíšeme tu vynásobenou mínus dvěma. To znamená minus 2x plus 4y se rovná plus 12. Že jo, mínus krát mínus je plus. Tak, zase si podtrhnu a sčítám shora dolů v těch sloupečcích zase. To znamená, ty x se mi odečetly, to je to, co jsem chtěl. A 3 plus 4 je 7y se rovná 16 plus 12 bude 28. Tedy, já teď tu rovnici vydělím 7, děleno 7, a dostaneme, že y je 4. Hurá! Tak, máme jedno písmenko. Pojďme si pro změnu dosadit třeba do této rovnice. Je úplně šumák, do které té rovnice si dosadíte. Vždycky vám to musí vyjít. Vyberte si vždycky tu, která je jednodušší. Já vidím, že tady ty číslička jsou menší, dosadím si do té menší, protože se mi nechce počítat tak velká čísla. Tedy x opíšu, y je 4, takže 2 x 4 je 8, to znamená x minus 8 se rovná minus 6. To znamená x se rovná, minus 8 přesunu na druhou stranu, to znamená 8 minus 6, a x se bude rovnat dvěma. A máme zase řešení. Takže vidíme, že řešení této rovnice je x rovná se dvěma, y rovná se čtyřem. Teďka něco jenom o zápisu těch výsledků. Já jsem tady neměl místo, takže podívejte, ty výsledky můžeme zapsat tak, že zapíšeme [x; y] se rovná a teďka do hranatých závorek, když zapíšu to řešení pro tuhletu rovnici, tak napíšu [2; 4]. Takhle hezky se zapisují ty výsledky. Takže x, y mají hodnotu, x má hodnotu 2, y má hodnotu 4. Takhle můžete zapisovat výsledky soustav rovnic. Takže to jsou příklady 1a, b a c. Tak a pokračujeme v příkladu 1. Máme tam další tři rovnice. Pojďme si rychle ukázat, jak na to. Kdo samozřejmě víte, můžete už začít, potom si zkontrolujete, kdo ještě váhá, počítá se mnou. Tak, hele, máme soustavu rovnic, kterou máme vyřešit. První kontrola. Mám písmenka v jednom sloupečku, mám x v prvním, ano, y v druhém, čísla bez x, bez y v tom třetím za rovná se, mám. Tak. A teď se na tu rovnici podívám a zamyslím se, abych se zbytečně nedřel při tom výpočtu. Protože když se na to dívám, tak vidím, že ty rovnice mají docela velká čísla. Vy vidíte, že my teď tu rovnici budeme chtít nějak upravit, aby když to takhle sečteme, tak aby se nám vlastně jedno z těch písmenek odečetlo. To znamená, že my musíme upravit obě dvě ty rovnice, něčím je vynásobit, tak jak jsou zadané, abych měl stejný počet x nebo stejný počet y. Co to znamená? Buď bych musel ty x vynásobit čím? Třinácti, tuhletu celou rovnici, a tuhletu třeba minus třemi, že jo, abych dostal stejný počet x. Nebo bych tuhle rovnici musel vynásobit třeba minus čtyřmi a tuhletu devíti. Pořád dostanu velká čísla, můžete si to vyzkoušet. Já si tady všiml, že vlastně tady mám 3, 9 a 42. Všechny ty čísla jsou jaká? Jsou dělitelná bez zbytku trojkou, že jo? A vy vidíte, že já můžu libovolnou rovnici vynásobit nebo vydělit, pokud to udělám u všech členů, je to ekvivalentní úprava, nic se mi nezmění a dostanu tu samou rovnici s menšími čísly. A to se mi hodí, že jo? Takže kdo se nad tím z vás zamyslel, tak ho napadlo, že v prvním kroku, než to něčím násobit a snažit se jako získat stejné velké číslo, tak možná v prvním kroku bude dobré, když já si tady umáznu tu šipku, abych si tuhle rovnici vydělil třemi. To znamená, z té první rovnice dostanu x plus 3y se rovná a 42 děleno třemi je 14. Takže když si znova, tady ta rovnice nejde ničím vydělit, takže ji musím opsat. Dostanu 13x plus 4y se rovná 42. Ale už je ta soustava mnohem hezčí, že jo? Proč? Protože mně stačí, když si teda řeknu, že tuhletu celou rovnici vynásobím minus 4 teďka. Tím dostanu a tuhletu třemi. To bych mohl. Anebo bych mohl celou rovnici vynásobit minus 13. Ale mně se možná líbí vynásobit tuhletu rovnici minus 4. A tuhletu rovnici budu chtít vynásobit třemi. Tak, co se mi stane? Hele, minus 4x. Teď dostanu minus 12y se rovná a 4x14 je minus 56, že jo? Pokud správně, tady je takhle minus 56. Tak, a teď tuto třemi vynásobím, takže 3x13, to zvládnu, to je 39x, že jo? Plus, tady mám hurá 12y, vidím, že už mám stejný počet y, to jsme chtěli, no a musím ještě vynásobit 3x42, a to je 126. Tak, vidíte, že to nebylo tak hrozné úplně, i u přijímaček to zvládneme v tom stresu. Takže, teďka můžu konečně sčítat, to znamená, minus 4 plus 39, dostanu co? 35x. 35x. A ty y se mi odečetly. To je to, co jsem chtěl. A minus 56 plus 126 je 70. Jo? Paráda. Tak. To znamená, já vydělím tu rovnici 35 a dostanu, že x se rovná 2. Jo? Paráda. No. A teď už vlastně já můžu dosadit třeba do téhleté hezké malé rovnice. Jo? To znamená, já teď vím, že x je 2, takže napíšu 2 plus, já bojuju s místem, tak jsem to chtěl co nejjednodušší, 2 plus 3y se rovná 14, že jo? To znamená, z toho plyne, že 3y se rovná 12, a je jasný, že y se bude rovnat čemu, když to vydělíme třemi takhle, že jo? Tak dostanu, já to napíšu takhle sem, y se rovná 4. Hurá! To znamená, řešení téhleté hrozné rovnice, já jsem si na ní nechal málo místa, je x se rovná 2, y se rovná 4. Jo? Tak. Takže tady jste se naučili, že je potřeba nad tou soustavou trošku přemýšlet, abyste si zjednodušili život. Jo? Protože vy nebudete mít kalkulačku u přijímaček. To znamená, já jsem se zamyslel a řekl jsem si, ale proč bych tady násobil takhle ohromná čísla? Když tuhletu rovnici si můžu krásně vydělit třemi, všechny členy, a dostanu z ní tuhletu hezkou rovnici už. A teď už to bylo všechno mnohem jednodušší, že jsem mohl použít menší čísla. Tak, abych to zrychlil, a vím, že ty lekce jsou dlouhé, ale hodně se toho naučíte, tak budeme pokračovat dál. Podívám se na tuhletu rovnici. První krok, zkontroluji. Mám stejné x? Mám. Mám y? Bomba. Tak, potřebuji dostat stejný počet x nebo y. Hm, tady už mám ty správná znaménka. Tak dobrý, tak co udělám? No, tuhle rovnici bych vynásobil teda dvěma, že jo, abych dostal 6y a tuhle rovnici vynásobil třemi, abych dostal zase minus 6y, jednoduchý. To znamená, po té úpravě vy dostanete 8x plus 6y se rovná 28 a tady dostanete po vynásobení třemi 9x minus 6y, že jo, se rovná a 3x19 je 57, jo? A teď už byste to takhle sečetli, odečtou se vám ty y, můžeme ještě ukázat, jo? Ale vy si to pak už dopočítáte sami a zkontrolujete proti výsledkům, jo? Takže tady dostanete 17x se rovná a tady dostanete 85. A teďka, když vydělíte 85 sedmnácti, tak dostanete, že x je co? Takhle uděláme děleno 17 a my víme, že 85 děleno 17 je 5, že pokud správně se koukám, 5x17 je 85. To y už si dopočítáte sami, doplníte to x třeba do téhleté rovnice, dejte za x 5 a dopočítejte. Tak, hele, já jdu dál a mám tady tuto další rovnici. Tady poprvé, doufám, že jste si něčeho všimli, všichni si to zastavte a přemýšlejte, co je jiného poprvé na téhleté rovnici. Dobrý, už jste si to pustili, anebo jste se na to vykašlali a neřešíte to. Podívejte, musíte řešit to, že kontroluji ve sloupečcích, mám stejná písmenka? Ha, nemám. No, to se vám může stát, ale to vůbec nic nevadí. Proč? Protože ta první je dobře. Já ji opíšu. x minus 8y se rovná 37. No a tu druhou, já si tam můžu ty členy libovolně přehazovat. Na tom pořadí tady vůbec nezáleží. To znamená, já si to jenom potřebuju napsat jako 12x plus 6y se rovná minus 66. Tak a teď máte tu rovnici, kterou budete řešit. A asi vidím, že tuhle tu rovnici bych si ještě upravil být vámi. Takže tuhle bych si nechal. x minus 8y se rovná 37. Tu bych si nechal. Ale co bych udělal s touhletou? Abych tady neměl tak velká čísla. Hm. Ano, vydělil bych ji 6. Děleno 6. Takže ta druhá, tu bych zapsal jako 2x plus y se rovná minus 11. Tak. A teď už vidím, že asi nejjednodušší by bylo v dalším kroku třeba tuhletu rovnici vynásobit minus dvěma. To bychom mohli. Anebo bychom museli tuhle spodní vynásobit 8. Je to na vás. Zase rovnici si dopočítáte a zkontrolujete podle výsledku. To hlavní jsem vám tady ukázal. Ten návod. V tuhle chvíli už musíte být schopni sami tu rovnici vyřešit. Pokud ne, vraťte se k těm příkladům ABC, kde je celý ten postup, nebo i tady v tom D. A zkuste si ujasnit, co vlastně děláme. Teď už víte, že musíte vynásobit tak, abyste měli stejný počet x nebo y, takže jsem poradil, že můžu tuhle rovnici vynásobit minus dvěma. A ještě teda napíšu, že jsem v dobrém rozmaru tady, minus 2x plus 16y se rovná a 2x37 je 74, že jo? Takže minus 74. A tady opíšeme 2x plus y se rovná minus 11. A teď už to sečtete, ty x se vám odečtou, vy dostanete nějakých 17y a počítáte dál. Takže to jsou příklady, to víte teď, teď víte jak na to u příkladu DEF. Tak a pokračujeme s těmi posledními třemi příklady G, H a J. Zase ukážeme si, jak na to. Vy jste si možná všimli, že ty tři poslední soustavy samozřejmě vypadají nejhůř, protože teď už jste hrozně zkušení v řešení soustav, takže si můžeme zkusit ukázat i nějaké ty formy, které se musí trošku upravit. Tak, tady jste si všimli, že to není úplně hezký, že jo? Nemám to x, za tím y, za rovná se a nějaké číslo. Co s tím teda udělám? No, upravím si to, že jo? To znamená, podtrhnu, tahle druhá rovnice je hezká, ta je v pořádku, má x, y a číslo. Tahle první ne, co s tím udělám, abych z toho dostal tenhle tvar? Co s tím udělám? No, jasný, vynásobím ji tím 2y, abych se vlastně zbavil toho jmenovatele. Je to stejné jako krácení u rovnic se zlomkem, když si potřebujete vykrátit jmenovatele. Takže co se nám stalo? Ty 2y se nám vykrátily, že jo? Takže tady nám zbylo x minus 3 a na druhé straně 1 krát 2y je 2y. Abych v tom měl pořádek, tak opíšu tu druhou. 5x plus y se rovná 4, to nebudu měnit. A teď se podívám. Mám to vyřešené, že bych měl ve sloupečcích písmenka stejná? Nemám, teda tady mám problém, že jo? Takže tuhle rovnici ještě přepíšu na x a teďka jenom ty 2y hodím sem. Takže musím změnit znaménko, to znamená minus 2y se rovná 3, že jo? A tu druhou už opíšu, 5x plus y se rovná 4. Tak, a teď už máte rovnici, kterou vy hravě zvládnete, já vám poradím, vynásobte si třeba tuhle rovnici dvěma a sečtěte, jo? V těch sloupcích, máte hotovo. Tak, podíváme se tady na rovnici se zlomky. Tak, úplně stejně. Jako jsme měli rovnici o jedné neznámé se zlomky, tak tady budeme řešit akorát dvě. Jo, jinak je to stejné. To znamená, čím vynásobím tuhle rovnici? Říkáte si, no jasně, 12, že jo, proč se ptá, správně? Krát 12, to znamená 12 děleno 3 jsou 4, takže dostaneme 4x plus 12 děleno 2 je 6, takže dostaneme 6y se rovná 11 krát 12, což je 132. Tuhle druhou vynásobím čím? No, 2, 3, 4, tak vidím, že ji musím vynásobit 12, že jo? Nic jiného mi taky nezbývá, takže taky krát 12. Tak, takže dostanu 6x, že jo? 12 děleno 2 je 6, krát x je 6x, plus 12 děleno třemi jsou 4, takže 4y se rovná 12 děleno 4 jsou 3 krát 9, je 27. Tak a zase máte rovnici, soustavu, už máte všude x, všude y, čísla bez x, bez y, budete chtít si vynásobit, budete muset vynásobit obě dvě ty rovnice, že jo? A nevím, je to na vás, jo? Můžete si třeba říct, hele, já bych chtěl mít 12x a minus 12x, no tak kdybych tuhle tu rovnici vynásobil třemi, že jo? A tuhle bych vynásobil minus dvěma, tak bych dostal. Já vám jenom ukážu ten první krok zase, kdo váhal. Takže bych napsal 12x plus 18y se rovná 396. A tady bych měl minus 12x, hurá, plus, teda minus, jo, musím dávat pozor, nedávám pozor, minus, ale vy dáváte, 8y a 2 x 27 je minus 54. A teď už můžete sčítat a hurá máte vyřešeno. Dostanete tady vlastně 10y a tak dále. Vyřešte si sami. Poslední, tahle úprava. Zase, vidíte, že teď jsem vám ukázal ty nejhorší druhy těch soustav, co můžete mít. Tady to bylo takhle jako zamíchané, takže vy si to upravíte, roznásobíte, zase umíte. Když tam budete mít zlomky, tak víte, že vynásobíte tak, aby se vám ty jmenovatele pokrátily a máte krásnou soustavu. Poslední je, když tam budete mít nějaká desetinná čísla, tak samozřejmě můžete počítat s těmi desetinnými čísly. To znamená, úplně by stačilo vynásobit třeba tuhle tu rovnici minus dvěma. Takže bychom tady tuhle tu rovnici dostali minus žádná celá 2y a měli byste úplně v pohodě vyřešeno. Takže vůbec to není problém. První možnost je, že bych si vynásobil vlastně mínus dvěma a opsal bych si 2,5x plus žádná celá 2y se rovná mínus 4. A tady bych dostal mínus žádná celá 4x a mínus žádná celá 2y se rovná mínus žádná celá 2. To je první možnost. No, a teď vlastně vidíte, že byste dostali 2,1x se rovná a tady byste dostali minus 4,2. A to je asi jednoduchý. A druhá možnost je, kdo by chtěl, tak určitě si to můžete vynásobit deseti, klidně. Obě dvě ty rovnice, nejdřív, abyste dostali celá čísla. Můžete, jo, nic na tom není. Takže já si myslím, že teď jsem vám ukázal vlastně ten návod na to řešení i těch posledních tří rovnic. A já věřím, že po tomhle, ti z vás, kdo si to pečlivě spočítá, už umí řešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých sčítací metodou. Je to metoda, která se říká sčítací, je nejlepší podle mého názoru, nejjednodušší a dá se použít vždycky. Takže sčítám shora dolů v těch sloupcích, zkontroluji si vždycky, že mám stejná písmenka, potom vynásobím jednu nebo obě rovnice tak, abych tam měl stejný počet x nebo y, prostě jednoho z těch dvou písmenek s opačným znaménkem. Sečtu, jedno z těch písmenek se mi musí odečíst a mám z toho jednoduchou rovnici o jedné neznámé. Tak jo. Tak, přátelé, a teď využijeme ty nabité znalosti, ty schopnosti výpočtu té soustavy rovnic pro řešení slovních úloh. Takže jako první dvě si tady uděláme takové ty nejtypičtější slovní úlohy, které se velice krásně vyřeší soustavou rovnic. Ta úplně asi nejznámější je ta o hlavách a nohách nějakých zvířátek. Tak já jsem neodolal, abychom si ji tady neudělali. Takže na statku mají ovce a husy. Celkem je tam 13 zvířátek a ta zvířátka mají celkem 40 nohou. Kolik tam je ovcí, kolik tam je hus. Příklad, který už jste řešili aspoň stokrát, ale určitě neuškodí si ho ukázat tou soustavou rovnic a říct si vlastně, jak je ta soustava rovnic šikovná na to. Takže vy víte, že vlastně ta otázka je, kolik je ovcí, kolik je hus. No tak, pojďme si říct, že x bude počet ovcí třeba, jo, počet ovcí a y bude počet hus. Počet hus. Tak, a teď je jasný, že vlastně v té úloze se mluví o čem? O nohách, že jo, těch zvířátek, a o hlavách. Takže my budeme mít dvě rovnice, jednu o nohách a jednu o hlavách. A takhle to je vždycky v těch soustavách, jo. To znamená, pojďme si tady napsat, že budeme mít teda tu rovnici o nohách. Nohy, dvojtečka. Tak jak bude vypadat ta rovnice o nohách? Zkuste si každý říct, zastavit, zamyslet se a pak si to zkontrolovat. Takže já bych řekl, že ta rovnice o nohách bude taková, že já vím, že ovce, aspoň taková ta zdravá normální, má čtyři nohy, pokud není nějaká chudák handicapovaná. Takže zdravá ovce má čtyři nohy a je tam x počet ovcí. Plus zdravá nehandicapovaná husa má dvě nohy, takže tenhle počet hus krát dvě nohy, mi dává dohromady, kolik to je nohou, čtyřicet, co tam mají ty zvířátka. Tak, no a hlavy, tam je to ještě asi jistější, že jo? Každý zvířátko má jednu hlavu, zase pokud není nějaký zvláštní. A není drak třeba. Takže my máme ale jenom ovce. Ovce má jednu hlavu. Plus máme nějaký počet hus. Husa má jednu hlavu. A dohromady tam těch zvířátek je 13. Hurá, jo? A máte soustavu. Vidíte, že vůbec to nebolelo. Je to logický. Teďka už víme, co? Že si vynásobíme třeba tuhletu rovnici minus dvěma. Vy si to zkusíte sami. Takže dostanu 4x plus 2y se rovná 40. Dostanu minus 2x minus 2y se rovná minus 26, že jo? Šup, podtrhnu, sečtu shora dolů, tak jak jsme trénovali, to znamená dostanu 2x, y se mi odečetly a 40 minus 26 je 14, že jo? To znamená, vydělíme dvěma a dostanu, že x, tedy počet ovcí, je 7. Hurá, počet ovcí je sedm, máme ovečku, jo. Jo, ta má ty čtyři nohy. A máme tady, dopočítáme ty husy, jo, ještě ouško takhle, jo, ouško, tak, to je veselá ovečka. Teď vlastně si vložíme třeba do téhleté nejjednodušší rovnice, že se nechceme trápit, to znamená, píšu sem 7 plus y se rovná 13, v tu chvíli y se rovná 13 minus 7, y je 6. To znamená, hus je 6 a to jsou ty husy, který mají vlastně dvě nohy. Takže vidíte, že jsme úspěšně zvládli pomocí naší soustavy úlohu o zvířátkách. Tak to je paráda. A teď si zkusíme další úlohu, takovou obchodní, často bývá u přijímaček. 5 kg jablek a 7 kg hrušek stojí 147. 7 kg jablek a 3 kg hrušek stojí 131. Já jsem vám tady naschvál dal velká čísla. Já bych chtěl, abyste se naučili násobit. Aspoň třeba vy jste lepší doma, ale studenti, kteří chodí sem ke mně do prezenčních kurzů, často násobit příliš neumí. Proto to musíte opakovat všichni. Násobení, dělení, hele, apeluju, trénujte. Takže my si zase musíme říct úplně stejně jako u zvířátek. Co bude to naše x a co bude to naše y? To udělejte vždycky a zapište si to. Já si napíšu, že x bude cena za 1 kg jablek třeba a y bude cena za 1 kg hrušek. Takže už vím, co je x a y. A teď vlastně jenom tu větu. Mám tam dvě věty, to znamená dvě rovnice. Tak, 5 kg jablek bude stát kolik? Když jedno kilo stojí x, tak bude stát 5x, že jo? 5x plus 7 kilo těch hrušek bude stát 147. A teď vím, že 7 kilo těch jablek plus zase jiná kombinace, 3 kilo těch hrušek bude stát 131. Jo? Tak. A vidím, že mám takovou nehezkou soustavu rovnic, protože nejde moc ničím vydělit, dostanete velká čísla. Hele, já bych osobně, kdybych byl na vašem místě, tak bych si asi vynásobil tuhletu rovnici třemi. Snažil bych se zbavit y. Takže krát 3 a tuhletu druhou bych vynásobil minus 7. Takže když to uděláte, tak dostaneme co? 15x plus 21y se rovná 3 krát 147 je myslím 441, ale to si spočítáte sami. A tady dostanete minus 49x. Aha, tady má být x, pardon. Takhle, tak, to doufám, že jste si všimli. A tady bude minus 21y se rovná a 7 x 131 je 917. Takže minus 917, jo? A když to takhle dopočítáte, doufám, že počítáte sami, jo? Tak dostanete, že jo, tady 0, tady dostanete minus 34x a to se bude rovnat minus 476, jo? A teď, hurá, zase natrénujete dělení. To se vám fakt bude hodit. To znamená, vy to vydělíte minus 34, takže spočítáte si kolik je 476 děleno 34 a dostanete cenu jablek. Já už to nenapíšu, že chci, abyste si to vydělili. Aspoň na kalkulačce prostě. Ale kdo má nějaký pud sebezáchovy u přijímaček, chce natrénovat, tak si to vydělí bez toho na papír. A potom si to dosadíte do libovolné z těch rovnic, to x, třeba do té první a dopočítáte si to y. Takže potom, když bych třeba dosadil do téhle rovnice, tak po tom dělení, hele, vy už jste si to asi udělali, tak já to řeknu, mně to vyšlo 14, takže vlastně tady bych dosadil teda 5x14, to vím, to je 70, plus a tady bych měl 7y se rovná, a tady bych měl teda 147. A vidíte, že teď vlastně bych dostal, že 7y se rovná 147 minus 70, to je 77. No a z toho vyplyne, když to vydělím 7, že y se rovná 11. Tak abych to sem mohl napsat, děláme ty první dvě slovní úlohy, tak jsem chtěl, abyste měli výsledky. To znamená ty jablíčka, že jo? Jablíčka stojí kilogram, kolik to stojí? 14 korun. 14 Kč. A ty hruštičky, to mě baví, stojí 11, jo? Takže k tomuhle jste se měli dostat. Jinak samozřejmě výsledky tam máte, kontrolujte si ty příklady proti výsledkům. Ale vidíte, tohle je přesně ten typ slovních úloh, které se velice hezky vyřeší soustavou. Jak poznáte, že to je úloha na soustavu, nebo ideální slovní úloha na soustavu? No jsou tam nějaké dvě neznámé. Máme tady počet ovcí, počet hus. Tady máme kilo jablek neznámé a kilo hrušek. Takže vidíte, že když tam jsou dvě neznámé věci, tak dokážu zapsat dvě rovnice, vyřešíme. Tak jo. Tak a svištíme dál. Máme tady tu slovní úlohu na ty směsi, že jo. Mícháme nějaké dvě věci. Tady mícháme, jako vždycky, v cukrárně nějaké mandle. Mandle v čokoládě, jsou v bílé čokoládě, jsou v černé čokoládě, jo. Takže vy jste si určitě už přečetli, jo. Kdo si nepřečetl to zadání, tak si to teďka pozastaví a v klidu si ho přečte. Aby buď si to zkusil vyřešit sám, anebo aby mohl rozjímat a přemýšlet se mnou. Ale když to nemáte přečtené, tak akorát prostě to opisujete a to není to, co chci. Takže my víme, že namíchali 35 kg směsi. To je ten pytel. Když si představíme ten pytel, tak tady v tom pytli, to je ta směs, tam máme ty černé nějaké a máme tam nějaké ty bílé mandle, že jo. My ale, že jo, takhle tam nasypali černé a takhle tam nasypali bílé. A víme, že celé, celý ten pytel, jo, celý ten pytel váží 35 kilogramů. 35 kilogramů. Ale nevím, kolik tam nasypali těch černých a nevím, kolik tam nasypali těch bílých. To je to, co musím zjistit. Já vím, že celý ten pytel váží 35 kg a u toho pytle je cedulka, kde je napsáno, kolik stojí za kilo, 200 Kč za kilo, ta směs. Takže u toho pytle je napsáno 200 takhle. U toho pytle. Takže máme 35 kg pytel, plný černých a bílých mandlí. U toho pytle je cedulka 200 Kč/kg. Tak, a vy máte zjistit, kolik tam je vlastně, kolik kilogramů tam je těch černých a kolik je tam těch bílých. Tak, pojďme na to. Směs se skládá z mandlí v bílé čokoládě s cenou 240 Kč/kg. Takže ty bílé, jo, to stojí 240 Kč/kg. A ty černé jsou levnější, ty stojí, jo, takže já tady mám takhle, nevím, kolik to je kilogramů, nevím, kolik to je kilogramů, ale vím, že stojí 190 Kč/kg, jo. Tak jsem tady takhle na malý obrázek nahustil vlastně to schéma, ten zápis toho našeho příkladu. Takže my si řekneme, vždycky si zadáme ty dvě proměnné. Co budou ty neznámé? To byste na to měli teď přijít každopádně. No to je to x a y, že jo? Takže čemu? Co bude to x? x bude to množství kilogramů, jo? A já začnu, můžu dát takhle, nebo obráceně to udělám, tady dám, protože se mluví nejdřív o bílých a pak o černých, tak tady to bílé bude x, jo, a tady to černé bude y, abychom v tom měli trochu pořádek. Měl jsem to v obrázku obráceně. To je jedno. Takže mám množství černých, mám množství bílých, nevím, kolik to je, to znamená x je počet kilogramů bílých mandlí v tom pytli a y bude počet kilogramů černých. Když si to uděláte obráceně, vůbec to nevadí. Jo, je to jedno. Tak, já jen chci, že tady mám v textu, že se skládá z bílých a černých, tak abych to měl prostě v tom pořadí. Jo, ale je to úplně jedno. Tak, takže my budeme skládat tu naši soustavu rovnic, tu úlohu na ty směsi, ze dvou rovnic. Jedna rovnice bude o čem? No, ta bude o těch hmotnostech. Takže, co my víme o těch hmotnostech? Že jsme do toho pytle nasypali x kilogramů těch bílých plus y kilogramů těch černých a celkem těch kilogramů bylo kolik? Ano, 35 kilogramů. Jo, 35. Tak, no a jaká je ta druhá informace? Ta druhá bude o ceně, správně, že jo, o ceně. To znamená, jaká byla cena těch mandlí, co jsem tam nasypal, těch bílých. Já jsem tam nasypal x kilogramů a každý to kilo mě stálo 240. To znamená, nasypal jsem tam hodnotu 240 krát x. Tohle je cena, tohle je hmotnost. Plus 190 je zase cena za kilogram. A y kilogramů jsem tam nasypal. No a jaká je cena toho celého pytle? Když já přijdu do té cukrárny a řeknu, hele, zabalte mi celý pytel. Tak kolik zaplatím za ten pytel? No 200 stojí kilo, ten pytel váží 35, no tak tam vysolím 7000. To znamená, já to tady napíšu, je to 200, to je cena za tu směs, krát těch 35. A vidíte, že máme konečně soustavu rovnic. A takhle fungují všechny úlohy na směsi. Jedna rovnice je, kolik jsem tam prostě těch věcí nasypal do té směsi a kolik váží celá ta směs. Druhá ta rovnice je třeba o ceně těch věcí, které míchám, anebo ony můžou mít nějakou koncentraci. Když pak budete počítat kyseliny, tak prostě budou mít nějakou koncentraci. A to je to samé jako ta cena. Prostě se tam dá jenom ta koncentrace. A koncentrace toho finálního roztoku. To je celý. Takže teďka už máme tuhletu rovnici. Já opíšu tu první. x plus y je teda 35. A tu druhou, když na to koukám, tak bych si rovnou vydělil deseti. Vidíte, že jo? To znamená, napsal bych 24x plus 19y, takže já jsem si to ještě vydělil deseti, protože nechce se mi počítat s takovými čísly. A tady budu mít o nulu míň, to znamená, budu mít 700, že jo? 700. Tak. Takže teď vidíme, že asi bude nejlepší vynásobit, menší je ta devatenáctka, tak vynásobíme krát minus 19 a dostaneme minus 19x minus 19y se rovná, a 35x19 spočítejte, a už to máte, a dostanete minus 665. Druhou opíšu, 24x plus 19y se rovná 700. Tak, no a když to sečtu, tak tady mi zbyde 5x, že jo? Jo, sčítám shora dolů, se rovná a tady mi zbyde co? 35. Takže z toho plyne, že x má velikost 35 děleno 5, takže 7, že jo. To znamená, já to napíšu takhle sem, 7 kilogramů. Jo, 7 kilogramů. Tady už můžu umazat ten otazníček a vím, že jsem tam nasypal 7 kilogramů. A takže tady takhle napíšu x rovná se 7. No a to y už je hrozně jednoduchý, protože když jsem dosadil 7, že jo, tak je jasný, že to y bude kolik. To už si každý spočítáte. 7 a kolik je 35? Ano, a 28. To znamená, tady už můžu směle napsat 28 a mám to vyřešeno. Takže já bych teď chtěl, abyste si to kdyžtak jako pozastavili, nebo si to pustili ještě jednou někdy a zamysleli se, jak vlastně funguje ta slovní úloha na ty směsi. Že já míchám dvě věci dohromady. Ta směs, nebo taky ten roztok, když by to byly tekuté věci, tak má nějakou celkovou hmotnost a má nějakou cenu. Nebo u roztoku by měl nějakou celkovou koncentraci. To je stejné. A vy znáte ty počáteční ceny nebo koncentrace těch jednotlivých roztoků nebo těch částí směsi, to je to samé. No a uděláte vždycky dvě rovnice. Jednu o množství toho, co jste tam sesypali, a druhou o té ceně nebo o těch koncentracích. Takže ta první je vždycky o té hmotnosti a tu druhou vezmete vlastně tu samou rovnici a jenom to vynásobíte těmi příslušnými cenami těch komponentů, anebo jejich koncentracemi. A sem samozřejmě vyjádříte tu celkovou cenu za tu jednotku té směsi nebo toho roztoku. Jo, a to je celý. Takže takhle funguje slovní úloha na směsi. Tak, jdeme dál. Máme další úlohu. Do obchodu vozí mléko a energetické nápoje. A teď víme, že dvě bedny mléka váží o deset víc než dvě bedny energetických nápojů. Bla, bla, bla, vy jste si to přečetli. Máme určit, kolik váží bedna s mlékem a kolik váží bedna s nápoji. No tak hele, já si zase musím říct, co je to x, to je hlavní. Takže tady napíšu, že to je hmotnost bedny s mlékem a y bude hmotnost bedny s nápoji. Jedna bedna s mlékem, jedna bedna s nápoji. A teď už když máte tenhle zápis, tak byste měli teďka už všichni zvládnout tu rovnici. Zkuste si to, pozastavte. Tak jo, čtu tu větu, hele, dvě bedny mléka, takže jedna bedna váží x, tak dvě bedny budou vážit 2x. Váží o deset víc, jo, takže tohle váží o deset víc, než, co je toto slovíčko než, to jsme si říkali, to porovnává, že jo, tak já se teď nerovnám, protože to než porovnává dvě věci. Dvě bedny energetických nápojů, takže tady mám 2y, jenže tady nemůžu mít mezi tím jenom to rovná se, že jo? Protože teďka ty dvě bedny tady váží víc, než ty dvě bedny tady, toho nápoje, že jo? Tohle je těžší, to mlíko, takže, a je těžší o 10, takže já buď tady můžu 10 odečíst, anebo tady musím 10 přičíst. Správně, jo? Takže to je ta první rovnice. Protože, hele, zamyslete se, jo. Ty dvě bedny těch nápojů jsou o 10 kilo lehčí, než ty dvě bedny mlíka. To znamená, já jsem těch 10 tady připsal, abych tady mohl dát rovná se. Nebo bych těch 10 tady musel odečíst. Hele, komu to není jasný? Tak si to pusťte třeba třikrát. Než vám to dojde, zkuste si to nakreslit, nebo si vezměte nějaký dvě věci doma, zkušte si je zvážit a řekněte si dobře, kolik musím přidat k té druhé věci, aby vážily stejně. A to, kolik musím přidat k té lehčí věci, je tohleto, aby vážily stejně, aby mezi nimi mohlo být rovná se. Tohle vám musí dojít a musí to být úplně jasný. Vím, že s tím občas jsou problémy, proto na to upozorňuju. Nejste první, nebojte. Tak, už jsem to všechno viděl. Jedna bedna s mlékem plus dvě bedny s nápoji, takže 2y, se rovná 110 kg. Tak mám tu druhou rovnici. Teď, když se na to podívám, tak vidíte, že ty rovnice jsou takové neuspořádané. Nemám ty x a y pod sebou. Co udělám? Spravím to. Takže tu první opíšu jako 2x minus 2y se rovná 10. A tu druhou opíšu jako x plus 2y se rovná 110. Tak, už mám x a y, dokonce mám stejný počet y s opačným znaménkem, no tak to je bomba, to znamená, vím, že 3x se rovná, a tady dostanu 120, když to sečtu. Z toho mi plyne, že x je 40, takže vím, že bedna s mlékem je 40 kg. A pokud vím, že tady, třeba si dosadím do téhle rovnice, takže 40 plus 2y se rovná 110, tak vím, že 2y se rovná co? 70, že jo? A v tu chvíli vlastně víme, že y se rovná 35. To znamená, bedna s nápoji váží 35 kg. A máte vyřešeno. Takže zase soustava rovnic, první věta jedna rovnice, druhá věta druhá rovnice. Takže to jsou příklady 4 a 5. Tak a máme tady poslední úlohu těch soustav rovnic, úlohu číslo 6. V pokladně měly na konci dne celkem 50 mincí, pětikorunových a dvoukorunových mincí, celkem 50. Tak, hej, měli tam určitě nějaké pětikoruny, že jo, a já nevím, kolik jich bylo, plus tam měli nějaké dvoukoruny a já taky nevím, kolik jich bylo, ale celkem jich bylo 50 mincí. Jo, 50 mincí. Takhle bych si mohl zapsat tu úlohu, že jo? Takže vlastně počet těchto pětikorunových já si nahradím pro náš výpočet čím? Ano, x, je ten počet, a počet těch dvoukorunových si nahradím, který neznám, y. A vidíte, že už nám vlastně vyplavala ta první rovnice, že jo? Protože musí platit, že počet těch pětikorunových plus počet těch dvoukorunových je těch 50 mincí. A protože potřebujete druhou rovnici, tak si teďka zkuste zamyslet, jak vlastně bude sestrojena ta druhá, z čeho ona bude. No, ta bude o té jejich hodnotě, že jo? Protože vy víte, že těch 50 mincí se vlastně rovná 190 korunám. Takže každá z těch pětikorun má hodnotu 5, takže 5 krát počet pětikorun plus 2, že jo, hodnota té dvoukoruny, krát počet dvoukorun, mi musí dát 190. A vlastně máme tu soustavu rovnic. Tak pojďme si to dořešit už. Co kdybychom si tuhle rovnici vynásobili třeba minus dvěma? Minus dva. A dostanu minus dva x minus dva y se rovná minus sto. A tady dostaneme pět x plus dva y se rovná sto devadesát. A teď už vlastně můžu ty rovnice sečíst. To znamená, tady dostaneme tři x se rovná a tady dostaneme devadesát. Minus sto plus devadesát je minus deset, omlouvám se, minus 100 plus 190 je 90. A tedy x bude 30. No tak hurá, takže my už vlastně víme, že těhletěch mincí bylo 30, a plus co je 50? No jasně, těhletěch dvoukorunových bude 20. Takže 30 mincí, 20 mincí je celkem 50 mincí. Tak, takže jsme vyřešili úlohu 6. Tak a pokračujeme k příkladu sedm. Nyní se vlastně v té druhé části téhleté lekce přesouváme ke kapitole poměry. Poměry jsou důležitou součástí té vaší přípravy v matematice. Pojďme si je prosvištět, abyste se v těch poměrech nikdy neztratili. V příkladu 7 máme dva poměry 10 ku 2 a 40 ku 8. Pojďme si první říct, co to je ten poměr. Poměr vlastně, jak už z toho slova plyne, porovnává nějaké dvě hodnoty, třeba velikosti. To znamená, vy vidíte, že kdyby tohleto byly, můžu říct, velikosti stran třeba, jsou v poměru deset ku dvěma. Co vám z toho plyne? No, vám nic nebrání vlastně vydělit ty dvě čísla. A pokud vydělíte deset děleno dvěma, tak dostanete pět. Co to znamená? No, znamená to, že vlastně pokud by tohle to byla moje strana a a tohle to by byla strana b třeba v tom obdélníku, tak ta strana b by byla pětkrát menší, souhlas, protože se vejde pětkrát do té desítky. Nebo jinými slovy, strana a je pětkrát větší než strana b. Možná už z toho taky pro vás teda plyne, že vlastně 10 ku 2 je to samé jako co? Ano, vy můžete poměry krátit. To znamená, pokud obě dvě ty čísla vydělíte stejným číslem, tak dostanete nový poměr, ale jeho hodnota je stejná. To znamená, 10 ku 2 je úplně to samé jako 5 ku 1. To jsou stejné poměry. Takže už vidíte, že strana a je pětkrát větší než strana b. Takže poměr vám udává, kolikrát je jedna z těch dvou věcí, které porovnáváme v tom poměru, větší anebo menší. Úloha 7 vás má jen naučit to, že ty poměry můžete stejně jako zlomky krátit. Protože vidíte, že tady je i ten znamínko jako děleno. Když vlastně to vydělíte 10 děleno dvěma, tak vlastně dostanete, kolikrát je tohleto větší než tohle. Úplně stejně tady. Takže vidíte, že 10 děleno dvěma je 5. A 40 děleno 8 je kolik? Taky 5. Takže tyhle dva poměry jsou úplně stejné. Protože pořád říkají, že tahle strana, když to budu zase porovnávat ty strany toho obdélníčku, tak tahle strana je pětkrát menší než tahle strana. Úplně stejně jako tady. Takže pokud já vlastně si vydělím zase tyhle dvě čísla stejným číslem, a to můžu osmičkou, tak zase dostanu 5 ku 1. To znamená, tyhle dva poměry jsou úplně stejné. Vidíte, 5 ku 1, 5 ku 1 jsou stejně velké. Takže z tohoto příkladu si odneste následující věc. Poměr třeba pět ku jedné znamená, že já mám pět dílů něčeho a jeden díl něčeho jiného. Ty díly mohou být třeba centimetry, třeba délka, jo, nebo to může být hmotnost. Může to být cokoliv, co vlastně porovnávám. To znamená, jinými slovy, tohohle, co mám tady na té straně, mám pětkrát víc, než toho, co mám tady. A vy se můžete u přijímaček setkat s tím, že ten poměr, tohle to je základní tvar. A vy ale u přijímaček nemusíte mít ten poměr nutně zadán v základním tvaru, ale musíte rozumět tomu, že si ho do toho základního tvaru umíte sami přepočítat. To znamená, když vydělíte obě dvě ty strany toho poměru stejným číslem, dostanete ten samý poměr. Asi jenom taková postranní poznámka, asi vám už z toho došlo, že taky úplně, já tady umáznu tohle, jenom abych tady mohl udělat druhou šipku, také platí, že jo, takže tohle to je krácení toho poměru, jo, a tohleto, když se vracím, já ten poměr taky můžu vynásobit stejným číslem, že jo, stejně jako zlomek, to znamená tohle je rozšiřování. A pořád je to ten stejný poměr. Takže já si s těmi poměry můžu hrát tak, jak potřebuju, můžu je krátit a můžu je libovolně rozšiřovat, pokud prostě obě dvě ty čísla vynásobím nebo vydělím stejným číslem, dostávám znova opakuju stejný poměr. Jo? Tak jo. Takže to je příklad 7. Teď si ukážeme, jak s těmi poměry budeme dál pracovat. Tak v příkladu 8 si velice rychle to rozšiřování a krácení těch poměrů utužíme. Ta úloha je o tom, že vy máte nějaký poměr 3 ku 8 a máte vymyslet, jaké číslo napíšete za to x, abyste měli poměr, který vyjadřuje úplně to samé, aby měl stejnou hodnotu, aby to byl stejný poměr. To znamená, aby platily ty rovnosti těch poměrů. A my jsme si vlastně říkali, že když obě dvě ty čísla v tom poměru vynásobím nebo vydělím stejným číslem, tak vlastně hodnotu toho poměru nezměním. To znamená, vy si zkuste dopočítat. Pokud někdo váhá, tak já třeba ukážu první návod. Vy si to pak zkuste pozastavit a udělat ten zbytek. Tak udělám ten první teďka. 3 ku 8 má být to samé jako něco ku 24. No tak já vím, že jsem vlastně tu 8 rozšířil na 24. Že jo? Rozšířil jsem to. A to znamená, já potřebuji vědět, čím jsem vynásobil 8, abych dostal 24. A tím stejným číslem já vynásobím tu 3, abych dostal tohle své číslo, které neznám. Souhlasíte? Takže jak já zjistím, čím vlastně jsem vynásobil tu osmičku? No jednoduše, 24 děleno 8 je 3. To znamená, já jsem vynásobil třemi tu osmičku, abych dostal 24. A tedy, abych vlastně zajistil, že ten můj nový poměr, to něco ku 24, bude stejný jako 3 díly ku 8 dílům, tak já musím ty 3 díly také vynásobit třemi. V tu chvíli my vidíme, že x bude kolik? 3 x 3 jsou 9. Takže 9 je to, co přijde sem za to x. Už si zkuste takhle ten příklad. Je úplně stejný. Možná už máte. Tak, podíváme se. Já jsem 4 vynásobil něčím, abych dostal 64. Úplně stejně, já budu muset potom vynásobit tu 3, abych dostal to x. Protože zase rozšiřuji ten poměr. Vidíte, že tady ho rozšiřuji. Musím ho rozšiřovat stejným číslem. To je celý ten princip, co trénujeme. To znamená, my si teď spočítáme 64 děleno 4. To je 16. To znamená, já rozšiřuji šestnáctkrát. A šestnácti budu tedy násobit i tu trojku, že jo. A 3 x 16 je 48. To znamená, za to x přijde 48. Tak, v tom třetím případě už asi jste si všimli, aha, tentokrát nerozšiřujeme, nýbrž krátíme ten poměr, my ho krátíme. Krátíme ho kolikrát? 20 na 5, to znamená, vidíme už, že to je děleno 4. To znamená, já abych tu trojku přepočítal tady na to x, tak já tu trojku musím také co? Také vydělit 4, že jo? Taky tady bude děleno 4. Stejně jako jsme měli krát a krát, že jo, stejně, tak tady musím vydělit. To znamená, 3 děleno čtyřmi je co? 3/4, že jo, takže já to můžu napsat klidně zlomkem, jo. Anebo byste mohli napsat, že to je žádná celá 75, to je to samé. Jo, kdo z vás to vydělil a teď si říká, hele, já jsem tam napsal 5 ku žádná celá 75, tak jste to taky napsali dobře. Tak jo, takže tady jsme si velice rychle prosvištili, že opravdu ty poměry můžeme rozšiřovat a krátit a pořád dostaneme poměry se stejnou hodnotou. Tak, to bylo důležité. Tak, pokračujeme k příkladu 9. To už je taková slovní úloha, kterou byste mohli mít u přijímaček. Takže připravujeme citronádu. No tak si to představíme, že jo? Máme nějaký ten kelímek, v tom chceme mít tu limonádu, tu citronádu, že jo? My do toho kelímku nalejeme tu vodu. Voda, a tu vodu my tam nalejeme v jakém množství? 1,5 litru, jo? Tam nalejeme. A také tam musíme nalít, že jo? Musíme tam nalít, takže voda ku, že jo? To je ten poměr, citronovou šťávu. Takže šťáva, a té šťávy my tam musíme nalít 25 ml. A vy máte říct, v jakém jsou poměru. No tak já už jsem to tady vlastně napsal, že jo? My máme 1,5 litru vody ku 25 ml té šťávy. No, ale tohle to samozřejmě by byla špatná odpověď, že jo? Protože my potřebujeme co? My potřebujeme mít stejné jednotky, jo, stejné jednotky, je to důležité. To znamená, buď si můžu převést mililitry na litry, ale mnohem lepší si bude převést litry na mililitry. To znamená, kolik je mililitrů v litru? To všichni doufám víte. Tisíc, jo. Tisíc mililitrů je ten litr. To znamená, 1,5 litru je 1500 mililitrů. Takže teď už mám poměr. Hele, 1500 jednotek, to je těch mililitrů vody, na 25 mililitrů té šťávy. Jo? Ale vy většinou tam budete mít, tady jsem to myslím teda nenapsal, ale ten poměr by měl být v základním tvaru. My tedy ten poměr vykrátíme, že jo? A 1500 půjde vydělit 25, takže vy si někde 1500 vydělíte 25, abyste zjistili, že co? Že se vám to tam vejde šedesátkrát. To znamená, tento poměr vy přepíšete jako 60 dílů vody na jeden díl šťávy. Jo, takže voda a šťáva jsou v té naší citronádě v poměru 60 dílů vody, jeden díl šťávy. Takže, takhle. Takže pozor, pravděpodobně pokud tam budete něco míchat u přijímaček, tak oni vám zadají různé jednotky a vy, než si je dáte do toho poměru, tak si musíte převést jednotky na jedny společné. Tak. Tak, v příkladu 10 se dostáváme konečně k tomu, že nějaký celek rozdělujeme v poměru 1 ku 5. Příklad by byl, co my tady máme, 24 000 Kč, máme rozdělit v poměru 1 ku 5. Jak to uděláme? No, představte si to tak, že vlastně my chceme těch 24 000 Kč rozdělit na 1 díl a 5 dílů. Ty díly budou mít stejnou velikost. Kdybych si to představil, že tohle mám třeba v mincích, no tak já bych chtěl mít tady jednu hromádku peněz, to je ten jeden díl, a tady bych těch stejných hromádek chtěl mít kolik? Na téhle straně. Raz, dva, tři, čtyři, pět hromádek. Správně, jo? Takže vidíte, že to je jedna hromádka peněz ku pěti hromádkám peněz. To znamená, my potřebujeme jenom zjistit, kolik peněz máme vlastně dát na každou z těch hromádek. To je celý. Takže vy vždycky, když máte něco rozdělit v nějakém poměru, tak vlastně si řeknete, aha, hele, já potřebuju dohromady rozdělit kolik dílů. No, 1 plus 5 je 6 dílů. Mám 6 dílů, 6 hromádek. To znamená, potřebuji spočítat velikost té jedné hromádky, tedy jednoho dílu, že jo? Tak, tedy jeden díl spočítáme jako 24 000 děleno 6, tedy co? 4 000. Tak, to znamená, jedna ta hromádka má velikost 4 000. Takže pokud to máme rozdělit na dvě části v tom poměru 1 ku 5, tak z těch 24 000 dáme 4 000 na tuhle hromádku a 20 000 dáme na tu druhou hromádku. Tak, jednoduše. Všichni zkuste tohleto sami. Tak, a teď, abyste si to zkontrolovali, hele, vy máte žádná celá půl tuny. Mně se to nechce počítat v těch desetinných číslech, takže já budu rozdělovat osobně 500 kg. Jo, to je to samé. A budu mít 12 hromádek tady, 12 dílů, 13 dílů tady. Kolik mám celkem dílů? Ano, 25 dílů. 25 dílů, chci tedy vědět velikost jednoho dílu, tedy 500 děleno 25 a to je 20. To znamená, pokud mám těch 12 ku 13, tak já vlastně dám 12 x 20, že jo? To znamená, sem z těch 500 kg dám 12 x 20, 240 kg. Takže žádná celá 24 tuny, jo? Abych dodržel tu původní jednotku u přijímaček. Takže žádná celá 24 tuny. A sem musím dát 260 kg, že jo? 13 x 20, což je žádná celá 26 tuny. Tak a máme to. Takže to, že máte rozdělit třeba půl tuny v poměru 12 k 13, se vám rozhodně může stát. Takže víte, jak na to teďka. Příklad 11 je velice rychlý, určitě ho asi máte hotový. Jde jenom o to si představit čtverec a vyjádřit si jeho obvod. Vy víte, že obvod čtverce, pokud má stranu a, tak spočítám jak? No a plus a plus a plus a, tedy čtyři krát a. A pokud vy máte vyjádřit poměr strany čtverce, tak na jedné straně bude ta strana čtverce, ta je a, teď je to ku, ten poměr, a na tu druhou stranu my máme napsat ten obvod. To znamená 4a. To znamená, my vidíme, že máme 1a ku 4a, to znamená, můžeme říct, že poměr délky strany čtverce ku jeho obvodu je 1 ku 4. Jinými slovy, obvod je 4x delší než ta strana. Vidíte? To je přesně to, co jsme si říkali na začátku. To je to, co nám poměr říká. Tady mám obvod, tady mám délku strany, vidím, že obvod je čtyřikrát větší než délka strany u toho čtverce. Tak příklad 12 je takový praktický příklad. Máme kapky na kašel a čaj, které mícháme. Takže my víme, že vlastně ty kapky se míchají s tím čajem v poměru 1 k 200. To znamená, tohle to jsou vaše kapky a tohle to je počet dílů čaje. Tak, a teďka vy vlastně máte, vy musíte dodržet ten poměr a víte, že v té konvici máte žádná celá 8 litrů, no? Takže tady já mám žádná celá 8 litrů čaje a já potřebuji zjistit, kolik vlastně já musím mít těch kapek, aby byl dodržen tenhle poměr. No, protože ty kapky, ta otázka je kolik mililitrů. Takže vy si vždycky dávejte pozor na ty jednotky. My víme, že tisíc mililitrů je jeden litr. To znamená, my víme, že těch žádná celá 8 litrů můžeme napsat jako 800 ml. 800 ml. Takže já mám 800 ml a je to to samé, co jsme trénovali v tom příkladu osm. My máme poměr 1 k 200 a úplně stejný poměr, máme vlastně něco, což jsou ty kapky, ku 800 ml. A já chci zabezpečit, aby vlastně ty dva poměry byly úplně stejné, že jo. Takže, jak jsme si to říkali. Já vlastně vím, že těch 200 se mi do těch 800 vejde čtyřikrát, takže rozšiřuji, ten poměr je rozšířený čtyřikrát. To znamená, já vlastně zde budu také násobit čtyřmi, že jo. Takže už vidíme, že sem přijdou 4 ml kapek, jo. 4 ml kapek. Protože 4 ku 800 je to samé jako 1 ku 200 a tedy dodrželi jsme náš recept. Takže odpověď u toho A jsme si tady spočítali, jsou to 4 ml kapek. Tak, B. Kapky mají odměrku žádná celá 2 centilitru. Takže žádná celá 2 centilitru. A my máme určit kolik těch odměrek. To je taková ta malá odměrka, že jo, a do té se vejde žádná celá 2 centilitru. Takže teď moje otázka je, kolik těchto odměrek my vlastně do toho čaje musíme nalít, tak, abychom tam nalili 4 mililitry. Je to jasný, musíme si 0,2 centilitru převést na mililitry. To znamená, je dobré vědět, že 100 centilitrů je 1 litr. Jo, 100 centilitrů. To znamená, žádná celá 2 centilitry je co? Kolik to je mililitrů? Vidíte, že centilitr je 10x větší než mililitr, to znamená, pokud převádím z většího na menší, protože z toho chci udělat mililitry, tak to musím co? 10x vynásobit. Správně. To znamená, to jsou 2 mililitry. Takže jedna ta odměrka je 2 ml, to znamená v tom B, vy víte, že to jsou dvě odměrky, protože musíte nalít ty 4 ml, co jste si spočítali. To znamená, kolik odměrek nalejeme? Dvě odměrky. V příkladu 13 si jenom velice rychle, tady vlastně není co počítat. Jenom zopakujeme, že ten poměr nemusí obsahovat jenom dvě čísla, může obsahovat víc čísel. Pokud já budu chtít porovnat více stran, tak mohu, a typicky třeba vy se s tím setkáte u trojúhelníku. Trojúhelník, když má tři strany, tak vlastně já mohu ty strany vyjádřit nějakým poměrem a tomu poměru se říká postupný. Postupný poměr. A vlastně, když si odpovíme na tu otázku, určete poměr stran a ku b. Takže vy vidíte, že máme strany a, b, c, které jsou v poměru 2 ku 3 ku 7. Vždycky to pořadí a, b, c pak odpovídá pořadí těch čísliček. To znamená, pokud já v tom áčku mám udělat a ku b, tak je to jednoduchý. A jsou 2 díly ku, b jsou 3 díly a máte hotovo. Strany a a b jsou v poměru 2 ku 3. Tak, B, máme chtít poměr strany b ku c, takže zase b mám 3 díly a c mám 7 dílů. Jo, tohle bylo úplně jako jenom, aby někteří z vás se netrápili, když najednou v tom poměru uvidí těch čísliček víc. To je postupný poměr a vy můžete klidně ty tři strany takhle zapsat za sebou, ale můžete si z toho vybrat klidně tu kombinaci těch dvou stran. Takže tady jsem měl a ku b jsou dva ku třem dílům a b ku c jsou tři ku sedmi dílům. Takže ty díly jsou stejně velké. To znamená určitě platí, že taky a ku c jsou 2 ku 7, jo? Délka těch stran. Takže jakmile byste znali velikost toho dílu, tak už dokážete spočítat délku stran toho trojúhelníku. Tak. Tak a budeme pokračovat takovými krátkými úlohami o poměrech a trojúhelníku. Takže příklad 14. My víme, že ten trojúhelník má délky stran v poměru 3 ku 4 dílům ku 5 dílům. Tak a máme tady takovou krátkou jako vsuvku. Máme určit, jestli je tenhle trojúhelník pravoúhlý. Možná někteří si pamatujete ze školy, jak můžete jednoduše zjistit, že je trojúhelník pravoúhlý. Možná jste někteří pozapomněli. Pro pravoúhlý trojúhelník, když si ho takhle představíme, tak my víme, že v pravoúhlém trojúhelníku musí platit jaká věta? Taková ta nejznámější. Pythagorova věta. My teprve budeme mít lekci na Pythagorovu větu, ale určitě už jste se s ní všichni setkali. A vy víte, že Pythagorova věta vlastně říká, že pokud já si třeba označím tuhle stranu jako a, tuhle jako b, a tuhle jako c, tak platí, že součet druhé mocniny délky té strany a, což je obsah vlastně čtverce nad touhletou odvěsnou, plus b na druhou, což je obsah čtverce vlastně nad touhletou odvěsnou tady, se rovná obsahu čtverce, který bych sestrojil nad touhletou přeponou. Takže c na druhou. Vy tu Pythagorovu větu dobře znáte. A pokud je ten trojúhelník pravoúhlý, tak tohleto vždycky platí. A pokud vy máte zadány poměry těch délek stran, tak vám vůbec nic nebrání, si to ověřit, to znamená častý příklad u přijímacích zkoušek, bude právě trojúhelník má délky stran v nějakém poměru, rozhodněte, zda je trojúhelník pravoúhlý. A vy si vzpomenete, no to přece nic není. Když tohleto je teda strana a, tohle je b, a ta nejdelší samozřejmě v tom pravoúhlém trojúhelníku musí být ta přepona, tedy c, tak vlastně já si můžu říct, že tohleto jsou sice díly, ale ten díl může být velikost 1. Takže vlastně budu řešit trojúhelník, který bude mít tady velikost 3 cm, tady třeba 4 cm a tady třeba 5 cm. A uvidíme, zda pro něj platí ta Pythagorova věta. Takže 9, to je 3 na 2, nebo já to tady napíšu ještě, abyste to viděli. Takže teď já vlastně vezmu tu délku strany a na druhou, takže 3 na druhou, plus délku strany b na druhou, 4 na druhou, se musí rovnat, pokud je pravoúhlý, se musí rovnat tomu 5 na druhou, to je strana c. No tak si to spočítáme. 9 plus 16 se rovná 25. Tedy výsledek je ano, náš trojúhelník, který má strany v tomhletom poměru, je pravoúhlý. Tak, výborně, takže to je příklad 14. Vy jste si teďka jenom velice rychle připomněli tu Pythagorovu větu, které se budeme ještě věnovat, ale hlavně jste si teda připomněli, co platí pro pravoúhlý trojúhelník. A vlastně, že ty poměry těch délek stran já mohu použít k tomu, abych si tu pravoúhlost otestoval. Tak, u příkladu 15 my víme, že tentokrát si povídáme o vnitřních úhlech. Takže máme nějaký trojúhelník, já to zase můžu klidně ukázat, tady nějaký takový třeba. Takže máme úhel alfa, úhel beta a úhel gamma. Tak, to jsou ty vnitřní úhly. A vy víte, že velikosti vnitřních úhlů jsou v poměru. Tak já tady napíšu ten poměr. 4,5 dílů ku 5,5 dílů ku 8 dílům. A teď těch možností je několik. Jak na to? Co myslíte? No, úplně asi ten základní, my bychom si vlastně mohli říct dobře, vy víte, co platí pro součet vnitřních úhlů v trojúhelníku? Co platí pro alfa plus beta plus gamma u vnitřních úhlů v trojúhelníku? Ano, ty se musí rovnat 180, že jo, 180 stupňů. To znamená, my vlastně si můžeme tenhle poměr úplně jednoduše zapsat rovnicí třeba. Takže my si napíšeme, že jeden díl, protože to je 4,5 dílu ku 5,5 dílu ku 8 dílům, takže jeden díl bude x pro nás. Takže jak tam bude vypadat ta rovnice? No, 4,5 dílu, takže 4,5x, plus 5,5 toho dílu plus 8 dílů se musí rovnat čemu? 180 stupňů, správně, 180 stupňů. Takže 10, že jo, plus 8 je teda 18. Takže 18x je 180 stupňů, vydělíme 18 a z toho dostaneme, že to x, ten jeden díl, je 10 stupňů. To znamená, okamžitě dokážeme určit ty velikosti, protože alfa je 4,5 x 10, tedy 45 stupňů, beta je 5,5 x 10, to znamená 55 stupňů, a gamma je 8 x 10, tedy 80 stupňů. A 45 plus 55 plus 80 je těch 180 stupňů. Takže tady si pamatujte, zopakovali jsme si dvě důležité věci. Trojúhelník je pravoúhlý, pokud pro něj platí Pythagorova věta. A součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180 stupňů. A vy můžete mít v těch poměrech vyjádřeny jak délky stran, tak vlastně velikosti těch vnitřních úhlů. Tohle jsou základy, ale my pak v těch dalších lekcích, až budeme řešit různé slovní úlohy, tak všechnu tuhletu znalost vy zúročíte. Tak, máme příklad 16, ale je to takový ten klasický příklad s obdélníkem a poměrem délek jeho stran. Tohle je úplně takový ten základní příklad, který se objeví určitě i ve škole, musíte v něm mít jasno. Takže pojďme si představit ten náš obdélník. My máme ten obdélník a poměr délek jeho stran je 11 ku 4. No tak je jasný, že ta kratší strana budou 4 díly a tady bude 11 dílů, u té delší. Takže je vlastně 11 ku 4, to je ten poměr. A my víme, že obvod toho obdélníku je velký jak? 90 cm. A my máme určit obsah. Obsah, napíšu, toho obdélníku, je otazník. Takže první, co já si musím ujasnit, je, jak spočítám obsah, abych věděl, co potřebuji vlastně spočítat. No, my víme, že obsah obdélníku je vlastně strana a krát strana b. Takže pojďme si říct, že tohle bude třeba strana a, tohle bude strana b, je to jedno. A teď jenom potřebujeme spočítat, jak budou velké, jak jsou vlastně délky těch stran, protože musí platit, že ten obvod je 90 cm. A teď ta nejčastější chyba, každý si to zkusí sám teďka, a kdo si to spočítal a třeba se podíval do výsledků a nevyšlo mu to, tak já si myslím, že vím, kde jste udělali chybu. Častá chyba je, že vy si řeknete, hele, 11 dílů ku 4 dílům je dohromady 15 dílů. To je pravda. To je pravda. Ale čemu se rovná těch 15 dílů? Těch 15 dílů se nerovná 90 cm. To ne. Rovná se čemu? Rovná se polovině. Protože, přátelé, těch jedenáct dílů máte tady a ty čtyři díly máte tady, to znamená, těch vašich patnáct dílů je jenom polovina toho obvodu. Protože vy samozřejmě víte, že obvod, když tady napíšu ten vzoreček, obvod je dvakrát (a + b), že jo? Protože tam tohle je dvakrát. Takže ta nejčastější chyba, na kterou si dáte pozor, je, že vy mi těch 90 vydělíte 15 a dostanete díl, který je ale špatně, protože dostanete dvakrát tak velký ten díl. To znamená, 15 dílů se rovná 45 cm. Z toho plyne, že jeden díl bude 45 děleno 15, to znamená 3 cm. 3 cm je jeden díl. To znamená, my už vlastně víme, že 11 dílů, takže strana a bude 11 x 3, to znamená 33 cm a strana b, že jo, b bude 4 x 3, to znamená 12 cm, jo. Takže ten obsah už tady vlastně dopočítáme, že je 33 x 12 a 33 x 12 vám vyšlo krásných 396 cm čtverečních. Takže to je ten výsledek. To hlavní, přátelé, je, vyvarujte se té nejčastější chybě, že si řeknete, hele, 11 plus 4 je 15 a ten obvod je 90, já těch 90 vydělím 15 a mám díl. Není to tak, jo? Těch 15 dílů tvoří pouze polovinu toho obvodu. Polovinu. Takže buď byste museli si říct, že v tom obvodu je 30 dílů, to by šlo, anebo si musíte vzít polovinu toho obvodu. Tak, máme tady hezkou slovní úlohu. Určitě doporučuji zase, zastavte si, zkuste si ji vyřešit, pak teprve zkontrolujte. Jo, tak, nákladní auto spotřebuje za dvě hodiny jízdy naftu za 360 Kč. Tak já si napíšu, dvě hodiny je nafta za 360 Kč. Jo, tak. Takže vím, že dvě hodiny jízdy mě stojí 360 Kč. Nákladní auto vezlo nejprve písek panu Novákovi, takže já si napíšu tady do zadání Novák, jo, a jak dlouho vezlo tomu Novákovi? Cesta tam a zpět trvala celkem 3/4 hodiny. No tak já si napíšu 45 minut, jelo to auto k tomu Novákovi. A pak vezlo ještě štěrk k panu Novotnému. A cesta tam i zpět trvala hodinu a čtvrt, takže pak jelo k Novotnému. A hodina a čtvrt to je 60 plus 15, takže 75 minut. 75 minut. Tak, takže vy už vidíte, jak dlouho jelo to auto dohromady, že jo, jelo. Takže ujelo, když to sečtu, 120 minut. Takže to auto jelo celkově těch 120 minut, což jsou ty dvě hodiny. To znamená, ono opravdu projelo naftu za 360 korun. To je množství nafty, které vlastně projelo. A teďka vy potřebujete, jako řidič, rozúčtovat to, kolik vás to stálo těmhle dvěma pánům v tom daném poměru. Takže jaký je ten poměr? Je to 45 časových dílů, to znamená 45 minut, ku 75 minutám. Protože dohromady to je těch 120 dílů. To my víme. Tak a my vlastně bychom klidně mohli, my potřebujeme spočítat, kolik stojí ten jeden díl. Takže buď můžeme použít ten poměr tak, jak je, anebo bychom si ho mohli zkrátit. To je jedno. Ale my víme, že 45 ku 75 je dohromady 120 dílů. 120 časových dílů. Jeden ten díl je jedna minuta. To znamená, my teď jenom potřebujeme zjistit, kolik vlastně stojí jedna minuta té cesty. Takže jeden díl, který se rovná jedna minuta, spočítám tak, že já těch 360 vydělím těmi 120 a dostanu 3 Kč za minutu. Jo? 3 Kč za minutu. Takže to vlastně stojí ta minuta té cesty. No a teď už vlastně, když vím, že k tomu Novákovi je to 45 minut, tak já vlastně jenom vynásobím těch 45 krát 3 a dostanu 135 korun. Je to, kolik rozúčtuje z těch 360, protože to je 45 dílů, takže já to napíšu, 135 ku, a tady vlastně to rozúčtujeme krát 3 zase, to znamená, tady dostaneme kolik? Dostaneme 225, je to tak, jo? Takže dostaneme 225. To znamená zde 225. Takže vidíte, že je to pořád ten stejný poměr, jenom jsme ho rozšířili krát 3, protože to je cena krát 3. A 135 plus 225 je těch 360 Kč. Takže to je úplně jako jednoduchá úloha, která vlastně ukazuje, že vy ten poměr můžete použít na rozdělení čehokoliv. Je to vlastně úloha na to, co jsme trénovali v příkladu 10, když jsme vlastně rozdělovali nějaký celek, což je tady pro nás těch 360 Kč, který ten řidič musí rozdělit v tom poměru 45 k 75. Takže to byla úloha 17. Tak, úloha 18 je úloha úplně jednoduchounká. My si tam vlastně zopakujeme, co je to to měřítko. Už jsme to měli v té kapitole o mapách. Vlastně měřítko vám určuje, kolikrát zmenšujete nebo zvětšujete. Podle toho, jestli jdete z té mapy nebo z toho modelu do skutečnosti, anebo z té skutečnosti do toho modelu. To znamená, když zmenšujete tu skutečnost do toho modelu, tak vy tím vlastně dělíte, tím měřítkem, a když ten model přepočítáváte na skutečnost, tak tím měřítkem násobíte. Je to jednoduché. To znamená, pokud máme model a ten má délku křídla 23 cm, a skutečnost, kde mám délku toho křídla 460 centimetrů, to je ta skutečnost, tak vlastně vy víte, že ten váš, to vaše měřítko, ten poměr, je 23 ku 460, že jo. Ale vy víte, že to měřítko bychom pokud možno měli udávat vlastně jedna ku, abychom věděli, kolik jeden centimetr na tom modelu představuje centimetrů ve skutečnosti. Takže my uděláme co? My ten poměr, tenhle, že jo, vykrátíme. Vykrátíme ho tím, abych tady dostal jedničku. To znamená, já udělám děleno 23. A 23 děleno 23 je jedna, to je jednoduchý, a 460 zase děleno 23 a to je kolik? 20. To znamená měřítko, tady v jakém měřítku je postaven, to znamená, měřítko je vlastně druh poměru. Ale měřítko se udává tak, že ten poměr je určen tak, že ten základ je vlastně 1. Takže je to jedna ku vždycky, ten měřítko. To je vlastně to, co jsem chtěl, abyste měli tu představu, tu vazbu, ten vztah mezi poměrem a měřítkem. Poměr a měřítko jsou to samé, jenom prostě v měřítku vždycky se snažíme mít ten poměr jedna ku něčemu. A jak vlastně poměr převedeme do měřítka? Jednoduše prostě ten náš základ vydělíme tak, abychom dostali tu jedničku a ten druhý, vlastně tu skutečnost, tady je ten model, tohle je ta skutečnost, tak tu skutečnost vydělíme tím samým číslem. Vykrátíme ten poměr. Takže vykrácením poměru do jedničky tady v tom základu, v té mapě nebo v tom modelu, dostaneme měřítko. Takže to byl příklad 18. Tak přátelé, to je pro dnešek vše. Myslím, že to důležité z toho jste si vzali a to byly soustavy rovnic. Nyní už umíte řešit ty soustavy sčítací metodou, umíte si ty rovnice upravit, tak abyste je mohli vyřešit a měli byste umět použít ty soustavy rovnic na řešení různých slovních úloh, a to ať už slovních úloh o nějakých dvou rozdílných věcech, anebo třeba těch slovních úloh na směsi. Dále jste si zopakovali, co to jsou poměry, umíte poměry krátit, rozšiřovat, rozumíte, co to je poměr, umíte zapsat poměry délek stran v trojúhelníku, poměry vnitřních úhlů v trojúhelníku, rozumíte tomu, co je to poměr a měřítko a umíte řešit různé slovní úlohy na poměry, třeba sirupu, čaje a tak dále. Takže já vám děkuji za pozornost a uvidíme se zase příští týden. Děkuji a nashledanou.