Lineární rovnice I, převody jednotek

Hezký dobrý den, já vás všechny vítám a zdravím. Jsme na lekci 5 našeho přípravného kurzu k přijímacím zkouškám pro devátou třídu. Dnes jsme v lekci pět a v lekci pět se budeme zejména zabývat rovnicemi. Řekneme si, co to rovnice jsou, jak se s nimi počítá a jak vlastně řešit. Ukážeme si řešení slovních úloh na rovnice, takových, se kterými se můžete u přijímacích zkoušek setkat. Tak jo, pojďme na to. Pustíme se rovnou do příkladu jedna, už tady mám připraveno. Hele, možná jste si všimli, že tady nemám všechny ty písmenka, že jo? Já jsem si tady vybral třeba A, B, C, D, G, I, J a ty písmenka mezi si zkusíte sami. Tak, co je úkolem toho příkladu 1? Úkolem příkladu 1 je najít tzv. kořen té rovnice. Co je to kořen rovnice? Kořen rovnice je právě to číslo, které my můžeme doplnit za tyhle písmenka, za ty x, a, a potom bude platit, že ta levá strana rovnice se rovná pravé straně rovnice. A to je právě to číslo, které my hledáme. Tak, pojďme si to spíš než teorií, pojďme si to ukázat tím praktickým počítáním. Jo, začneme tím áčkem. Samozřejmě, kdo ty rovnice umí a pamatuje si je ze školy, počítá dopředu, může si to pak zkontrolovat, pokud by mu nějaká rovnice nešla, tak se samozřejmě podívá na to moje vysvětlení tady. Kdo v tom trošku plave, tak bude počítat se mnou, jo, aspoň ze začátku. Takže máme úplně tu nejjednodušší rovnici. My chceme vědět, čemu se musí rovnat to x, aby platilo, že tato levá strana se rovná pravé. Jo, levá, pravá, je to rovnice. Poznáte ji tak, že obsahuje tu levou stranu, má rovná se, má také pravou stranu. A samozřejmě má tu neznámou, jejíž hodnotu my hledáme. To je celé. Tak, těch pravidel na úpravu rovnice je pár, jsou jednoduché, to zdůrazním. Takže jak vyřešíme takovouhle jednoduchou rovnici? My potřebujeme vědět, čemu se rovná to x. A proto se snažíme tu rovnici upravovat tak, abychom vždycky na jedné straně té rovnice měli všechny členy s x (nebo s a, nebo s nějakým jiným písmenkem) a na druhé straně všechny členy, které u sebe to písmenko nemají. Teďka říkám to slovo členy. Co jsou to členy? Člen rovnice je ta její část, buď tady třeba 2x, nebo tady to číslo. Členy jsou od sebe odděleny plusem, mínusem, nebo tím rovná se. My to tady něčím násobit nepotřebujeme, ale bude se nám to hodit u rovnice se zlomky. Já to pak ještě zopakuju. Tak, pojďme na to. Vrátím se k té rovnici 1a a máme tady 2x. Ty členy s x si teda necháme na té levé straně, takže já opíšu 2x. A teď tu minus 4 já musím přehodit, protože nemá u sebe x. Chci skladovat tento člen vždycky na pravé straně, pokud jsem se tak rozhodl. Teď já musím změnit znaménko, já tady mám minus čtyřku, to znamená na pravou stranu já přidám čtyřku, kladnou, plus. Možná se ptáte, proč? Představte si rovnici jako takovou tu dvouramennou váhu, co možná jste viděli někde v lékárně. A tady na tom rameni já mám navěšenou minus čtyřku. Ta minus čtyřka odečítá, ona mi nadlehčuje tohleto rameno. Nadlehčuje ho. Já teď pokud dám tu minus čtyřku pryč, tak to rameno přestane být nadlehčováno a stane se těžší. Ta váha by se naklonila takto. A aby zase zůstala v rovnováze, tak já tu čtyřku musím přidat na tu druhou stranu, na to druhé rameno. To znamená, pokud jsem tady ubral minus 4, tak já musím plus 4 přidat tady na té straně. Proto se to znaménko vždycky mění. Jednoduché pravidlo, které vy si budete pamatovat, a já ho milionkrát zopakuju v té lekci, pokud přehazuji ten člen, libovolný, přes to rovná se, změním znaménko. Ze záporného na kladné, z kladného na záporné. Pojďme na to. Tedy z -4 jsou 4, přičtu 5, tam se nic nemění, přičtu 1, tam se také nic nemění. Tedy mám 2x se rovná 10, to vidíte. A teď já chci vědět, čemu se rovná x. Sami vidíte, že pokud já vydělím obě dvě strany dvojkou, a to můžu. Teď se dostáváme k důležitému slovu, což je tzv. ekvivalentní úprava. Zní to ošklivě a divně, ale není to nic jiného, než úprava rovnice, která nezmění nic na hodnotě toho kořenu té rovnice. Jinými slovy, pokud já provedu něco všem členům té rovnice, tady mám ty dva členy už po té úpravě, a pokud jim provedu stejnou věc, tak se mi ta rovnováha, ta váha nezmění. To znamená, já si mohu oba dva členy vynásobit třeba desítkou, kdybych chtěl, nebo je mohu dvojkou vydělit, pokud chci. A pořád ta váha je v rovnováze. Tedy pokud vydělím 2x dvěma, tak mi tady zbyde x, že? A pokud vydělím 10 dvěma, tak mi tady zbyde 5 a nalezli jsme kořen rovnice, tedy to x se musí rovnat 5. Vy si teďka sami zkusíte udělat zkoušku. A to tak, že si tu rovnici opíšete a namísto toho x si dosadíte ten kořen. A vidíte, když už to uděláme z hlavy, 2 x 5 je 10, minus 4 je 6, ano, a to se rovná 6. Takže jste vyřešili svoji první rovnici v tomhletom kurzu. A sloužila jenom k zopakování. Já vím, že je hrozně jednoduchá. Pojďme tady udělat ten příklad 1B. Tady už vidíte, že je rovnice se závorkami, která je příliš lehká na přijímačky. Spíš se setkáte s nějakou takovouhle rovnicí a ty pravidla jsou ale úplně stejné. Pouze tady vidíte, že tady máte ty neznámé A v těch závorkách, ony tam jsou jakoby zavřené chudáci. Vy je musíte osvobodit. Vy z nich musíte udělat ty členy, které budou takhle stát samostatně v té rovnici, abyste si je mohli přehodit na tu jednu stranu, kde je dáte dohromady. A zjistíte, kolik jich máte a na té druhé straně čemu se rovnají. To znamená, tady vám nezbyde nic jiného, všichni to asi tušíte, že budete muset ty závorky roznásobit. Tedy opíši 9a, s tím nic nedělám, a teď minus 6, nezapomínejte na to znaménko, minus 6 krát a je minus 6a. A teď pozor na znaménka, minus 6 krát minus 1 je plus 6. Se rovná, že jo, opíšu rovná se. A teď tady roznásobuji tu druhou závorku. 5 krát a je 5a, 5 krát 2 je 10 a opíšu minus 3. Možná vám ve škole vás nabádají velice silně, abyste si to psali ty rovnice takhle, aby vám to přesně zarovnávalo. Ale ano, do školy to určitě dělejte, k přijímačkám to není potřeba. U přijímacích zkoušek nebude nikdo řešit, jestli to rovná se máte posunuté kousek doleva nebo doprava. Je důležité, aby ty úpravy dávaly smysl, aby vedly k tomu řešení, ale tím, aby vám přesně zarovnávala rovnítka, což často slyším od studentů, tak tím se opravdu u přijímaček trápit nemusíte. Tak, teď už vidíte, že máme ty členy s tím áčkem osvobozeny a my už je můžeme začít házet na tu jednu stranu. A řekněme, že pořád je budu házet na té levé straně. Budu je pořád házet tady. To znamená, mně tady zůstane těch 9a, zůstane mi tady také minus 6a. A teď tady vidím, že tady už žádný člen s a nemám a jdu za to rovná se a tady mám člen 5a. Já tedy z téhleté strany váhy chci ubrat, sebrat pryč, plus 5a. Takže když ho tady seberu, tak já ho musím sebrat také tady. A abych ho tady ubral, tak musím těch 5a, tu hodnotu, která odpovídá těm 5a, odečíst. Protože tady těch 5a mi zmizelo, to znamená tady to také odečítám. A to je to, co vlastně se děje, když vy těch 5a tady vezmete a tady je odečtete. Takže tady dám takhle minus 5a, dám rovná se. A teď to samé udělám s tou šestkou. Tu šestku zase přehodím sem. To znamená, je kladná, tady bude záporná. Minus 6 plus 10 minus 3. Jo, takže 9a minus 6a jsou 3a. 3a minus 5a jsou minus 2a, jo, takže minus 2a se rovná. A tady mám, co? To je minus 6 plus 10 je 4, minus 3 je tedy 1. Takže už vidíme zase, že minus 2a se rovná 1. Tady jsme měli 2x se rovná 10. Ale vy vždycky chcete mít jenom to písmenko, čemu se rovná, že jo? Čemu se rovná to písmenko? Takže musíte udělat tu poslední úpravu, kde si vlastně očistíte to písmenko. A typicky se dělá tím, že tenhle člen něčím musíte, oba dva samozřejmě, ale to, čím to dělíte, tak to volíte podle tohoto členu. Takže teď se všichni zamyslete, co provedeme s minus 2a, aby se nám z toho stalo a. No, vidím, že to budu muset vydělit čím? Minus dvěma. To znamená, já provedu děleno minus dvěma, celou rovnici, obě dvě strany, to znamená minus dvě a děleno minus dvěma, minus a minus je plus, dva děleno dvěma je jedna, tedy tady mi zbyde a, a zde dostanu minus, že kladné děleno záporné je záporné, a jedna děleno dvěma je jedna polovina. Tedy kořen této rovnice je minus jedna polovina. Tedy pokud vy si ve zkoušce, a doporučuji, zkuste si ji udělat, dosadíte za a minus jednu polovinu, tedy minus žádná celá pět, tak by vám mělo vyjít to, že hodnota té levé strany se rovná hodnotě té pravé strany. Tak jsme si vyřešili rovnice 1a a 1b a řekli jsme si ty základní postupy jejich úpravy. Tedy pokračujeme s dalšími rovnicemi. Máme rovnici C a D. Každý si může zkusit sám, nicméně teď pro ty z vás, kteří trošku váhají s rovnicemi se zlomky, tak doporučuji pečlivě poslouchat. Protože teď si řekneme všechno, co potřebujete vědět o tom, jak vlastně vyřešit rovnice se zlomky. Rovnice se zlomky řešíme velice podobně jako ty předchozí rovnice, kde jsme ty zlomky neměli, jenom přidáváme na začátek jeden krok, a to je ten krok, kde my se těch zlomků zbavíme. A jakmile se těch zlomků zbavíme, tak pak už následujeme všechny ty úpravy, které jsme si ukazovali minule. A teď k tomu, jak se zbavíme zlomků. No, my se zlomků v té rovnici zbavíme jednoduše tak, že si ty jmenovatele vykrátíme. Když se podíváme na tyto dva jmenovatele, dvojka a trojka, tak jakým číslem by se nám vykrátily? Nejlepší by bylo najít si nějaký nejmenší společný násobek dvojky a trojky, to je šestka. Takže já budu chtít vynásobit celou rovnici šesti, což můžu, protože to je zase ta, co jsem říkal před chvílí, ekvivalentní úprava, to je prostě úprava rovnice, kterou můžete udělat, protože pokud vy vynásobíte všechny členy rovnice, nebo vydělíte všechny členy rovnice, tak se vám ta hodnota toho kořene, to řešení, nezmění. Vy to můžete udělat kolikrát chcete a vynásobit nebo vydělit, čím chcete. Je to jenom na vás. Tedy já jsem se rozhodl, že si všechny členy vynásobím šestkou a hned si ukážeme proč. Tedy násobím šestkou a protože tady mám zlomek, abychom to hezky viděli, tak si tu šestku napíšu jako šest jednin. Můžete to takhle klidně dělat, jo? A polovinu píšu. Vynásobím šestkou, šesti jedninami, i těch a/3. A samozřejmě musím vynásobit i tu čtrnáctku. To znamená, napíšu tady šestkrát čtrnáct. Tak. A teď co se mi stalo? Teď se mi stala ta důležitá věc, to krácení, která mě zbaví těch zlomků. Protože vidíte, že tady je krát, tedy já mohu křížem krátit a krátím tu šestku s tou dvojkou a zde dostanu jedničku. A to je to hlavní. Já jsem se chtěl zbavit té dvojky a dostat místo ní jedničku, aby se mi vykrátila, aby ten zlomek zmizel. No a jako pozůstatek toho krácení se mi zde objeví trojka. Tady krátím tu šestku s tou trojkou a vidíte, že bylo důležité najít takové číslo, které mi vykrátí obě dvě v jednom kroku. Jo, vždycky to tak dělejte. To znamená, tady bude jednička a tady bude dvojka. Tedy teď už vlastně máme tu rovnici se zlomkem jako rovnici bez zlomků, protože ty jmenovatele se nám vykrátily na jedničku, tedy zlomky už neexistují. A máme 3a, jo, 3xa, plus máme 2xa, se rovná 60, 84, jo, počítám správně. Někdy se mě ptáte, jestli tady musí být to krát, nebo nemusí, je to jedno. V některých učebnicích se nepíše, v některém zadání to krát mít můžete, je to to samé. Takže můžete se setkat s tím, že někdy to tady budu mít, někdy ne. Je to to samé. Tedy, teď už máme rovnici, kterou vyřešit umíme. My zase na jedné straně sečteme ty členy s A, tedy dostaneme 5a a zde dostaneme 84. My zase ale nechceme vědět, čemu se rovná 5a. My chceme vědět, čemu se rovná a. Tedy vydělíme obě dvě strany rovnice pětkou, aby se mi ta pětka vykrátila tady. Tady dostanu a už pouze po vydělení a zde dostanu 84/5. Tak, samozřejmě někdo by si to ještě mohl zapsat nějakým smíšeným číslem, to se tam vejde ta pětka kolikrát do 84? 16krát, 16 krát 5 je 80 a zbyly by mi 4/5. Takže výsledek můžu zapsat. Tohle už je zlomek v základním tvaru, který nejde dál krátit, takže už by byl v pořádku pro přijímačky, kdo ho chce zapsat takhle, klidně může. Tak, pokračujeme s úlohou D. Tedy opět se budeme snažit zbavit těch zlomků, tak aby se nám vykrátily. Budeme se snažit tedy najít, jaké číslo pro ty jmenovatele je jejich nejmenší společný násobek. Ideálně. Samozřejmě nemusí to být nejmenší nutně, ale bude se nám s ním nejlépe počítat, protože tak dostaneme nejmenší číslo. A to je, o co se vždycky snažíme při té úpravě, aby se nám počítalo co možná nejjednodušeji. Tedy trojka, patnáctka a pětka, společný násobek patnáct, mohu použít. Tedy vynásobím všechny členy té rovnice, raz, dva, tři, čtyři, to jsou ty členy, patnáctkou. Zapíši tu patnáctku jako zlomek, tedy aby to zase bylo vidět to krácení, 15 jednin krát 2x/3 plus opět 15 jednin, musím vynásobit tento člen, to je 8/15, se rovná a potom budu mít zase 15, musím vynásobit 6 jako další člen a mínus, nezapomeneme, a budeme mít opět 15 jednin krát 4x/5. Tak, teď provedeme to krácení úplně stejně jako tady v tom příkladu C. A tím pádem se vlastně zbavíme těch jmenovatelů. Tedy 15 a 3, 1 a tady zbyde 5. 15, 1 a 1. A 15 a 5, tedy tady zbydou 3 a tady bude 1. Takže ve všech jmenovatelích už máme jedničky, těch zlomků jsme se zbavili. Provedu tady ten součin, takže 5 x 2x je tedy 10x plus 1 krát 8 je 8, se rovná 15 x 6 je tedy 90, minus a 3 x 4x je 12x. Takže vlastně tím vynásobením patnácti jsme byli schopni tuto rovnici se zlomky zapsat nebo přepsat jako mnohem hezčí, jednodušší rovnici bez zlomků, která už nám umožňuje velice jednoduše sečíst ty členy s x na jedné straně a členy bez x na druhé. A to je vždycky cíl té vaší úpravy, přátelé. To je to, o co se vždycky snažte. Tedy 10x opíši, minus 12x přehazuji, že ho musím tady přidat, plus 12x se rovná 8 musím převést na druhou stranu rovnice, tedy záporné, minus 8 plus 90. Tedy dostanu 22x se rovná 82, ale já nechci vědět, čemu se rovná 22x, já bych chtěl vědět, čemu se rovná x, tedy vydělím obě dvě strany 22, tedy dostanu x je 82/22. A teď ještě můžu zkrátit, vidím, že obě dvě jsou sudá, to tedy minimálně můžu zkrátit na 41/11. A teď už vidím, že to je v základním tvaru, dál to krátit nejde, mohl bych to zase převést třeba na smíšené číslo, ale u přijímacích zkoušek většinou takový požadavek není. To znamená, je naprosto správné a v pořádku nechat to, ten kořen, to řešení v tom zlomku v základním tvaru. Tak jo. Tak, máme tady další rovnice z toho příkladu 1. Jak vidíte, já už jsem vám poznačil ty příklady E a F, že si zkusíte vyřešit samostatně. Možná jenom taková velice rychlá nápověda, když se podíváte na ten příklad E, tak tam máte jediného jmenovatele a to je to číslo, kterým všechny členy v té rovnici vynásobíte. Ten jmenovatel se vám vykrátí a dál řešíte jako rovnici, kterou jsme si ukazovali třeba tu rovnici 1a. V příkladu F máte dva jmenovatele, sedmičku a pětku, tedy hledáte nějaký společný násobek a tím opět vynásobíte vlastně toho čitatele. A teď zdůrazňuju toho čitatele, toho zlomku. Pokud vám někomu to F nebude vycházet, tak se podívejte teď na to G. A pravděpodobně jste udělali chybu v násobení toho čitatele. Já to teďka zdůrazním u toho G. Ale je dobře, pokud si to zkusíte nejdříve sami, abyste už měli ten cit pro tu úpravu. Tedy máme podobnou rovnici, zde to G. A vidíte, že tentokrát už v čitateli máme nějaký třeba součet tady, nebo tady může být nějaký rozdíl. Už tam nemáme jenom jeden člen, ale už tady je třeba 2a - 1, nebo tady je 2a + 7. Vy musíte zajistit to, že vy vynásobíte po tom krácení, co vám zbyde, vynásobíte celého čitatele. Já to teď prakticky ukážu. 4, 4 a 3, nejmenší společný násobek. Čím budete násobit rovnici? Dvanáctkou, že jo? Dvanáctkou vynásobíme všechny členy. Tedy. A já to tady ještě jednou tu dvanáctku napíšu, abychom viděli zase to krácení a to, co nám zbyde a čím budeme roznásobovat toho čitatele. Tedy. Vlastně. Já mám dvanáct jednin, že jo? Krát. A tady nechám toho čitatele 2a + 7 lomeno čtyřmi se rovná. Tady budu mít pořád 12 jednin krát 3/4 plus a budu mít zase 12 jednin krát a budu mít a + 1/3. Tady tohle to byl úplně ten první jednoduchý automatický krok. Každý z těch členů, jeden člen, druhý člen, třetí člen, jsem vynásobil 12. Tak, teď přijde to krácení, které už jsme trénovali. Tedy 12 a 4, zde bude jednička a trojka. 12 a 4, zde bude trojka a jednička. A teďka 12 a trojka, zde bude čtyřka a zde bude jednička. Tak, a teď co je důležité, jo. Vy teď musíte provést třikrát celý ten čitatel. Můžete si to klidně představit tak, že ten čitatel máte v závorce. Protože vlastně původní to zadání bylo, že celý ten čitatel se musí vydělit čtyřmi. My jsme tu čtyřku vykrátili, nicméně tady zbyla ta trojka a tou musím vynásobit celého toho čitatele. To 2a i tu sedmičku. Bylo by chybou, pokud byste vynásobili třeba jenom to 2a, to nejde. Takže abyste neudělali chybu, určitě je dobré si to zapsat, tu rovnici jako 3x, jako rovnici se závorkami, jo? 2a + 7 se rovná, tady máme 9, 3x3, plus, a tady provedeme to samé. My si toho čitatele, abychom nezapomněli, že musíme roznásobit to áčko i tu jedničku tou čtyřkou, tak si to dáme do závorky. Tady napíšu 4 krát (a + 1), jo? A teď už to řešíme jako tu rovnici se závorkami, kterou jsme si ukazovali. To znamená 3x2a je 6a, plus 3x7 je 21, se rovná 9, plus 4a, plus 4. Tak, a teď už vidíte, že už jsem se zbavil i těch závorek, tím, že jsem je roznásobil, to takhle děláte také vždycky. A teď už jenom sečteme ty členy. To znamená, budu mít 6a, to mi zůstane, minus 4a se rovná minus 21, že ho přesunu na druhou stranu, plus 9 plus 4, to je čtyřka. Tak, to znamená, dostanu 2a se rovná, minus 21 plus 9 je tedy minus 12, minus 12 plus 4 je minus 8. Tedy dostanu 2a se rovná minus 8. A já chci zase vědět to, čemu se rovná a. Tedy vydělím obě dvě strany rovnice dvojkou, ještě se mi to sem vejde naštěstí, a tedy mohu napsat, že a se rovná minus 8 děleno dvěma, jsou minus 4. Tedy řešením této rovnice je minus 4. Kořen je minus 4. Takže to hlavní, přátelé, kdo to nedělal automaticky, tak si pamatujte, že vy si tady musíte takhle představit a nebo potom klidně si můžete, abyste si byli jisti, napsat tady tu závorku. Někdo to může celé počítat v hlavě, ale často to pak vede k chybám. Tak, ukážeme si stejný postup tady ještě jednou, abychom si ho zopakovali. Tedy, čím budeme násobit tu rovnici? Teď si odpovězte. Patnácti zase, že jo? 15, to znamená krát 15. A teď už tady nebudu tu 15 znova opakovat, jako jsem tady udělal tu 12, a už to zkusíme v hlavě, jo? To krácení myslím. To znamená, 15 krát x, já už rovnou napíši 15x. Tak a teďka, jak budete vy pokračovat, jo? 15 děleno 3 je 5, tedy mně po tom krácení zbyla 5, a tou 5 já musím vynásobit tohoto čitatele. Teď už bych se nesnažil v hlavě roznásobovat ještě toho čitatele, ale napíši si pětkrát a do závorky si dám toho čitatele, 2x - 1. Takhle to budete dělat. Rovná se, 15 děleno pěti jsou 3, já si držím v hlavě trojku a zase si napíšu do závorky toho čitatele, x + 3. Minus a 15 děleno pěti jsou 3, takže já zase píši 3krát a zase si dám do závorky toho čitatele, to znamená 3 - 7x. Jo? Samozřejmě někdo to může rovnou roznásobovat v hlavě, ale často to pak vede k chybám v počítání s těmi znaménky. Takhle tu chybu neuděláte. Tedy počítám 15x plus 10x minus 5, že jo, roznásobil jsem tu závorku, rovná se, píši 3x plus 9, minus, píši 9 plus 21x, jo? Pozor na to znaménko, mínus krát mínus je samozřejmě plus. Tak, a tedy už teďka mám rovnici, kde ty jednotlivé členy budu na jedné straně sčítat a na druhé také. Tedy na této straně budu sčítat x, takže 15x plus 10x minus 3x, že už víme, že musíme změnit znaménko, a ještě minus 21x se rovná a budu mít 5, že jo, z té minus pětky, budu mít plus 9, budu mít minus 9 a to je všechno, že jo. Takže 5 plus 9 minus 9 a to jsou všechny ty členy. Tedy 15 plus 10 je 25, 25 minus 3 je tedy 22, minus 21 je tedy x. Takže vyšlo mi zde přímo x a zde mi vyšlo rovnou 5. Takže vidíte, že tentokrát už nemusíme dělit oba dva členy, obě dvě strany, abychom dostali to samotné x, už nám to tak vyšlo, tedy kořenem, řešením té rovnice je x = 5. Takže ještě jednou to, co jste se naučili na těchto dvou příkladech, je hlavně to vnímat, že ten čitatel, pokud mi po krácení zbyde nějaké číslo, jako tady zbyla ta pětka, tak já musím tou pětkou roznásobit oba dva ty členy v tom čitateli. V tom se často dělá chyba. Tak jo. Tak, nyní už známe všechny pravidla a postupy, abychom mohli velice rychle a svižně společně spočítat ten příklad i a j. Pojďme na to tedy. A čím budeme roznásobovat tuto rovnici? Já si myslím, že nejlepší bude vynásobit všechny členy šestkou. Šestka je společný násobek dvojky a trojky. Tedy 6 děleno dvěma jsou 3, tedy rovnou píši 3 krát (5x - 3), minus 6 děleno 3 jsou 2, tedy píši 2 krát a už víte, proč to mám v té závorce, (1 - 7x), to jsme si povídali. 6 krát 4x jsou 24x minus 6. Tak to byla ta svižná první úprava. Nyní musím roznásobit, tedy 3 krát 5, 15x minus 9, minus 2, minus krát minus je plus, tedy 14x se rovná 24x minus 6. Pokud to počítáte pomaleji, klidně si to zastavte, spočítejte si sami a pak si to rychle kontrolujte. Tedy 15x plus 14x minus 24x se rovná 9 plus 2 minus 6. Tak, tedy zde já mám 29x minus 24, tedy zbývá mi 5x se rovná, a zde já mám 11 minus 6, tedy 5. Vydělím obě dvě strany rovnice 5 a tedy dostanu, že x se rovná 1. Řešením této rovnice je 1. Tak, podíváme se na tuto rovnici. Zde vidím, že mám rovnici se závorkami, musíme roznásobit, to znamená 2 krát 3x je 6x, minus 4 se rovná 6x plus 2. Teď 6x převedu na druhou stranu, to znamená z těchto 6x, takže 6x zůstává, minus 6x se rovná 4 plus 2. Tedy 0x se rovná 6. Co to pro mě znamená? 0x se rovná 6. Zamyslete se. Zkuste si odpovědět. No a kdo z vás si odpověděl, že tato rovnice nemá řešení, tak si odpověděl správně. Proč? Protože my víme, že máme 0 krát x, krát nějaké číslo, které my tady hledáme, a musí se nám to rovnat 6. Dokážete najít nějaké číslo, které když vynásobíte 0, tak vám dá 6? Nedokážeme, že ne? Libovolné číslo vynásobené 0 je vždy 0. To znamená, my nedokážeme najít řešení takové, aby platilo, že levá strana se rovná pravé. To znamená, můžeme si tady napsat, že nemá řešení. Možná, že znáte taky zápis, že vlastně to x, to, co hledáme, nenáleží množině, ve které my to hledáme, to je množina těch reálných čísel. Ale to hlavní je, že vy chápete a napsali byste klidně do toho testu, nemá řešení. A to by bylo v pořádku. Takže hlavní je nepsat, že řešením je 0. Není. 0 x 0 je 0 a v tu chvíli 0 se nerovná 6. Takže řešením rozhodně není 0. Tato rovnice nemá řešení, zdůrazňuji. Takže je to jeden ten typ, my si pak ukážeme ještě ty ostatní v další lekci. Je to jeden z těch specifických výsledků, se kterými se můžete setkat. Typicky vám samozřejmě jste zvyklí, že vám vyjde, že x se rovná nějaké číslo. Ať už nějaké celé, nebo přirozené, nebo nějaký zlomek, to je jedno. Ale najdete ten kořen. Ale může se vám stát, že tady vlastně ten kořen, to číslo, neexistuje. A v tu chvíli ta rovnice nemá řešení, zjednodušeně řečeno. Tak. Tak, přicházíme po tom, co už vlastně umíte prakticky použít ten nástroj, to řešení těch rovnic, tak samozřejmě u přijímacích zkoušek se pravděpodobně setkáte s nějakou slovní úlohou, kterou budete muset vyřešit právě pomocí rovnice. Úplně ta nejjednodušší ukázka je v úloze dvě. Máme tam Jirku a Evu a oni sbírají jablka. Jirka jich nasbíral pětkrát víc než Eva. Kolik jablek nasbíral Jirka a kolik Eva, když dohromady nasbírali 24 jablek? Pojďme si tuhle tu úplně asi nejjednodušší slovní úlohu jednoduše zapsat. Tedy máme Jirku a máme Evu. Víme, kolik nasbíral jablek Jirka? Nevíme. Víme, kolik nasbírala Eva? Nevíme. Ale víme, že Jirka nasbíral pětkrát víc než Eva. Tedy pokud vezmu ten počet, který nasbírala Eva a vynásobím ho pěti, dostanu Jirku. To už vás vede k tomu, že vy si samozřejmě řeknete, že počet jablek, které nasbírala Eva, je ta neznámá, tedy to x. A potom samozřejmě Jirka nasbíral 5x tolik, tedy 5x. No a v součtu oni nasbírali 24 jablek, že jo? A už vlastně se nám tady narodila ta naše rovnice nejjednodušší, že jo? Takhle mohl vypadat ten váš zápis. Tedy musí platit, že když sečtu Jirku, tedy 5x, plus x, to je ta Eva, tak dohromady nasbírali 24 jablek. Tedy 6x se rovná 24, vydělíme obě dvě strany 6 a x se rovná 4. Tedy my už vidíme, že Eva nasbírala 4 jablka, Jirka musel nasbírat 5x4, tedy 20 jablek. Jo, 20 jablek. Úplně asi nejjednodušší příklad, myslím, že všichni jste si poradili. Jenom hlavně asi jsem chtěl demonstrovat ten zápis, jo? Ten je důležitý. Tak, podíváme se na příklad tři zrovna. Úhel beta je dvakrát větší než úhel alfa a úhel gamma je ještě o patnáct stupňů větší než úhel beta. Určete velikosti úhlů v trojúhelníku. Tak si zase uděláme zápis. Ten zápis je fakt důležitý, je potřeba, aby byl nějakým způsobem strukturovaný a pomohl vám se v té úloze vyznat. Takže beta je dvakrát větší než alfa a gamma je ještě o patnáct větší. Vy vždycky se snažte pochopit ty vztahy. To znamená, já vím, že betu dostanu, pokud tu alfu vynásobím dvěma, protože beta je dvakrát větší, a gammu dostanu ještě tak, pokud vlastně k té betě přičtu 15. Takže pokud popadnu betu a přičtu 15 stupňů, tak dostanu tu gammu. Takhle by mohl vypadat ten váš zápis těch vztahů v té slovní úloze. A teď tedy opět úplně stejně jako zde, vy si budete chtít vlastně ty neznámé vyjádřit, že jo. To znamená, úhel alfa bude ta moje první neznámá x, jo. A teď pokud vím, že alfa je x a beta je dvakrát větší, tak už si mohu psát, že beta je 2x a gamma tedy bude co? 2x, že jo, ta beta, plus 15, tedy 2x + 15, jo. A mám ten zápis a už mám vyjádřeny všechny neznámé. No, nicméně tady jsme věděli, že dohromady nasbírali 24 jablek. Co vy víte o vnitřních úhlech v trojúhelníku, respektive o součtu vnitřních úhlů v trojúhelníku? Ano, vzpomněli jste si, že v libovolném trojúhelníku, pokud mám úhly alfa, beta a gamma, tak součet bude kolik stupňů? 180, že jo. To je to, co také se vlastně testuje, že máte tuto základní znalost. To znamená, rozhodně platí, že když sečtu alfa plus beta plus gamma, tak se to rovná 180 stupňům. A to je ta vaše hlavní rovnice, do které vy si teďka dosadíte za alfa, dosadíte si za beta a dosadíte si za gamma. Tedy bude to x, to je to alfa, plus 2x, to je to beta, plus 2x plus 15, a to je ta gamma, a to se tedy rovná 180 stupňům. A máte zase rovnici, kde my si vypočteme to x, tedy sečteme na té levé straně x plus 2x jsou 3, plus 2 máme tedy 5x, se rovná, těch 15 stupňů musíme převést na druhou stranu, to znamená máme 180 stupňů mínus 15 stupňů, tedy 5x se rovná 165 stupňů. A teď tedy vydělíte obě dvě strany 5, to znamená, když si takto uděláte pomocný výpočet někde, radši si to počítejte vždycky takhle na papír u těch přijímaček, abyste se ujistili, že neuděláte chybu. Takže já bych si radši řekl, 3 x 5 je 15, 1, 15, 33. A mám 0 zbytek. Pro jistotu. Tedy dostanu x se rovná 33 stupňů. A už platí, že tedy alfa je 33 stupňů. Beta bude kolik? Ano, 2 x 33, to znamená 66 stupňů. A gamma bude 66 plus 15, to je 81 stupňů. 81 stupňů. A teď, kdybych byl já na vašem místě, tak bych si u přijímacích zkoušek vždycky udělal zkoušku, jak by měla vypadat zkouška. No jednoduše dosadím ty stupně do té původní rovnice. Takže pokud sečtu 33, 66 a 81, musíte dostat 180 stupňů. Pokud vám to nevyjde, tak jste někde udělali chybu a víte, že se musíte vrátit zpátky k tomu výpočtu. Tak jo. Tak, v příkladu čtyři máme takovou dlouhou slovní úlohu, ale je opravdu důležitá. To je ten typ té slovní úlohy, se kterou se pravděpodobně setkáte u přijímacích zkoušek. Typicky tento typ slovních úloh je zařazen jako úloha číslo šest. To znamená, jakmile vy dopočítáte ty rovnice, tak to je příklad 5 typicky, tak v příkladu 6 máte většinou nějakou slovní úlohu. A ta může vypadat právě takto. V letadle Boeing 737 je 220 sedadel. Takže pojďme si ukázat, jak by měl vypadat zápis. Takže já bych si rozhodně napsal tedy, že sedadel je celkem 220. Tak, v tomto letadle. A teď ty sedadla máme buď v byznys nebo ekonomické třídě. To všichni víme, to znamená, tady bych si takhle napsal, že buď teda můžu mít ekonomickou, anebo takhle napíšu byznys. Ty dvě třídy. Já teď v tuhle chvíli nevím, kolik je v té ekonomické a nevím, kolik je v té byznys, ale už chápu, že všechny sedadla se mi rozdělují do těchto dvou tříd a tohle je celkový počet. Tak, na včerejším letu do Paříže nebylo letadlo zcela plné. To mi říká, že nebylo obsazeno celých 220 sedadel. Byly obsazeny 3/4 sedadel v ekonomické třídě. Takže já si tady takhle napíšu 3/4 byly obsazeny. A v té byznys třídě byly obsazeny 3/5. 3/5. A také vím, že včera letělo celkem 150 cestujících. Je vidět, že to letadlo nebylo obsazeno. Takže dohromady jsem měl 150 cestujících. My samozřejmě předpokládáme, že co cestující, to sedadlo. Nikdo nestál ani neležel v uličce. Tak, a teď čteme dál. Takže takhle by klidně, jednoduše, mohl vypadat ten váš zápis. Počet sedadel v ekonomické třídě označte jako x. Takže já si tady na tu ekonomickou, ten počet sedadel, napíšu jako x. A já vím, že včera byly obsazeny tři čtvrtiny z té ekonomické třídy. Tak a tedy pojďme se podívat na ty otázky. V závislosti na veličině x vyjádřete počet obsazených sedadel v byznys třídě. Tedy já mám tady tu byznys třídu a v závislosti na x já mám vyjádřit počet obsazených sedadel. Pojďme si to jenom jednoduše představit. Máme to letadlo, takhle máte křídla, takhle končí. A teďka v tom letadle máte ty sedačky. Tak já jenom takhle tady udělám nějaký takhle pohled shora, že všichni to asi znáte. A řekněme, že takhle tady někde bude ta byznys třída a tady je ta ekonomická. Tak a tady je nějaký neznámý počet a tady je taky nějaký neznámý počet sedadel. Ale vy víte, že dohromady je těch sedadel 220. A důležité je, že požadavek v tom zadání byl, počet sedaček v ekonomické třídě označte jako x. To znamená, tady umáznu to křídlo a řeknu, hele, všechny sedačky, co jsou tady v té ekonomické, tak jsou x. A teď chci, abyste se všichni zamysleli, jak mohu jednoduše vyjádřit počet sedaček v té byznys třídě. Jak? Vy víte, že celkem těch sedaček je 220. A dělí se na ekonomickou a byznys. Pokud v té ekonomické je x, tak v té byznys bude 220 minus x. Souhlasíte? Že jo, když v celém letadle takhle, já mám, díváme se shora, že máte sedačky, to jsou ty kostičky, a my v celém letadle máme 220 kostiček, tady jich máme z toho x, že jo, těch 220 je rozděleno jenom na ty dvě skupiny, tak tady nám zbývá na tu byznys třídu 220 minus x. To je strašně důležité tohleto chápat. Tedy pokud my máme v té úloze A vyjádřit počet obsazených sedadel včera na tom letu do Paříže v byznys třídě, tak my víme, že včera v té byznys třídě letělo 3/5 té kapacity, těch sedaček. Ta maximální kapacita je 220 minus x. Tedy včera správná odpověď na to A, musíte napsat, že letělo 3/5 z, to jsme měli, krát, ten počet sedaček v té byznys třídě a ten jste si teďka řekli, že je 220 minus x. Nezapomeňte to dát do závorky. Proč? Protože vlastně to číslo, které vyjadřuje ten počet sedaček v té byznys třídě získáte tak, že od těch 220 odečnete x. A teprve ten výsledek vy musíte vynásobit třemi pětinami, abyste případně dostali ten počet těch sedaček v té byznys třídě. A jediné, co byste potřebovali, abyste to teď uměli spočítat, je dosadit sem ten počet za to x. Jakmile byste věděli, kolik je v ekonomické, 220 minus tenhle počet, získáte kolik je v byznysu, vynásobíte třemi pětinami a máte počet. Takže správná odpověď u A, abyste dostali dva body, je 3/5 krát (220 minus x). Tak, pojďme dál. Určete v tom b, tady budeme řešit b, určete, kolik včera letělo cestujících v ekonomické třídě. Teď je jasné, že už my se musíme dobrat k tomu, čemu se rovná to x. My víme, že včera letělo celkem 150 cestujících. A víme tedy, že z tohohle počtu těch všech sedaček v té ekonomické třídě byly obsazeny 3/4. Tedy určitě platí, že 3/4 x, což je počet tam, kde včera seděli, že jo, seděli tady, tady, tady, tady někdo seděl, že jo, ale ne všude. Takže seděli jenom na 3/4 těch všech sedaček, jo. Plus, teďka, kolik lidí nám sedělo včera v té byznys třídě? No, to nám seděl tenhle počet, že jo? Protože zase seděl někdo tady třeba a tady, ale tady někdo neseděl. To znamená, tohle to je počet včera obsazených sedaček v ekonomické plus 3/5 krát (220 minus x), že jo? To jsme si řekli, že je počet obsazených v byznysu. A teď chceme rovnici, že jo? Takže musí tam být rovná se. A čemu se ten počet rovná? No těm 150. Správně, že jo? 150, protože to je ten počet cestujících, kteří včera letěli. Tak. A my teď máme hezkou rovnici, kterou potřebujeme vyřešit, tedy můžeme tu rovnici klidně vynásobit 20. Takže všechny ty členy my vynásobíme 20, tedy 20 děleno 4 je 5, krát 3 je 15x, takže já píši 15x, plus 20 děleno 5 jsou 4, krát 3 je 12, a tady budu mít 12 krát (220 minus x) se rovná, a 20 krát 150, že jo, 2 krát 150 je 300, připíšu 0, to je jednoduchý, tak píšu 3000. Tak, teď ještě teda musím roznásobit tu závorku, tedy dostanu 15x plus 12x220, tak si to napíšu tady někde takhle, abych u přijímaček, protože vy víte, že nebudete mít kalkulačku, a nebudete riskovat počítání v hlavě, tedy 2x0 je 0, 2x2 jsou 4, 2x2 jsou 4, jednou 0 je 0, jednou 2 jsou 2, jednou 2 jsou 2. Takhle si to pod sebe hezky sečtete, 0, 4, 6, 2. Takže 2640. 12 x 220 je 2640, minus 12x, jo, minus 12x. Teď koukám, jestli někde nemám chybu. Tak, takže počítáme dál. Tady mám 15 minus 12, tady dostanu 3x, se rovná a vlastně na této straně dostanu 3000 minus 2640. No tak to zvládneme asi z hlavy. To je kolik? 360. 360 plus 2640 je 3000. Takže tady dostanu 360 a potom už vlastně jenom vydělím obě dvě strany třemi, takže děleno třemi a dostanu, že x se rovná a 360 děleno třemi, to zvládnu taky z hlavy, že je 120. 120. Tak, takže teď už víme, že počet sedadel, co vlastně máme určit, určete, kolik včera letělo cestujících. Pozor, co je toto x? To není kolik včera letělo cestujících, že ne? To je počet těch sedadel, které máme v té ekonomické třídě. Těch máme 120 v ekonomické třídě. To je to, co nám tady vyšlo. Ale včera nám letěly 3/4, to znamená, vy teď musíte spočítat 3/4 ze 120, tedy vy víte, že 1/4 je 30 a 3/4 bude tedy 90. Takže 3/4 ze 120 je 90. To znamená, pokud tady bych takhle napsal to B, tak tohle byla odpověď do toho testu, byste napsali do toho rámečku k té otázce A a k té otázce B byste napsali 90 a co to je? Cestujících, že jo? Kolik včera letělo cestujících? 90 cestujících, jo? Takže to byste napsali do toho rámečku k tomu B. Často se mě ptáte, co vlastně bude chtít ten hodnotitel u těch testů v těch slovních úlohách vidět. Moje odpověď je velice jednoduchá, bude chtít vidět jenom ty výsledky. U slovních úloh se neodevzdává to řešení a ten váš zápis, ale jenom se zapisuje do toho výsledkového archu, do odpovědního archu, chci říct, se zadává pouze ten výsledek. Takže, protože je to hrozně důležitá úloha, tak jenom shrnu. Udělal jsem si ten zápis, tak, abych věděl, co je celé, z čeho se skládá. Dobře jsem si zaznamenal to, co oni mi říkají, že je ta povinná neznámá, že já musím vyjádřit jako x počet všech sedadel v ekonomické. Tohle to byl včera ten obsazený počet, jaká část těch sedadel byla obsazena. A vím, že včera letělo 150 cestujících. Tady jsem si to představil, řekl jsem si, aha, celé letadlo, pokud v té ekonomické mám x sedaček a celkem jich mám 220, v byznys musím mít 220 minus x. Pak už jsem jenom vyjádřil ten počet včera obsazených sedaček. No a tuto rovnici jsem sestavil z té informace, že tedy včera letělo 150 cestujících a toto byly ty obsazenosti v těch jednotlivých třídách. Tak to je celé. Je to opravdu důležitý příklad, zkuste si ho třeba ještě jednou potom sami přepočítat. Je to jeden z těch základních, které se objevují vždy, každý rok. Je nějaká takováhle slovní úloha u přijímaček. Je to opravdu důležité. Tak jo. Tak, pokračujeme příklad 5. Máme najít číslo, takže vidíte, že jsme v kapitole rovnice. Budeme hledat číslo, to je pro nás to x. A teď budeme hledat číslo, které splní ty následující podmínky. A my vidíme, že třetina zvětšená o sedm se rovná něčemu jinému. Máme vlastně levou stranu té rovnice a pravou stranu rovnice. Pojďme si ten text tou rovnicí zapsat. Možná teď bude ta správná chvilka, abyste si pozastavili video a zkusili si tu rovnici vymyslet. Pokud už máte, anebo nevíte, pojďme na to společně. Tedy my víme, že třetina toho našeho čísla, tak já napíšu jedna třetina toho našeho čísla, zvětšená o sedm, takže přičtu k ní sedm, se rovná, napíši tedy rovná se, polovině, takže rozhodně budu mít nějakou polovinu z něčeho, že jo, něco vydělím dvěma. A teď co vydělím dvěma? Dvojnásobek zmenšený o 2. To znamená, udělám dvojnásobek a zmenším ho o 2. Takže celá ta věta ještě jednou, že třetina čísla zvětšená o 7 se rovná polovině dvojnásobku zmenšeného o 2. No, teď už nám vlastně nezbývá nic jiného, než tu rovnici vyřešit. Vynásobíme ji čím? Vynásobíme ji šesti. Je to společný, nejmenší společný násobek. Tedy 6 děleno 3 jsou 2, takže dostanu 2x plus 6 krát 7 je 42, se rovná. Zde po vykrácení šestky a dvojky dostanu trojku, takže roznásobuji celý čitatel, před chvílí jsme si o tom říkali, trojkou, takže mám 3 krát (2x - 2). Takže takhle vlastně tento řádek vypadá po vynásobení šesti. Nyní ještě musím roznásobit tady tu pravou stranu, tedy opíši 2x plus 42 se rovná 6x minus 6. A teď si převedu třeba na tu levou stranu ty x zase, to znamená 2x opíšu, budu mít minus 6x, že jo, se rovná minus 42 minus 6. Vidíme, že platí, že minus 4x se musí rovnat minus 48. My tedy vydělíme obě dvě strany čím? Minus 4, že jo, abych tady dostal x. Tedy já dělím minus 4 a dostávám, že x se rovná 12. Tak a tím jsme vlastně tu naši úlohu 5 vyřešili, protože jsme si spočítali, že to zadané číslo, které máme najít, je číslo 12, protože právě pro něj platí to, když z něj udělám třetinu a přičtu sedm, bude to to samé, jako když ho vynásobím dvakrát, odečtu dvojku a vydělím dvěma. Doporučuji, každý z vás si udělá zkoušku. Jak si udělá zkoušku, dosadí to číslo 12 zpátky do té rovnice a levá strana se vám musí rovnat té pravé. Pokračujeme příkladem 6. Vidíte, že pro zpestření část této lekce se zabývá převody jednotek. Abyste pořád nepočítali jenom rovnice, tak si teďka zopakujeme trochu převody jednotek. Ty se objevují téměř v každém testu přijímacích zkoušek, nicméně v deváté třídě už to není takový ten jednoduchý převod, převeď kolik je 100 cm v metrech, ale pravděpodobně se vám ty převody jednotek objeví ve formě nějakého příkladu, kde budete mít různé jednotky a vy máte dopočítat tu správnou hodnotu pro tu danou hodnotu těch jednotek, kterou máte. Já bych doporučoval tohle cvičení, byste měli zvládnout zcela samostatně, doporučoval bych vám, abyste si to rozhodně vyzkoušeli a přitom si zopakovali ty základní jednotky. Pokud už to máte a chcete si to poslechnout a projít, pojďme na to společně. Proč jsem taky zařadil tyhle příklady do této lekce? Je to proto, že možná jste si někteří všimli, že se jedná o určitou formu čeho? O určitou formu rovnice. Protože pořád máme nějakou pravou stranu, máme nějakou levou stranu a hledáme sem tu neznámou. Já bych si mohl napsat to x. Takže je to určitá forma rovnice, kde my hledáme, co tam patří. Ten postup bude taky podobný, my se vždycky snažíme dopočítat všechno, co známe a potom vlastně dopočítat, co přijde sem, aby to vyšlo. Základ úspěchu u těchto příkladů je určit si ty správné jednotky, na které my budeme přepočítávat. Většinou je to nejjednodušší tak, že pokud já vím, že budu sem doplňovat milimetry, tak si ty ostatní jednotky převedu na ty milimetry, abych rovnou dostal ten výsledek, který předvedu tady. Vy jste si měli říct, 76 cm je 760 mm, 5 decimetrů je tedy 500 mm a 20 cm je 200 mm a už vidím, co přijde sem. 500 plus 200 je 700 a kolik je do 760? 60. A mám tady vyřešený ten příklad A. U toho příkladu B, zase, když se podívám na ty jednotky, mám tady metry, metry, decimetry, mám doplnit centimetry. Já osobně bych si zase převedl všechny ty jednotky na centimetry a dopočítal tak, aby mi to vyšlo. Tedy, vy víte, 3,97 metru je 397 centimetrů, 3 metry je 300, 8 decimetrů je 80 a 150 milimetrů, víme, že je 15 centimetrů. To znamená, máme 380, 395, tedy rovnou vidím, že musím, abych měl 397, přičíst dvojku. Takže 2 cm. Je to jednoduché. Na těchto příkladech nic není. A pojďme na to C se podívat. Rozhodně si zopakujte převody jednotek výměry, jednotek plochy, když to takhle řeknu. Tak tady máme doplnit cm2. Asi nejlepší bude zase převést si to na cm2. Takže jednoduché pravidlo. Vy si vždycky, pokud si nebudete jistí, kolik cm2 je v metru čtverečním, řekněte si, kolik cm je v metru. Těch je tam 100, to všichni víme. A protože se jedná o čtvereční, tak je to 100 na druhou. To znamená 100 krát 100, to je 10 000. Tedy budu násobit 10 000, tak, abych převedl na centimetry čtvereční. V tu chvíli z toho mám 6100, když to vynásobím 10 000. Tak, decimetrů, zase si řeknu, kolik centimetrů je v decimetru délkovém, 10. To znamená ve čtverečném bude 10 krát 10, tedy 100. To znamená, hned vidím, že tady mám 1900. A zde v těch centimetrech bude platit, že já musím doplnit 6100 minus 1900, že jo? A to patří sem. To znamená, to bude 4200. Tak, 4200, protože musí platit, že 4200 plus 1900 je 6100 a to mám doufám dobře. Tak, to je to C, tady litry. Tohle je velice důležitý příklad. Já vím, že osobně s těmi litry a centimetry trošku zápasíte. Důležité pravidlo, asi to nejdůležitější k jednotkám objemu, je to, že vy musíte vědět, že jeden litr je co? Je jeden decimetr krychlový. Jeden decimetr krychlový je jeden litr. To je to základní a od toho se vždycky odrazíte. Takže tohle to si rozhodně pamatujte. A zbytek už vyřešíme. Podívejte. Asi tady mám teda doplnit centimetry. A tady mám taky centimetry. No tak já si budu chtít říct, kolik vlastně je tenhle litr v centimetrech. A hned použiji teda tohleto pravidlo. To znamená, pro mě 2,1 litru je 2,1 decimetru krychlového a já to chci převést na centimetry krychlové. A to už je jednoduché, protože zase délkových centimetrů je 10, to znamená, krychlových bude 10 x 10 x 10, je to na třetí, tedy tisíc. Takže pokud vynásobím 2,1 tisícem, tak se mi z toho stane 2100, že jo, 2100 centimetrů. Tady mám 1600 centimetrů, to znamená 2100 minus, co je 1600? 500, že jo. To znamená, odpověď u D je 500 centimetrů krychlových. Tak, takže tady jsem chtěl připomenout tenhle převod. Ještě si příště řekneme něco o mililitrech a decilitrech, centilitrech. Tyhle jednotky všechny musíte znát, protože často se stává, že příklad bude, na jedné straně máte decilitry nebo centilitry, na druhé straně budete mít třeba centimetry krychlové nebo milimetry krychlové a musíte si s tím poradit. Takže doporučuji, zkuste si různě převádět jednotky objemu, ať už jsou v těch litrech nebo v těch centimetrech, decimetrech a tak dále krychlových. Tak, poslední typ jednotky, měli jsme nějaké jednotky délky tady, tady jsme měli jednotky obsahu, máme tady jednotky objemu a samozřejmě máte i jednotky času. To znamená určitě natrénujte i převody jednotek času, my máme doplnit, čím máme vynásobit 1800 sekund, abychom dostali 5 x 1/4 hodiny. To znamená, já si asi můžu říct, že 1/4 hodiny je 15 minut. 15 minut. To je jednoduché. Pak si asi taky můžu říct, že 15 minut, já si to budu chtít asi tady přepočítat na sekundy, že jo, protože tady mám sekundy, tak to bude nejjednodušší. To znamená, někde si spočítám 15 x 60, že jo, na papír, to znamená 0, 0, že jo, 6 x 5 = 30, 3, to znamená 900. To znamená, 900 sekund je 15 minut. 900 x 5, protože musím tu čtvrtinu vynásobit 5x, je 4500. Souhlasíte? To znamená, já vím, že tato část takhle má hodnotu 4500 sekund. Tak, a teď už pouze řeším 4500 děleno 1800. Vypadá to složitě, ale určitě si pamatujete na dělení ze 6. třídy. 4500 děleno 1800. Víte, že můžete poškrtat rovnou ty nuly a máte z toho příklad 45 děleno 18. Tedy kolikrát se 18 vejde? Dvakrát. Dvakrát 18 je 36. A 9, že jo? To znamená, připíšete čárku, připíšete 0 a 18 se vám do 90 vejde 5krát. Souhlas, takže to je 2,5. A 5 x 18 je 90. Tak nám to vyšlo. A v tu chvíli jsme vypočítali, že 1800 x 2,5 je 5 x 1/4 hodiny. Takže teď jsem demonstroval, jak vlastně bez kalkulačky vy byste měli postupovat, abyste neudělali chybu. Nedoporučuji úplně to počítat v hlavě. Ten zápis na ten papír vám dá nějakou trošku jistotu, že v tom neuděláte chybu. Takže to jsou převody jednotek z příkladu 6. Tak, pokračujeme příkladem 7, který si rychle prosvištíme. Vy byste to zase měli zvládnout samostatně, protože žádný chyták v tom není. To znamená, pokud se podíváme na to A, určit, kolikrát větší je délka 0,5 km než 20násobek délky 40 mm. To znamená, já si asi budu chtít najít nějaké společné jednotky. Asi bych si řekl, že žádná celá 5 kilometrů je 500 metrů, že jo? U přijímaček 500 metrů bych si řekl, že si převedu ještě, teď nad tím přemýšlím, asi bych si to převedl ještě na centimetry, protože na druhé straně mám milimetry, se kterými to budu srovnávat. To znamená, ještě bych si k těm 500 připsal dvě nuly a dostal to v centimetrech. Takže vidím, že to mám 50 000 cm. Půl kilometru je 50 000 cm. A já mám zjistit, kolikrát je tohleto větší. To znamená, jakmile mám zjistit, kolikrát je něco větší než něco jiného, tak to něco samozřejmě tím něčím jiným musím vydělit. Takže já budu dělit 20násobkem délky 40 mm. Protože už jsem si tady dal chytře centimetry, když na to tak přemýšlím, tak tady si vlastně už napíšu, že to je 20 x 4 cm, tedy 80 cm. A pak už mi nezbývá nic jiného, než těch mých 50 000 vydělit 80. Tedy to je to samé, jako bych 5000 dělil 8, což už nebude tak dramatické. Zase budu demonstrovat váš výpočet u přijímaček. Řeknete si, 6 x 8 je 48, že jo, zbydou vám 2, do 20 se vám 8 vejde 2x, 2 x 8 je 16, chci říct, zbyde vám 4, 40, 5 x 8 je 40 a máte 0. To znamená, správná odpověď je 625krát a máte hotovo. A asi jsme neudělali chybu. Takže takhle bych počítal ten příklad A. Já si to tady takhle smažu, abych mohl psát komfortně na jedno místo. Tak a měli jsme dostatek prostoru. B. Co jste měli udělat? O kolik kilogramů? To znamená, v tom prvním příkladu, v tom áčku, bylo kolikrát. To znamená, tam se muselo dělit, že jo? Abych zjistil, kolikrát se to tam vejde. Tady je o kolik, tedy budu odčítat, že jo? Abych zjistil, o kolik je méně. Takže 50násobek hmotnosti 30 gramů, to znamená, budu násobit 50 x 30, takže dostanu 1500 gramů, jasně, že jo? Než čtvrtina, takže tohle to bude menší, že jo, o kolik méně, než čtvrtina hmotnosti 15 kg. Takže já mám 15 000 g, že jo, to chci vydělit čtyřmi, abych dostal tu čtvrtinu. A potom ty dvě věci odečtu. To znamená zase 3 x 4 je 12, 30, do 30 se vám vejde 7 x 4 je 28, 20, to znamená 5 x 4 je 20, 0 a připíšu 0. Takže porovnávám 3750 gramů, tedy už píšu 3750 minus 1500 a to je co? Odečtu 1000, mám 2750, odečtu ještě 500, mám 2250. Takže takhle bych si to u přijímaček napsal a mám bod. Nic na tom nebylo. Tak, co tam máme dál? O kolik? Vidíte, že jsem odčítal. Tohle je to o kolik. A teď máme zase kolikrát v tom C. Takže hned se do toho pustíme. Kolikrát větší je objem 1 ml. Takže já srovnávám 1 ml. Ten je větší než 1 mm krychlový. Tak, tady vidíte, že už je to, o čem jsem mluvil před chvílí. Určitě se setkáte s porovnáváním nějakých mililitrů, decilitrů, centilitrů s milimetry nebo centimetry nebo decimetry krychlovými. Tak, my si musíme nějak poradit a poradíme si asi z toho hlavního vztahu, který už jsem vám psal, že jeden litr je jeden decimetr krychlový. To je ten váš výchozí porovnávací vztah. To znamená, teď si potřebujete říct, já si to oboje vztáhnu vlastně k tomu litru a decimetru, abych si to mohl srovnat. Tedy, kolik mililitrů je v jednom litru? Kolik mili? Předpona mili znamená tisícinu. To znamená, jeden mililitr, když si to převedu na litry, tak je jedna tisícina litru. A teď už nám zbývá určit, kolik milimetrů krychlových je v decimetru krychlovém. Respektive, jaká část decimetru krychlového je 1 mm krychlový. V podstatě, nebo jinými slovy, chci si převést 1 mm krychlový na decimetr krychlový. Tak, postupujeme podle toho mého pravidla. Když to nevím v hlavě, tak si řeknu, dobře, kolik milimetrů délkových mám v decimetru délkovém? To vím, že jo, těch je 100, protože 10 je v centimetru, centimetrů je 10 v decimetru, takže 10 x 10 je 100. Tedy v délkovém decimetru je 100 milimetrů, tedy v krychlovém bude 100 x 100 x 100. To je jednoduchý, to je 6 nul, že jo, takže to je milion. Těchto malých milimetrů krychlových mám milion v tom decimetru. Kdo to neví, tak se to musíte buď takhle umět odvodit, nebo se to prostě naučit z hlavy. To znamená, tenhle 1 mm je žádná celá 1 miliontina decimetru krychlového, tedy jednoho litru. A teď už vidíte, je to jednoduchý, že když srovnám, kolikrát se mi vejde 1 miliontina do 1 tisíciny, tak vy samozřejmě víte, že je tisíckrát. Je tisíckrát menší, je posunutá o tři řády. Takže správná odpověď, určit, kolikrát je větší tenhle objem, takže vy byste napsali tisíckrát. Tisíckrát je větší, protože po vynásobení tohoto tisícem já dostanu jeden mililitr. Samozřejmě šlo by to počítat i tak, že bychom si třeba převedli ty mililitry na ty milimetry krychlové a pak srovnali, ale ten převod na ty litry a decimetry mi tady přišel úplně v pohodě. Jo, protože hezky si srovnáte, že tady máte tisícinu a tady máte miliontinu, tedy tisíckrát menší. Tak jo. A posledních z dnešních převodů jednotek, rozhodněte, zda je pravda. Pokud rozdělíme půl hodiny, takže já mám žádná celá pět hodiny, na 120 stejných intervalů, no tak asi si to budu chtít převést na nějaké lepší jednotky. Takže půl hodiny je 30 minut a to ještě krát 60, že jo, mi dá vteřiny, to znamená, bude to 1800 sekund. 1800 sekund je půl hodiny. A otázka je, pokud to rozdělíme na 120 stejných časových intervalů, bude každý tento interval delší než 15 sekund? No tak my si prostě vydělíme těch 1800 těmi 120 intervaly, abychom viděli, jak ten interval vyjde dlouhý a řekli, jestli je kratší nebo delší nebo stejný jako 15 sekund. U přijímaček. Takže si škrtneme ty nuly a zase dělíme. Vidíte, že spousta těch příkladů je o vaší schopnosti dělit. Úplně upřímně, tady v kurzech prezenčních já vídám, že máte s tím dělením velké potíže. Prosím ve vlastním zájmu natrénujte si takovéto rychlé, krásné dělení, to znamená 12 do 18 se mi vejde 1, zbyde mi 6, připíšu 0, tam se mi 12 vejde 5 x, 5 x 12 je 60, 0 a konec. Hotovo, jo? Trvalo nám to pět vteřin. To znamená, my vidíme, že ten interval má přesně délku 15 sekund, tedy pokud si přečtu otázku, rozhodněte ano nebo ne, zda je delší, jo? Delší než. Je delší než 15? Ne, není, protože je 15, jo? To znamená, správná odpověď tady je ne, jo? Není delší, on je stejně dlouhý. Tak, to je celé. Tak, přátelé, máme tady závěrečné opakování, protože už jsme v lekci 5, máme nějaké lekce za sebou, nějakou látku a my musíme teďka všechno průběžně začít opakovat, tak, aby až ten kurz skončíte, tak jste vlastně měli všechno svěží v hlavě a byli připraveni na přijímací zkoušky. Takže vy máte za sebou příklady na zlomky, slovní úlohy na zlomky a to je to, co opakujeme tady. A zejména opakujeme vaši schopnost spočítat nějakou část celku, který není zadán v tom příkladu 10 krásným kulatým číslem, ale je zadán zlomkem. A abyste si to ještě víc ujasnili, tak vlastně já jsem připravil naschvál příklad 9 a 10, aby šly za sebou a aby vlastně počítaly zcela totéž, pouze v tom příkladu 10 s ošklivým zlomkem jako velikostí té silnice. Ale ten postup je úplně stejný. To znamená, kdo z vás zvládne počítat devítku a pak se zarazí u té desítky, tak tu desítku spočítejte zcela stejně. Jenom počítejte se zlomky. A v tu chvíli vám to dojde, že se není čeho bát. Pojďme na to. A začneme tou devítkou. Takže my máme nějakou dálnici mezi Berounem a Loděnicí. A potřeba, že tam pořád se asfaltuje, to všichni víte. A má plochu 5 km čtverečních. Tahle dálnice má 5 km čtverečních. Tak, stroj v pondělí vyasfaltoval 3/5. No tak asi vyasfaltoval něco takového. Tohle je pondělí, že jo? A to jsou ty 3/5. 3/5 plochy. Pojďme odpovídat. Jaká část z celkové plochy mu zbývá na úterý? Jaká část? Vidíte, tady se máte naučit rozlišovat. Já se neptám, kolik kilometrů čtverečních mu zbývá na úterý. Ne, já se ptám, jaká část. Tedy vaše odpověď bude? Ano, slyšel jsem dvě pětiny. Přesně tak, že tady jsou tři pětiny, tedy zde na to úterý je správná odpověď dvě pětiny. To znamená, že už to si budu zapisovat, to znamená, u A jste měli odpovědět dvě pětiny. Jdeme na B. Určete, kolik kilometrů mu zbývá na úterý. Takže jednoduše, vy víte, že v úterý má vyasfaltovat dvě pětiny téhleté délky. Takže pokud si vzpomínáte na tu úlohu o tom pozemku, tak vy víte, že už budeme počítat dvě pětiny z pěti. To je to, co on má vyasfaltovat. Tedy dvě pětiny z pěti počítáme jako dvě pětiny krát pět, tedy já to můžu napsat jako pět jednin, pokrátíte si, a vyjdou vám 2 km čtvereční. Jo, jednoduchý. To znamená, tahle část té silnice má plochu 2 km čtvereční. Takže sem jste měli napsat 2 km čtvereční. Tak, určete, kolik hodin bude asfaltovat v úterý? No tak on vyasfaltuje půl kilometru za hodinu. A vy víte, že má vyasfaltovat 2 km. To znamená, vy potřebujete zjistit, kolikrát se vám tam ten půl kilometr vejde a v tu chvíli zjistíte, kolik to je hodin. Takže tady jsem chtěl, abyste vlastně ty dva kilometry, takže já to napíšu jako dvě jedniny, vydělili tou jednou polovinou, tedy dvě jedniny krát dvě jedniny, otočím to, tedy výsledek jsou čtyři hodiny. Takže on bude ty dva kilometry asfaltovat čtyři hodiny. Vidíte, že to bylo úplně jednoduchý. 4 hodiny. A ten stejný příklad jsem pro vás připravil v jiné verzi, a to v tom, že ta silnice najednou nemá ten kulatý, krásný, nemá tu kulatou krásnou velikost, ale má ošklivou velikost 25/14 km2. Ale počítat se s tím bude úplně stejně. Tedy pojďme na to. Stroj vyasfaltoval z této plochy v pondělí. Vidíte, že zde to je úplně stejné. Úplně totožné. V pondělí to jsou tři pětiny. To znamená, na úterý nám zbydou zase dvě pětiny. Na tu část, vidíte, nemá ta velikost žádný vliv, žádný. Protože to je jenom část z celku. A ten celek může být jakkoliv velký. To znamená, úterý, já už si píšu dvě pětiny. Tak, takže A, když napíšu sem, A je stejné, dvě pětiny. Tak, B, určete, kolik kilometrů mu zbývá na úterý. Jak jsme to tady spočítali? Dvě pětiny krát ta výměra. Úplně stejně to uděláme. My vezmeme dvě pětiny krát tu výměru, protože počítáme dvě pětiny z 25/14. A vy už víte, že z je krát. Takže tady napíšeme 25/14, tedy pokrátíme si 5, pokrátíme si 1, pokrátíme si 2, pokrátíme si 7, to znamená dostali jsme 5/7 kilometrů čtverečních. Takže to je to, kolik mu zbývá na úterý, 5/7 kilometrů čtverečních. Tak, poslední to céčko, kolik hodin, jo. Takže zase v úterý já mám uválcovat plochu 5/7 a válcuji rychlostí 2/7 za hodinu, že jo. Takže já potřebuji zjistit, kolikrát se mi ty 2/7 vejdou do těch 5/7. Co udělám? Vydělím to. To znamená, budu mít 5/7 děleno 2/7, že jo. Úplně stejně jako tady jsem měl dva kilometry čtvereční, že jo, děleno tou jednou polovinou, tak tady to mám to samé. To znamená, já to napíšu pět sedmin krát sedm polovin, sedmičky se mi pokrátí a vidíte, že jsem dostal krásných pět polovin hodiny. To znamená dva a půl, že jo. Tak, a to je celé. To znamená, v tomhletom příkladu jste si měli pouze ujasnit a zopakovat to hlavní, že když počítám třeba dvě pětiny z něčeho, tak to něco může být buď krásné kulaté číslo, kterým to násobím, ale úplně stejně u přijímaček to může být nějaký zlomek a já se k němu chovám úplně stejně jako k těm pěti. To je to hlavní. Takže tenhle příklad je velice důležitý, ta kombinace devítky a desítky. A doufám, že v tom máte teďka úplně jasno. Tak jo. Tak, a jak asi tušíte tady z tabule za mnou, já už jsem si připravil to, že sfoukneme ty příklady 11, 12 a 13 na jednu tabuli. Protože jsou velice jednoduché, opakují procenta, abyste v tom měli úplně jasno. Tak pojďme. Bunda stála 4000 Kč. Před sezónou byla zdražena o 5 %. Takže vy byste si určitě měli napsat, výchozí cena je 4000, byla zdražena o 5 %. Tedy asi si budete chtít spočítat, že 1 % z toho je 40 Kč, tedy těch 5 % bude 5x40, takže 200 Kč. Takže my vlastně přičítáme těch 200, takže jsme se dostali na cenu 4200. Ale potom ta bunda byla zlevněna o 5 % z nové ceny. Tohle je pro mě ta nová cena, takže já teď počítám minus 5 % a teď už všichni asi správně si říkáte, hele, já si musím spočítat to procento z téhleté nové ceny. To znamená, 1 % pro mě bude 42 Kč, nebo pro vás, že jo. V tu chvíli 5 % bude 42 x 5, to znamená 210 Kč. Jo, tak. Hele, na koho to je moc rychle, tak si to klidně jako pozastavte a zapřemýšlejte si, jo, nad tím. Ale myslím si, že na tom nic není. A tedy, pokud já odečtu těch 210, těch 5 %, to je jakoby minus 210, tak dostanu co? 3990. Já koukám, jestli to mám dobře, ale asi to mám dobře. Takže 3990 korun. Tak, kaček. Takže jenom, co jsem tady v tom jednoduchém příkladu chtěl s vámi zopakovat, někdy studenti ignorují to z nové ceny a řeknou si, hele, ono to bylo o 5 % zdražený, no a pak to bylo zase o 5 % zlevněný. No tak vlastně ono to stálo stejně jako na začátku. A to není pravda, protože těch 5 % vy musíte počítat z té nové ceny. A ta nová cena už je navýšená o těch 5 %. Takže jenom jsem vám chtěl připomenout, neignorujte to, že byla zlevněná z nové ceny. Protože potom vy nemůžete rovnat ty procenta proti sobě započíst. To nejde. Tak, to si myslím, že je jasné. Příklad 12. Cena batohu se zvýšila na 6/5 původní ceny. 6/5. Pardon. 6/5 původní ceny. No tak, když si představím tu původní cenu, tak asi si ji budu chtít představit, že je rozdělená na pětiny. Raz, dva, tři, čtyři, pět. Když tohle to byla ta původní, a tohle to je pět pětin pro vás, že jo, pět pětin. Tak, kolik procent činí jedna ta kostička? No, toto je 100 % tady, že jo, 100 %, to vy víte. Takže když mám pět kostiček, tak jedna bude 20 %. A pokud ta nová cena, když já si ji tady zase udělám takhle stejně, že jo, mám stejný základ jako ta původní a rozdělím si to zase na těch stejných, tak já, že jo, tady mám pět, tato nová, já si to musím dát výš, nová má šest pětin, vidíte, že tady je jedna kostička navíc, že jo, abych měl raz, dva, tři, čtyři, pět, šest. A tahle jedna kostička je 20 %. Tedy odpověď na otázku máme, o kolik procent se cena batohu zvýšila? Zvýšila se právě o tu jednu pětinu a jedna pětina, vidíte, že je 100 děleno 5, tedy 20, takže se zvýšila o těchto 20 %. Hotovo. Tak, takže to je 12. 13. Počty postavených bytů, jo, v Berouně. Máme rok 2017 a máme rok 2018. A teďka, já jsem o tom hodně mluvil, otázka je, byly v poměru 5 k 7, tak 5 k 7. 5 dílů k 7 dílům. Mluvil jsem o tom v těch minulých lekcích. Kdo teďka neví, co to jsou ty poměry a jak s tím počítat ty procenta, tak si rozhodně pusťte ty minulé lekce. Tak, o kolik procent se v Berouně postavilo více bytů v roce 2018 než v roce 2017? Za tím než je vždycky co? Základ. Kdo si řekl, že tady je základ, tak to je v pořádku. To znamená, pro mě 100 % je rok 2017. Tohle to je pro mě 100 %. A mám tady pět dílů. 1, 2, 3, 4, 5. To znamená, jeden díl má zase 20 %. A tady mám 5 dílů a teď už vidíte, že ten rok 2018, tak tam těch dílů mám 7, to znamená, tady zase mám těch původních 5. No, ale kolik musím přidat? Musím přidat tentokrát 2. To znamená, tyhle dva, každý přidává 20 %, to znamená o 40 %. Protože ten základ je rozdělený na pětiny, na pět dílů. A tady těch dílů mám sedm, tedy o 40 %. Tak jo. Tedy, přátelé, máte za sebou lekci 5. V lekci 5 jste si zejména prošli řešení rovnic, rovnic s jednou neznámou, naučili jsme se ty základní postupy úpravy rovnic, používal jsem tam to slovo, ekvivalentní úprava, tím, že můžu všechny členy rovnice vynásobit a nic se mi nezmění na tom kořenu atd. A ukázali jsme si některé z těch hlavních slovních úloh na rovnice. Potom jsme si zopakovali převody jednotek, ukázal jsem vám ty typické příklady na převody jednotek, kde dopočítáváte do nějakého příkladu s různými jednotkami, ukázali jsme si jak na to a v závěru jsme si zopakovali znova příklady na zlomky a na procenta. Tedy to je všechno z lekce 5. V lekci 6 se můžete těšit na pokračování složitějších rovnic, to už budou takové ty dospělácké přijímačkové těžší rovnice a budeme pokračovat se slovními úlohami. Jo, tak přeju hodně štěstí v přípravě, uvidíme se zase příští týden u lekce 6. Děkuju a nashledanou.