Nestandardní úlohy, vzory, řady

Hezký dobrý den všem, já vás vítám na 12. lekci našeho přípravného kurzu k přijímacím zkouškám. A na této lekci si spolu projdeme takové, řekl bych, logické příklady, které vyžadují nějakou úvahu, řekneme si, jak nad nimi přemýšlet, ukážeme si ty nejčastější typy, se kterými se můžete setkat u přijímacích zkoušek a věřím, že to bude nejenom výuka a příprava, ale že některé ty příklady jsou docela zábavné. Tak jo, pojďme se do toho rovnou pustit. Máme tady příklad 1. Vesnice na konci světa a každý třetí den tam jezdí pojízdná pošta. Tak uděláme si nějaký krátký zápis. Takže já napíšu pošta, nebo vy jste si měli napsat pošta, a máme každý třetí den. Kdo tam jezdí dál? Potom tam jezdí pojízdná prodejna potravin. Tak napíšu potraviny, a to je každý druhý den. A ještě někdo tam jezdí. Každý čtvrtý den se tam koná trh. Takže trh tam je každý čtvrtý den. A dneska máme kolikátého? Dnes je 1. září. A otázka je, kdy se opět stane ten významný den, že v naší vesnici budeme mít poštu, potraviny a také trh. Co myslíte? Když dneska my víme, že je 1. září a konal se trh, přijela pošta i prodejna potravin, tak kdy zase přijede pošta? Každý třetí den. To znamená, pošta přijede zase čtvrtého. A znovu sedmého a tak dál. Potraviny jezdí každý druhý den, to znamená, budou třetího, pátého, atd. A trh je každý čtvrtý den, to znamená, další trh bude až pátého. Takže pátého vidíme, že máme potraviny a trh, ale nemáme poštu. Kdy nastane ten první moment, kdy se sejdou všichni? Máte dvě možnosti, jak to vyřešit, přátelé. První je ta úplně zřejmá, ale asi trošku náročnější, že byste si takhle napsali datumy na list čistého papíru. A vypsali byste si, kolikátého bude jezdit pošta, potraviny a konat se trh, a když se vám poprvé zase sejdou všichni tři, tak máte řešení. To je tzv. řešení hrubou silou. Proč ne? Když vám to pomůže vyřešit příklad u přijímaček a máte tu chviličku, tak to prostě takhle vyřešte. Komu se tohle nechce a přesto to chce vyřešit, tak se musí zamyslet nad tím, že se to opakuje. Pamatujete si na nejmenší společné násobky? My vlastně hledáme nejmenší společný násobek dvojky, trojky a čtyřky. Protože to je vlastně to opakování. Za tolik dní, kolik je ten nejmenší společný násobek, se zase ta situace stane. Nejmenší společný násobek dvojky, trojky a čtyřky určitě umíte spočítat a souhlasíte se mnou, že to je dvanáct. To znamená, je to dvanáct dní. Když dneska je prvního, tak za dvanáct dní, to znamená 13. 9., bude zase ten den, kdy budou všechny služby u nás ve vesnici. Pokračujeme příkladem 2. Máme zase takový rozcvičovací jednoduchý příklad. Vidíte, že v příkladu 1 jsme něco počítali, něco se opakovalo. Příklady na logické opakování a nejmenší společný násobek bývají velice často u přijímaček. Stejně tak často bývají příklady na nějakou představivost. Tady máme nějaký rovinný útvar, který se skládá ze čtverců. A co my víme? Víme, že strana čtverce A se rovná 2 cm. Máme spočítat obvod tohoto obrazce. Asi jste si všimli, že ten obrazec je poskládán tak, řekl bych, jakoby nedbale. Možná vás trošku trápí, že vlastně tady je kousíček a vy nevíte, kolik to je, a tady je taky kousíček a nevíte, kolik to je. Ono to je naschvál. Celý trik tohoto příkladu je v tom, že my sice nevíme přesně, kolik je tato délka a kolik je tato délka, ale víme, že součet těchto dvou délek je přesně 2 cm. Správně jste si to řekli. Proč? Tady dole jsou tři čtverečky a na nich jsou jenom dva čtverečky. Rozdíl délek této spodní strany minus tato strana musí být jedna strana jednoho čtverečku. Totéž platí zde: tady jsou dva a tady je jeden, takže součet těchto dvou červených úseček je opět 2 cm. Pokud máme spočítat obvod, tak sečteme všechny strany. Máme pět stran po 2 cm dole, takže 10. Pak máme dvě svislé strany (2+2=4). Pak nahoře máme 2 cm. A pak ty dva součty vodorovných kousků (2+2=4). A nakonec další dvě svislé (2+2=4). Celkem: 2+2+2+2+2 (spodní hrany) + 2 (svislá) + 2 (součet vodorovných) + 2 (svislá) + 2 (horní hrana) + 2 (svislá) + 2 (součet vodorovných) + 2 (svislá) = 24 cm. Obvod je 24 cm. V příkladu 3 budeme počítat s lamami. Zase je to příklad, kde není moc co počítat, ale je potřeba uplatnit logickou úvahu. Máme první ohradu a druhou ohradu. Dohromady je v nich 25 lam. Z první ohrady převedli ošetřovatelé 5 lam do druhé ohrady. Potom z druhé ohrady 7 lam uteklo. V první ohradě nakonec zůstalo dvakrát víc lam než v druhé. Pojďme si to zapsat. Na začátku bylo 25 lam. Když 7 uteklo, zbylo jich 25 - 7 = 18. Nyní je v ohradách dohromady 18 lam. Víme, že v první ohradě je dvakrát více lam než v druhé. Pokud v druhé ohradě je x lam, v první jsou 2x lam. Dohromady: 2x + x = 18. Z toho 3x = 18, takže x = 6. V druhé ohradě tedy zůstalo 6 lam a v první 12 lam. Máme určit, kolik bylo původně lam v první ohradě. K tomu se dopočítáme zpětně. V první ohradě je nyní 12 lam, a to poté, co z ní 5 lam odešlo. Takže původně v ní bylo 12 + 5 = 17 lam. Pro kontrolu druhá ohrada: nyní je tam 6 lam. To je poté, co 7 uteklo, takže před útěkem jich bylo 6 + 7 = 13. A to je poté, co 5 lam přišlo, takže úplně na začátku jich bylo 13 - 5 = 8. Kontrola: 17 + 8 = 25. Funguje to. Původně bylo v první ohradě 17 lam. Pokračujeme dalším příkladem. Kdo to myslí s přijímačkami vážně, chce uspět a tenhle příklad sám nevyřeší, tak by si měl video zastavit, vystřihnout si ty tři obdélníčky z papíru a začít si z nich skládat nový obdélník. Máme tento obrazec složený ze tří stejných obdélníků. Jeho obvod je 20 cm. Máme poskládat tyto tři obdélníky do jiného obdélníku s jiným obvodem. A máme určit jeho obvod. Jaké je řešení? To řešení je dát si ty obdélníky takto za sebou. Tady už vidíme, že obvod bude jiný. A teď je otázka, jaký? Celý trik spočívá v tom, že si musíte všimnout, že delší strana obdélníku je přesně dvojnásobkem té kratší strany. Jak jsem na to přišel? Pokud jsou tři obdélníky stejné, tak vidíte, že tento horní obdélník leží svojí delší stranou na přesně dvou kratších stranách těch dvou obdélníků, které jsou nastojato. To znamená, že delší strana se skládá ze dvou kratších. Pak si můžeme celý obvod rozdělit na ty krátké strany. Spočítáme si, z kolika dílů se skládá původní obvod. Máme jeden, druhý, třetí, čtvrtý, pátý, šestý, sedmý, osmý, devátý a desátý díl. Máme deset stejných dílů. To znamená, jeden díl má velikost 20 cm děleno 10 díly = 2 cm. Teď si spočítáme díly u nového obdélníku. Máme 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 a 14. Máme 14 dílů, to znamená odpověď je 14 x 2 = 28 cm. Příklad 5. Právě jsem se podíval na hodiny a zjistil jsem, že od oběda, který jsem měl přesně v poledne, uplynul čas, který se rovná přesně třetině doby, která zbývá do půlnoci. Kolik je právě hodin? Uděláme si časovou osu. Tady je poledne (12:00) a tady půlnoc (24:00). Jsme někde mezi. Uplynulý čas od oběda se rovná třetině doby, která zbývá do půlnoci. Pokud doba, která zbývá do půlnoci, je celek (tři třetiny), tak čas, který uplynul, je jedna třetina tohoto zbytku. Celý časový úsek od poledne do půlnoci je tedy rozdělen na 4 stejné díly (jeden díl uplynul, tři díly zbývají). Celý úsek trvá 12 hodin. 12 hodin děleno 4 díly jsou 3 hodiny na jeden díl. Uplynul jeden díl, takže uplynuly 3 hodiny od poledne. Je tedy 12:00 + 3:00 = 15:00. Hotovo. V příkladu 6 má kupec hromadu zlatáků. Když je dává na kupičky po třech, vždycky mu dva zbydou. Když dělá kupičky po pěti, také mu dva zbydou. Kolik nejméně zlatáků musí kupec došetřit, aby mu při dělení na kupičky po 3 a 5 žádný nezbyl? Vždycky si řekneme, kolik by musel mít, aby mu žádný zlaták nezbyl. Najdeme nejmenší společný násobek čísel 3 a 5, a to je 15. Pokud by měl 15 zlatáků, může dělat kupičky po 3 a po 5 a žádný mu nezbyde. A pokud mu mají dva zbýt, tak má v tuto chvíli 15 + 2 = 17 zlatáků. On už má víc než 15. Další číslo, aby mu žádný nezbyl, je další násobek 15, tedy 30. On potřebuje mít 30 zlatáků. Nyní má 17, takže 30 - 17 = 13. Potřebuje došetřit 13 zlatáků. Pokračujeme k příkladu 7. Na stole byla mísa s koláčky. Pak přišel tatínek, snědl polovinu a pak ještě dva. Pak přišla maminka, snědla polovinu zbytku a ještě dva. Pak přišla ještě Jana, snědla polovinu zbytku a pak poslední dva. Máme zjistit, kolik bylo koláčků na začátku. Tohle je úloha, kterou musíme řešit od konce. Jana snědla polovinu zbývajících a pak ještě dva. Ty dva, které snědla nakonec, byly druhou polovinou. Takže předtím, než si vzala ty poslední dva, byly na míse 4 koláčky. Ty 4 koláčky zbyly po mamince. Pro maminku platí, že 4 = (zbytek po tatínkovi / 2) - 2. Z toho plyne, že polovina zbytku po tatínkovi byla 6. Zbytek po tatínkovi byl tedy 12 koláčků. Maminka snědla 12/2 + 2 = 8 koláčků. Těch 12 koláčků zbylo po tatínkovi. Pro tatínka platí, že 12 = (původní počet / 2) - 2. Z toho plyne, že polovina původního počtu byla 14. Původní počet byl tedy 28 koláčků. Pro kontrolu: Původně 28. Tatínek snědl 14+2=16. Zbylo 12. Maminka snědla 6+2=8. Zbyly 4. Jana snědla 2+2=4. Zbylo 0. Funguje to. Příklad 8. Máme doplnit čísla do trojúhelníku tak, aby součet všech čísel byl 130 a zároveň aby součet čísel na každé straně byl stejný. Nejdřív sečteme čísla, která už v trojúhelníku máme: 20 + 25 + 29 = 74. Celkový součet má být 130, takže musíme doplnit 130 - 74 = 56. Součet tří čísel, která doplňujeme, je 56. Podíváme se na součty na stranách, které tam máme teď: 20+25=45, 25+29=54, 20+29=49. Chceme, aby po doplnění byly součty na všech třech stranách stejné. Nejmenší doplňované číslo bude na straně, kde je teď nejvyšší součet (54). Označme ho x. Na straně se součtem 49 musí být číslo o 5 větší (54-49=5), tedy x+5. A na straně se součtem 45 musí být číslo o 9 větší (54-45=9), tedy x+9. Součet těchto tří čísel je 56: x + (x+5) + (x+9) = 56. 3x + 14 = 56. 3x = 42. x = 14. Doplněná čísla jsou tedy 14, 19 (14+5) a 23 (14+9). Příklad 9. Máme pásek papíru, kde se opakuje vzor. Máme určit, jaký čtvereček je na 313. místě. Zjistíme, jaký je vzor, který se opakuje. Je to 10 čtverečků. Na 310. místě tedy končí 31. opakování vzoru, bude tam poslední čtvereček ze vzoru. My hledáme 313. místo. To je o tři dál. První je alfa, druhý beta, třetí je gama. Správná odpověď je čtvereček s písmenem gama. V příkladu 10 máme kostky. Součet teček na protilehlých stranách je vždy sedm. Máme určit součet všech teček na slepených stěnách, které nevidíme. Máme tři kostky. Dvě slepené stěny jsou mezi první a druhou kostkou, a další dvě mezi druhou a třetí. Na prostřední kostce nevidíme levou a pravou stěnu. Jejich součet je 7. Mezi první a druhou kostkou: Vidíme, že obě kostky jsou orientovány stejně. Na viditelné pravé straně první kostky je 4, takže na slepené levé straně druhé kostky bude také 4. Na protější, slepené stěně první kostky je tedy také 4. Součet je 4+4=8. Mezi druhou a třetí kostkou: na viditelné straně druhé kostky je 2, na protější, slepené stěně je 5. Na třetí kostce, kde je vidět 1, je na slepené stěně také 5. Součet je 5+5=10. Celkový součet je součet stěn prostřední kostky (7) plus součet mezi první a druhou (8) a druhou a třetí (10). To je ale špatná úvaha. Správná úvaha: Máme 4 slepené plochy. Stěna pravé kostky: vidíme 1 a 3. 4 je nahoře. Takže slepená je stěna s 2 nebo 5. Levá stěna prostřední kostky. Pravá stěna prostřední kostky. Levá stěna levé kostky. Pojďme na to jednodušeji. Mezi levou a prostřední kostkou: Jsou orientovány stejně. Viditelná strana levé kostky má 4 tečky. Takže na slepené straně je také 4. Na protější stěně prostřední kostky je také 4. Mezi prostřední a pravou kostkou: Na viditelné straně prostřední kostky je 2. Na slepené straně je tedy 5. Na protější stěně pravé kostky je tedy také 5. Celkový součet teček na slepených stěnách je 4 + 4 + 5 + 5 = 18. (Řečník se v původním videu spletl). V příkladu 11 máme ještě jeden příklad s kostkami. Máme čtyři kostky. Kostky jsou spojeny stranami se stejným počtem teček. Máme určit, kolik teček bude nahoře na poslední kostce. Začneme od kostky, o které víme nejvíc. První zleva. Nahoře je 3, vpředu 2. Na protější (spodní) straně je 4. Na protější (zadní) straně je 5. Na pravé (slepené) straně je tedy buď 1 nebo 6. Podle orientace vedlejší kostky vidíme, že na ní je nahoře 4. To znamená, že první kostka je pootočená. Pojďme od konce. Na pravé kostce je nahoře trojka, vpředu šestka. Její levá (slepená) strana má 2 nebo 5. Zkusme postupovat logicky. Začnu od kostky zcela vlevo (č. 1). Vpředu je 2, nahoře 3. Takže vpravo je 1 nebo 6. Vedlejší kostka (č. 2) má nahoře 4. Takže je otočená. Pojďme na to, jak to řekl lektor: Podívám se na kostku zcela vpravo. Vpředu je 1, nahoře 3. Na levé (slepené) straně je tedy buď 2, 4, 5, nebo 6. Vedle ní je kostka, kde je vpředu 4. To nám moc nepomůže. Zkusme jít zleva. Kostka č. 1: nahoře 3, vpředu 2 -> vzadu 5, dole 4, vpravo 1/6. Kostka č. 2: nahoře 4, slepená s č. 1, takže vlevo má 1 nebo 6. Lektorův postup: Začnu od kostky vpravo, kde je 1 a 3. Na její protější straně (vzadu) je 6. Zde je slepená s další kostkou, takže na ní je také 6. Ta má vpředu 4, takže vzadu má 3. Na této straně je slepená, takže na další kostce je také 3. Ta má nahoře 4, takže dole má 3. ... Tento postup je zmatený. Správný postup: Podívejte se na kostku zcela vpravo. Chceme vědět, co je nahoře (otazník). Vpředu je 6, vpravo 3. Z toho plyne, že nahoře a dole musí být 1/2/4/5. Kostka vedle má vpředu 4. Jsou slepeny stranami se stejným číslem. To ale nevíme jakým. Podívejme se na kostku zcela vlevo. Nahoře 3, vpředu 2. Vpravo (slepená strana) je tedy buď 1, nebo 6. Kostka vedle ní má tedy vlevo 1 nebo 6. Zkusme obě možnosti. Lektorův závěr je 5. Pokud je nahoře 5, dole je 2. Vpravo je 3, vlevo je 4. Vpředu je 6, vzadu 1. To je platná kostka. Příklad 12. Dva totožné čtverce jsou posunuty. Spojením vrcholů vznikl modrý obrazec. Obsah modré plochy je 1 cm². Máme spočítat obvod jednoho čtverce. Vzorec na takového motýlka neznáme. Jediná možnost je pokusit se určit, v jakém poměru je obsah modré plochy k obsahu čtverce. Zkusíme si modrý obrazec poskládat do jednoho čtverce. Zjistíme, že jednotlivé části modrého obrazce přesně vyplní celý jeden čtverec. To znamená, že obsah modré plochy se rovná obsahu čtverce. Obsah čtverce je tedy 1 cm². Pokud obsah je a×a=1, pak strana a=1 cm. Obvod čtverce je 4×a=4×1=4 cm. Příklad 13. Máme pyramidu z trojúhelníků. Kolik trojúhelníků by bylo potřeba na pyramidu z pěti pater? Abychom vytvořili nové patro, přidáme vždy dva trojúhelníky k počtu v předchozím patře. V nejvyšším patře je 1, pak 3, pak 5, 7, 9. Na pětipatrovou pyramidu potřebujeme sečíst trojúhelníky v každém patře: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25. Kolik trojúhelníků bude mít desáté patro odshora (tedy první patro od země u desetipatrové pyramidy)? Je to řada lichých čísel. Desáté liché číslo je 19. Kolikapatrovou nejvyšší pyramidu můžeme postavit z 81 trojúhelníků? Sčítáme lichá čísla: 1+3+5+... Součet prvních n lichých čísel je n^2. Hledáme, pro které n je n^2=81. To je pro n=9. Můžeme postavit devítipatrovou pyramidu. Příklad 14. Máme řadu čtverců. Kolik bílých políček má tento velký čtverec? Nejdřív zjistíme, jak je velký. První je 3x3, druhý 5x5, třetí 7x7. Náš čtverec je tedy 9x9. Má celkem 81 políček. Počet bílých je celkem mínus počet šedých. V prvním je šedé pole 1x1, v druhém 2x2, ve třetím 3x3. V našem čtvrtém bude tedy počet šedých 4x4=16. Počet bílých je 81 - 16 = 65. Příklad 15. Máme vzor z hradby. Máme určit, která z možností navazuje na řadu. Vždycky začátek nové "věže" je o 4 vyšší číslo (1, 5, 9,...). Další začátky budou 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49. Vidíme, že možnost C začíná číslem 49 a má správný tvar, navazuje na předchozí část. Příklad 16. Do středu velkého čtverce byl umístěn malý čtverec. Strana malého je rovna třetině strany velkého. V jakém poměru je šedá plocha k bílé? Trik je v tom rozdělit si velký čtverec na mřížku 3x3 podle malého čtverce. Celý velký čtverec se skládá z 9 malých čtverečků. Teď jen spočítáme, kolik z nich tvoří šedou a bílou plochu. Šedá plocha se skládá ze 4 trojúhelníků. Každý trojúhelník má základnu 1 díl a výšku 1 díl, takže jeho obsah je 1/2 dílku čtverečního. Dohromady 4 * 1/2 = 2 dílky. A k tomu prostřední šedý čtverec, který má 1 díl. Dohromady šedá plocha zabírá 3 dílky. Celkem je 9 dílků. Bílá plocha má tedy 9-3=6 dílků. Poměr šedé k bílé je 3:6, tedy 1:2. (Řečník se spletl). Určete obsah šedé plochy, pokud strana velkého čtverce je 12. Obsah velkého čtverce je 144. Šedá plocha je 1/3 celkové plochy, takže 144/3 = 48. Příklad 17. Tento příklad je složitý. Na náměstí tvaru čtverce o straně 20 metrů je tmavý pruh široký 2 metry, který tvoří uvnitř malé bílé náměstí. Obsah tmavé části je třikrát menší než obsah obou světlých částí dohromady. Máme určit velikost strany vnitřního bílého čtverce. Označme stranu vnitřního bílého čtverce jako 'a'. Strana vnějšího šedého čtverce (rámečku) je pak a+4 (a + 2m na každé straně). Obsah tmavé (šedé) plochy je obsah vnějšího čtverce minus obsah vnitřního: Stmava=(a+4)^2−a^2=a^2+8a+16−a^2=8a+16. Obsah světlé plochy je obsah celého náměstí (20x20=400) minus obsah tmavé plochy: Ssvetla=400−(8a+16)=384−8a. Víme, že Stmava je třikrát menší než Svetla, takže 3×Stmava=Ssvetla. 3×(8a+16)=384−8a 24a+48=384−8a 32a=336 a=336/32=10,5. Strana vnitřního bílého čtverce je 10,5 metrů. Přátelé, nadešla ta chvíle, je mi to trošku líto, vám asi ne, předpokládám, ale nadešla ta chvíle, kdy se s vámi musím naposledy rozloučit. Dnes to byla lekce 12, tedy lekce poslední našeho přípravného kurzu. Už se další týden neuvidíme. Já vám chci popřát hodně úspěchů, hodně štěstí. Ale protože vím, že štěstí přeje připraveným, tak hlavně ty úspěchy. Držím palce, pokud jste si všech těch 12 lekcí prošli pečlivě a rozumíte těm příkladům, tak si myslím, že můžete jít k přijímacím zkouškám úplně s klidným svědomím s tím, že jste připraveni. Myslím, že by vás nemělo nic překvapit. Určitě doporučuju, zopakujte si ty hlavní lekce, hlavně lekce 1-4, kde počítáme zlomky a rovnice, abyste ty základy měli pevné a jisté. Ještě jednou hodně úspěchů, držíme palce, budeme rádi, když se nám potom ozvete a napíšete nám, jak jste dopadli. Takže za sebe, a věřím, že i lektorka kolegyně z českého jazyka, paní Blinková, vám také přeje hodně štěstí a oba dva vám držíme palce. Mějte se hezky a na viděnou třeba u nějakého dalšího kurzu, třeba někdy, až budete na střední škole. Mějte se hezky a na shledanou!