Video-lekce: Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy

Hezký dobrý den, já vás všechny vítám a zdravím. Jsme na lekci 3. Lekce 3 přípravného kurzu k přijímacím zkouškám pro devátou třídu. A na této lekci se pustíme do počítání s mocninami a odmocninami. Tady už vidíte něco za mnou, příklad 1. A potom, co zvládneme takovéto základní počítání a úpravy příkladů s mocninami a odmocninami, pak se podíváme na úpravy výrazů. To jsou takové příklady se závorkami a písmenky, nějaké na druhou a tak dále. Nebojte nic, všechno si povíme a vysvětlíme. To znamená bez zbytečného otálení, já se tady pustím do příkladu jedna. Samozřejmě, kdo chcete, tak je zase ta správná chvíle zkusit si to sami, popřemýšlet si nad tím a potom si zkontrolovat to vaše myšlení, to přemýšlení s tím, co já tady napíšu a vysvětlím. Tak jo, hele, příklad jedna, ale vezmeme to postupně. Jsou tady vlastně různé typy příkladů, hlavně z hlediska toho, jak je tam to mínus, se kterými se můžete u přijímaček setkat a je důležité, abyste vlastně to zvládli. Takže první příklad je vlastně jednoduché počítání s druhou mocninou. Co je to druhá mocnina? Druhá mocnina je jenom jinak zapsané násobení čísla samo sebou. Já když tady napíšu cvičně, hele, třeba 5 na druhou, co to je ta druhá mocnina? No ta vám říká, že vlastně vy máte popadnout to číslo 5 a vynásobit ho samo sebou. To znamená, ta operace, kterou vy provedete, je 5 x 5, tedy 25. Je to jednoduchý, všichni tohle to určitě znáte, takže neblázněte, že by to bylo jako 2x5, to není. Tohleto číslo říká, kolikrát vynásobím toto číslo samo sebou. A protože je to druhá mocnina, tak ho vynásobím samo sebou 2x. Jinak můžete si představit druhou mocninu, pokud se chcete zamyslet nad tím, co to je, tak nejlíp se druhá mocnina představuje jako obsah čtverce. Když si představíte, že máte čtverec o straně třeba 5 cm, tak ta druhá mocnina, těch 25 cm čtverečních, všimněte si, vám dává obsah toho čtverce. Proč to teď říkám? Je to proto, že potom si zkusíme vysvětlit odmocninu vlastně zase na tom čtverci, takže se vlastně z toho obsahu budeme dostávat zpátky k velikosti té strany toho čtverce. Tak jenom, aby vám to trošku zůstalo v hlavě. Já si tohle to smažu. Tak a dáme se do toho. Takže, co tady máme? 2 x 3 na 2. Co si potřebujete pamatovat? Je to, že já jsem vám vždycky říkal, že násobení a dělení má přednost před sčítáním a odčítáním. To je samozřejmě pravda. A pak si před to ještě zařaďte, že druhá mocnina má přednost před násobením. Co tím chci říct? Bylo by chybou vynásobit dvakrát tři a potom to umocnit. To by bylo špatně. To znamená, vy vždycky si představte, že tu druhou mocninu si spočítáte jako první, dostanete výsledek a potom teprve provedete to násobení. Tak jo, to znamená, 3 na 2 je kolik? 9. Že jo. 2 x 9 je kolik? 18. To znamená, správný výsledek je 18. Já si vezmu nějaký lepší fix, co píše? Takže 18 je to A. Tak, tady máme podobný příklad jako tady, jako v tom A. Ale pozor, tady už je znaménko. Co vlastně vy teď uděláte? No, použijete tady tohleto pravidlo, o kterém jsme si povídali u toho A. Vy víte, že musíte nejdřív provést tu mocninu, to znamená, tady dostanete číslo 25. A teď uděláte minus 5 krát 25 a ten výsledek bude minus 125. Tak já podtrhnu, máme to B. Takže zase vidíte, že tady znova jsme si zopakovali to pravidlo, aha, ta moje mocnina má přednost před tímhletím násobením. Tak, tady je vlastně něco podobného, ale tady už je tohleto mínus. Já teď jenom nebudu předbíhat, ale chci, abyste se zamysleli, hele, tady je asi nějaký rozdíl mezi těma dvěma příkladama, protože tady je to mínus 3 v závorce, celé na druhou. A tady je to mínus předtím. Já bych chtěl, abyste si každý zamysleli, jestli umíte určit ten výsledek. No, a pokud už to máte, tak jak bychom tady měli přemýšlet? Co je toto mínus? To je vlastně mínus jedna krát tohle. Tak já to zapíšu jenom. Já to můžu, tohle je ten příklad. Můžu zapsat jako mínus jedna krát čtyři na druhou krát dva. Souhlasíte? Tohle to mínus je mínus jednakrát. To platí vždycky. Takhle si můžete představit mínus. Pokud někdy váháte, co s tím mínusem udělat, jak s ním pracovat, tak si ho představte jako mínus jednakrát. Já vám to pak ukážu i dál. A teď vlastně platí zase to pravidlo, o kterém jsem vám říkal. Mocnina má přednost před násobením. To znamená, já v dalším kroku bych to mohl napsat jako mínus jednakrát, 4 na druhou je co? 4 x 4 je 16, krát 2, souhlasíte? Tak. A teď už můžeme jít, vlastně máme jenom násobení, takže máme minus 1 krát 16 je minus 16, krát 2 je minus 32. Takže kdo z vás spočítal, že výsledek je minus 32, tak to má dobře. Důležitý je chápat ten rozdíl mezi tímhle příkladem, tady mínus, mezi tím -4 na druhou, a mezi tímhletím, to mínus je v závorce. Co to znamená? Ta závorka, co tam dělá ta závorka? No, ta zajišťuje, že vlastně vy musíte umocnit celou tu závorku. Jinými slovy, já si zase můžu klidně představit mínus jedna krát tři, to celé na druhou. A teďka závorky mají největší přednost, co? To jsme si taky říkali. Závorku počítám první. To znamená, opravdu já tady spočítám minus 3 v té závorce a teď provedu vlastně minus 3 krát, já to takhle, tady mám minus 3, a tu závorku tady mám jenom pro to, abych neměl dvě znaménka neoddělená. Takže je to minus 3 krát minus 3 a minus 3 krát minus 3 je co? Plus 9, že? Takže výsledek je plus 9. Vidíte, všimněte si, že -4 na druhou je vlastně minus 16. Takže jinými slovy, proč? 4, musíme si spočítat druhou mocninu, 4 x 4 je 16, krát minus 1 je minus 16. Jinými slovy, netrapte se, k přijímačkám potřebujete rozlišovat dva základní příklady, vždycky se podíváte. Je to minus v té závorce, když je to na druhou? Pokud je, tak to znamená, že vlastně to záporné číslo v té závorce se tou druhou mocninou změní na kladné. Protože to je mínus krát mínus a to je plus. Pokud ale to minus v té závorce není a je jenom druhá mocnina toho čísla a to minus je předtím číslem, tak výsledek bude záporný. Proč? Protože nejdřív umocníte to číslo a pak vynásobíte minus jednou. Tak, no a vrchol hitparády máme tady to éčko, že jo? Tady jsou ty mínusy dva, ale vy už určitě víte, jak na to. Tak si to zase zkuste. No a jak vlastně my si to zase můžeme napsat? Tohle mínus si zase představíme jako mínus 1 krát, že jo? A teď my máme vlastně mínus 4 krát mínus 4, to je tahle ta závorka. Kolik je mínus 4 krát mínus 4? No 16, že jo? Takže máme plus 16. A teď vlastně provedeme tohleto násobení, tohleto mínus tady, to mínus jedna krát výsledek téhleté mocniny. Protože tady je to násobení, tady je to mínus jedna krát, já bych to mohl taky napsat jako mínus jedna krát mínus čtyři na druhou, a samozřejmě ta druhá mocnina má přednost před tímhletím násobením, že jo, to jsme si říkali. To znamená mínus čtyři krát mínus čtyři je šestnáct, krát mínus jedna je mínus šestnáct. To znamená, kdo napsal mínus 16, tak je vítěz. To znamená, tady jste se setkali teď se všemi těmi možnými kombinacemi toho mínusu v těch druhých mocninách. A už byste v tom měli mít úplně jasno. Jo? Tak jo. Tak a pokračujeme k příkladu 2. Takže v příkladu 2 máme zase různé příklady počítání s druhou mocninou, ale tentokrát máme ta čísla vyjádřena zlomky. Takže trénujeme vlastně druhou mocninu zlomku. Jinak vlastně ten princip, který jsme si vysvětlili před chvílí, pořád platí. Jenom k druhé mocnině zlomků, pokud někoho trápí, jak vlastně umocňovat zlomky, tak já tady zase jenom ukážu jeden příklad, třeba jedna pětina a chci udělat druhou mocninu. No, co je ta druhá mocnina? No násobení samo sebou, zase, že jo, násobení čísla samo sebou, tak jak jsem říkal před chvílí. To znamená ano, rozhodně je správně si to představit jako jedna pětina krát jedna pětina. A je to násobení zlomků, které jsme probírali v minulé lekci. Vy víte, že násobíme čitatele krát čitatele, jmenovatele krát jmenovatele, tudíž výsledek je 1/25. Jinými slovy, když budete počítat druhou mocninu zlomku, umocníte čitatele a také umocníte jmenovatele. Jo, to je celé. Takže já si to tady smáznu tohleto a hned se pustíme do těch příkladů. Jo, vy zase stejně jako předtím si to můžete zkusit sami a mrknout, jak vám to vyšlo, anebo můžeme spolu, no? Tak, to áčko je asi jednoduchý, že jo? Říkali jsme druhá mocnina čitatele, druhá mocnina jmenovatele. Co bude teda výsledek? Kdo z vás si řekl čtyři devítiny, tak si to řekl správně, jo? Čtyři devítiny. Tak, jednoduchý. Tady už máme to mínus předtím, ale my už se toho mínusu nebojíme, že jo? My víme, že tohle to je vlastně mínus jednakrát ten zlomek. Před chvílí jsem o tom mluvil, že jo? Strašně dokolečka. Takže víme, že vlastně tahle mocnina má přednost, to znamená, my z toho dostaneme co? 9/25. Ale my co? My nezapomeneme, že teď musíme provést to násobení tou minus jedničkou, to znamená výsledek je minus 9/25. Tak. Tady máme ten druhý příklad, to aby se vám to vrylo prostě do té hlavy. Tady vidíte, že to je to celé na druhou. Jinými slovy je to vlastně mínus, já to tady teďka napíšu poprvé, mínus dvě pětiny krát mínus dvě pětiny. To je to, co to vlastně znamená, ta druhá mocnina, když je takhle v závorce. Mínus krát mínus je co? Plus. To znamená, výsledek je kladný, druhá mocnina čitatele jsou čtyři, jmenovatele 25, takže 4/25 je správný výsledek. Tak, máme to D, se takhle otočím. Tak, tady vlastně místo, jo, zase je to to samé, ale místo minus jedničky to je jenom násobení minus dvojkou, že jo? No tak si řeknu, dobře, bude to vlastně minus 2 krát, ta druhá mocnina je 9/16, že jo? Takže 2 x 9, násobení zlomku s celým číslem jsme probírali minule. Takže je to vlastně minus 18/16, ale my víme, že tohle to není co? Není to v základním tvaru, že jo? Není to v základním tvaru, my to co? Můžeme vykrátit dvojkou, to znamená, ten náš základní tvar bude minus 9/8. Tak, takhle to můžeme opustit. No a to poslední máme zase podobné. Takže víme, že to je minus jedna krát tohleto. Výsledek té mocniny bude jaký? Ten bude kladný, že jo? Mínus krát mínus je plus. Takže my vlastně budeme mít minus jedna krát a tady budeme mít 25/36. To je výsledek té závorky, že jo? To znamená výsledek, ano, zapíšeme minus 25/36. Tak a máme hotovo. Takže to byl příklad 2. Vidíte, že vlastně to přemýšlení je stejné jako příklad 1. Pouze jsme se naučili vlastně mocnit zlomky. Dělat druhou mocninu těch zlomků. Tak jo. Tak jsme u příkladu 3 a dostali jsme se k čemu? K odmocninám. Teď jsme dělali druhou mocninu. Před chvílí jsem říkal, že druhá mocnina je počítání obsahu čtverce z délky jeho strany. Měl jsem tu stranu 5, 5 na druhou je 25 a to je obsah čtverce o straně 5. Teď tady máme operaci odmocniny. A než se pustíme do počítání těchto odmocnin, tak jenom si představíme, co je ta naše odmocnina. Třeba plácnu odmocnina z 81. Vy všichni víte, že výsledek odmocniny z 81 je 9. Proč? Protože víte, že 9 na 2, tedy 9 x 9 je 81. A ta odmocnina je vlastně opačná operace k té mocnině. Takže když jsem měl tu stranu 9 toho čtverce, tak tím 9 na druhou jsem spočítal těch 81 jako obsah tohohle čtverce. A teď vlastně jdu zase zpátky, když mám obsah toho čtverce a chci znát tu stranu, tak to provádím tou operací odmocniny. To je ta odmocnina. No a teď vlastně pro to naše úspěšné počítání s odmocninami se naučíme jeden první vzorec, který budeme potřebovat. A ten vzorec vlastně možná vypadá komplikovaně, ale není. Já ho tady napíšu. Ten vzorec, který potřebujete, abyste si pamatovali, je to, že odmocnina z nějakého součinu dvou čísel A krát B, já to hned vysvětlím, nebojte, se rovná, že ji můžu zapsat nebo vypočítat. Tady všimněte si, že tady je násobení. Je to důležité, funguje to jenom pro násobení. A krát B, tak to můžu napsat jako odmocninu z A krát odmocninu z toho čísla B. Pojďme si představit něco prakticky za tím, jak to vlastně může být. Pojďme si představit to A a B, že budou teďka pro jednoduchost dvě stejná čísla. Budou to třeba ty čísla 9, jo? Pojďme. Takže já tvrdím, že platí, že odmocnina z 9 x 9, jo? To je to A a B, 9 x 9, se rovná odmocnině z 9 krát odmocnině z toho B. A pojďme si to dokázat. Tady už jsem na začátku, abyste s tím souhlasili, tvrdil, že odmocnina z 81 je 9. Tak 9 x 9 je těch 81. Takže všichni souhlasíme, že odmocnina z 81 je 9. Takže výsledek tohodle příkladu, to znamená, když tady napíšu odmocnina z 9 krát 9 je 9. A teď pokud platí ten můj vzorec, tak vlastně taky musí platit, že odmocnina z 9 krát odmocnina z 9 se také musí rovnat 9, že jo? Aby to platilo. A je to tak? No je, protože podívejte. Já provedu tu odmocninu. Odmocnina z 9 jsou 3. Krát odmocnina z 9 jsou 3. A vidíte, že výsledek je 9. Takže doufám, že jsem vás přesvědčil, že platí, že můžeme číslo pod odmocninou rozdělit na součin dvou čísel, z nich každé je také pod odmocninou a výsledek bude stejný. Tak, budu demonstrovat ještě, nebojte se. Ukážeme si to tady na těchto praktických příkladech. Takže než odejdu z tohohle, tak vy si pamatujete, že odmocnina je obrácená, opačná operace k druhé mocnině a vlastně dá se představit jako výpočet délky strany čtverce z jeho obsahu. To znamená, já znám obsah a tou odmocninou z něj spočítám délku strany toho čtverce. Tak, a teď pojďme na to praktické počítání, které asi vy chcete k přijímačkám znát nejvíc. Já si tady nechám tohleto zatím na tu demonstraci. Hele, máte spočítat odmocninu z žádná celá 81. Já to vezmu pomalu. Pojďme si představit, že tady jsme si to číslo, když to napíšu odmocnina z 81, představili jako 9 x 9. To číslo žádná celá 81 si můžu představit jako součin zase nějakých dvou čísel. A teďka to vyžaduje trošku cviku, abyste si vybrali, protože ten součin jde vytvořit spoustou kombinací, ale některé jsou užitečnější, některé jsou méně užitečné. No, určitě souhlasíte se mnou, že bude platit, že žádná celá 81 je 81 x 1 setina. Jo, je to 81 setin, to znamená 81 setin můžu zapsat jako 81 x 1 setina. No, a k čemu je mi to dobrý? No dobrý je mi to k tomu, že teďka vlastně já chci, abyste si představili, že pod tu odmocninu místo toho žádná celá 81, vy si představíte 81 krát 1 setina, a teď vlastně pomocí tohohle vzorce, tohle je to A třeba, tohle to bude to B, tak samozřejmě taky musí platit, že to je odmocnina z 81 krát odmocnina z 1 setiny. Tak, a proč jsem si to takhle představil? Protože teď mám dvě odmocniny, které já umím krásně odmocnit. To znamená, odmocnina z 81 je 9 krát a odmocnina z jedné setiny je co? To si pamatujte, že když tady je sudý počet míst za tou desetinnou čárkou, tak vlastně ta odmocnina ten počet těch desetinných míst půlí. To znamená, výsledkem téhle odmocniny je jedna desetina. Kdo teď váhá a připadá si ztracený, tak si zkuste někde na papír spočítat žádná celá jedna krát žádná celá jedna a zjistíte, že to je jedna setina, protože to je ta operace žádná celá jedna na druhou a dostanete, že to se rovná jedna setina. Tak, a teď vlastně jdeme zpátky, to znamená, máme tu obrácenou operaci k té druhé mocnině, děláme odmocninu, takže vidíte, že jsme se z odmocniny z jedné setiny dostali zpátky na tu jednu desetinu. Jo, takže 9 x 1 desetina a vidíte, že výsledek je krásný, žádná celá 9. Jo, tak, takže já si to tady trošku umáznu, abych měl pořádek. A vy už přemýšlíte, jak vlastně pomocí stejného triku jako tady spočítáte, že ten výsledek je žádná celá devět. Já si tady takto udělám místo a napíšu to tady pod to. To znamená, můžu to vlastně zapsat jako devět krát žádná celá jedna desetina, to znamená žádná celá devět. Tak, tak abychom měli pořádek. Tak, co tady? No tady už to je jednoduše vidět, že jo? Vy víte, že umíte krásně odmocnit číslo 25 a umíte krásně odmocnit, co to je, 25 desetitisícin. A vy umíte odmocnit jednu desetitisícinu, zase, protože má sudý počet desetinných míst, takže vy víte, že odmocnina z desetitisíciny je co? Je setina. Tohle je potřeba natrénovat. To znamená, vy si to zapíšete jako odmocninu z 25 krát odmocninu z 1 desetitisíciny. No a to už víte, že vlastně odmocnina z 25 je 5, krát odmocnina z 1 desetitisíciny je 1 setina, to znamená 1 setina, a výsledek, který dostanete, je 5 setin. A máte to dobře. Těch možností, jak počítat tu odmocninu, je víc, ale mně přijde tahle ta úplně nejjednodušší, protože máte nejmenší šanci, že uděláte chybu. Vy umíte krásně odmocninu z 25 a také umíte vlastně tu odmocninu z té jedné desetitisíciny. Vy si pamatujete, že umíte odmocninu z jedné setiny. Všichni si teď řeknou doma, co je odmocnina z jedné setiny. Odmocnina z jedné setiny je jedna desetina. Pak umíte odmocninu z jedné desetitisíciny, že jo? A teď nevím, jestli jsem to řekl dobře. Odmocnina z jedné setiny je jedna desetina. Pak umíte odmocninu z jedné desetitisíciny. A to víte, že je jedna setina, že jo? A potom umíte třeba odmocninu z čeho? Z jedné miliontiny, že jo? Když to tady takhle uděláme. Žádná celá 000001. Vidíte, že mám sudý počet míst a vím, že odmocnina z jedné miliontiny je co? Jedna tisícina. Jedna tisícina je výsledek odmocniny z jedné miliontiny. Takže já to ještě možná shrnu, protože vím, že takhle z kurzu na mě někdy studenti koukají. Rozhodně si zapamatujte. A napište si červeně, kdo nevěděl. Umím odmocninu z jedné setiny, to je jedna desetina. Prostě se to naučte, kdo to úplně nevidí. Odmocninu z jedné desetitisíciny, a to je jedna setina. A odmocninu ještě, a pak už to stačí, z jedné miliontiny, a to je jedna tisícina. Tak, tohle se naučte a to vám pro počítání odmocnin s desetinnými čísly úplně stačí, jo? Pro to, co můžete potkat u přijímaček. Takže tyhle odmocniny umíte spočítat z hlavy. A teď možná někdo se ptá, no to je dobrý borec, jako mi tady ukazuje, ale co když budu mít odmocninu z jedné desetiny? Odmocninu z jedné desetiny z hlavy spočítat neumíte, jo? Odmocnina z jedné desetiny z hlavy spočítat nejde. Stejně tak, samozřejmě jde spočítat, ale ne z hlavy, jo? Nejde prostě spočítat tím půlením těch desetinných míst. To znamená úplně stejně, nejde spočítat jednoduše odmocnina z jedné tisíciny. Jo? A nejde spočítat odmocnina z jedné stotisíciny. Jo? A tak dále. To znamená, vy potřebujete vědět, že umíte odmocniny se sudým počtem desetinných míst za čárkou. Takže tohle z hlavy neumím, tohle z hlavy neumím. Umím z hlavy to, to a to. Tak, teď jsem jakoby agonizoval dlouho, ale doufám, že to za to stálo, že teďka s těma desetinnýma místama máte jasno. Protože u přijímaček ten CERMAT testuje, jestli přesně tohleto víte. On vám tam našvihá spoustu desetinných míst, ale ony budou v sudém počtu. To znamená, zkušený žák ví, že jenom vlastně vezme polovinu toho počtu těch desetinných míst a má odmocněno a netrápí se tím. Tak, 4900, tady je to na druhou stranu. Tady si vlastně můžu představit, že těch 4900, abych neudělal chybu, pod tou odmocninou, si můžu napsat jako 49 x 100. Souhlasíte? Je to to samé, jenom na druhou stranu od desetinných míst, do těch jednotek, desítek, stovek. Tady jsme šli do desetin, setin, tisícin, desetitisícin. Tady přidáváme buď desítky, stovky, tisíce a tak dále. Takže já to rozhodně můžu napsat jako odmocninu ze 49 x odmocninu ze 100. No a to všichni umíte, protože odmocnina ze 49 je 7, odmocnina ze 100 je 10, to znamená výsledek je krásný, 70. Určitě to jako spousta z vás viděla rovnou, ale kdo to neviděl a u přijímaček jste nervózní, tak si to takhle rozdělím a nemůžu udělat chybu. Ono se to hodí i pro ty složitější příklady, který budeme dělat za chvíli. No a tady jenom znova testuju, abyste se vrátili k tomu, co jsem říkal před chvílí, všichni víme, aha, raz, dva, tři, čtyři desetinná místa, je to desetitisícina, odmocnina bude co? Setina. To znamená bez přemýšlení, to už jsem tam nechtěl, bez přemýšlení píšu, že výsledek je jedna setina. Jo? Tak. Tak jsme zdolali ten příklad tři. Já vím, že byl jako hodně povídavej, ale to hlavní, co jsem vám řekl o tom počítání, o tom odmocňování těch desetinných čísel, tak vlastně to je to všechno, co potřebujete k přijímačkám. Víc tam nepotřebujete. Jo, tak jo. Určitě se u přijímaček může objevit příklad, kde vlastně budete počítat součin nějakých odmocnin. A v té odmocnině bude nějaké číslo, které vy odmocnit jako takové neumíte. Odmocnina z 8 z hlavy nejde, odmocnina ze 2 z hlavy nejde. Ten klíč k přijímačkám na ty odmocniny je vždycky, ty odmocniny, co tam budou, tak půjdou odmocnit z hlavy. Proto já vás tady učím, i v tom předchozím příkladu jsem tady čtvrt hodiny agonizoval, jak vlastně si tu odmocninu upravit, aby šla spočítat z hlavy. To znamená jinými slovy, když vám někdy vyjde odmocnina, která nejde z hlavy dopočítat, tak bych se znovu radši zkontroloval, jestli to mám dobře. Tak, co teď s tím, no, těch možností je několik, že jo. Vy se vrátíte k tomu vzorci, který jsem před chvílí tady psal. Odmocnina z A krát B je to samé jako odmocnina z toho čísla jednoho krát odmocnina z toho čísla druhého, že jo. A to platí tam a platí to i zpátky. To znamená, já, vidíte, že mám součin dvou čísel pod odmocninou, takže já to rozhodně, tady se mi dobře píše, můžu napsat jako odmocninu z 16. Nebo takhle v prvním kroku, abyste nebyli zmatení, tak vlastně to jakoby nacpu pod tu odmocninu. Takže odmocnina z 2 x 8. A to je to samé jako odmocnina z 16. 2 x 8 je 16. Odmocnina z 16 je kolik? 4. A máme vyhráno. Takže vidíte, že vlastně vy s těmi mocninami, odmocninami počítáte podle tohohle vzorce a můžete ho použít tam anebo zpátky. Druhá možnost je, a vidíte, že to funguje. Já teď tenhle ten příklad zkusím vyřešit, on by šel vyřešit touhletou metodou, já to ukážu. Samozřejmě všichni souhlasíte, že 3 x 12 je 36 a odmocnina z 36 je 6. Takže výsledek tohohle je 6. Ale jenom pro to cvičení, abyste to chápali, tak taky se na to můžu dívat, na tu 12, že si ji můžu dál roztrhnout. 12 není prvočíslo, já si ji můžu roztrhnout jako součin. A tedy já kromě tohohle řešení, co teďka si smažu, tak si taky můžu tu 12 dál roztrhnout. A na co? Tu 12 můžu roztrhnout jako 3 x 4 krát odmocnina ze 3. Teďka tohle roztrhnu na ty dvě odmocniny. Můžeme to udělat rovnou, ale abyste viděli ty kroky. To znamená mám odmocninu ze 3 x odmocninu ze 4 x odmocninu ze 3. A já to jenom napíšu vlastně vedle sebe, ty odmocniny, abychom to viděli. Odmocnina ze 3 x odmocnina ze 3 x odmocnina ze 4. Jen jsem tuhle odmocninu dal sem, u toho násobení na tom nezáleží, na tom pořadí, to vy víte. A co je? Proč to dělám? Potřebujeme všichni vědět, co je odmocnina ze 3 x odmocnina ze 3. Co to je? No, to je přece odmocnina ze 3 na druhou, že jo? Vidíte, že to jsou dvě protichůdné operace najednou. To znamená, když vy něco posunete tam a stejně to posunete zpátky, tak jste zase na začátku. To znamená, tyhle dvě operace se vyruší a platí, že odmocnina ze tří krát odmocnina ze tří jsou tři, protože ta odmocnina s tou mocninou se vyrušila, krát odmocnina ze čtyř jsou dva. To znamená, vidíte, že výsledek je zase 6. Takže druhá možnost, jak vlastně se k té 6 dopracovat, místo abych šel takhle, tak pořád pokračuju tímhle směrem. Roztrhl jsem tu 12. Tady si zase můžeme ukázat oba dva způsoby. Rozhodně můžu říct, 2 x 3 je 6, x 6 je 36. Takže rozhodně to je odmocnina z 36 a to je 6. Ale kdybych chtěl jít ještě tou metodou toho roztrhávání, tak bych rozhodně to mohl napsat jako odmocnina z 2, to je tahle, krát odmocnina z 3, to je tahle, krát, a řekněte mi, na co roztrhneme tu šestku? No jasně, na odmocninu z 2 krát odmocninu z 3, že jo? Protože to je 2 krát 3 je 6. A teď jsme stejně jako tady, v tomhletom případě, my víme, že máme odmocninu z 2, když to napíšu, odmocninu z 2 krát odmocninu z 2 krát odmocninu z 3 krát odmocninu z 3. Odmocnina z 2 krát odmocnina z 2 jsou 2, odmocnina ze tří krát odmocnina ze tří jsou tři, dva krát tři je šest. Uf, platí to. Takže tohle je strašně jednoduchý, ale já potřebuji, aby se vám to zarylo pod kůži, to, že když vidíte součin odmocnin, tak přemýšlíte, je pro mě lepší si to dál roztrhat, někdy je lepší to dál roztrhat na další součiny, a někdy je lepší naopak se dívat na ten součin jako na jedno číslo pod odmocninou, které pak jde odmocnit. A někdy jdou použít oba dva postupy a je to úplně šumák. Tak jo. Tak, v příkladu 5 pokračujeme v počítání s odmocninami, ale teď zase pro změnu. Nemáme ty odmocniny součinů, ale máme vlastně tady odmocninu buď třeba v čitateli zlomku, anebo ještě lépe máme tady odmocninu zlomku. Než se do toho zase pustíme, tak potřebuju, abyste vstřebali ten druhý vzorec. Jaký je ten první? Teď možná legitimní nebo správná otázka, doufám, že to víte. Ten první byl, že ta odmocnina z A krát B, z toho součinu, z toho čísla, můžeme roztrhnout jako odmocninu z A krát odmocninu z B. To je ten první vzorec pro počítání s odmocninami. Ten druhý nám říká, že odmocnina nějakého A lomeno B, všimněte si A krát B, A lomeno B. Co je toto lomeno? My jsme si říkali, ta zlomková čára je jinak zapsané dělení. To je A děleno B. Odmocnina z A děleno B. A lomeno B. Tak úplně stejně ji můžu napsat jako odmocninu z A lomeno odmocninu z B. To znamená odmocninu z A děleno odmocninou z B. A teď podíváme se na to, tady využiju, vidíte, proč to děláme, tenhle vzorec. Podíváme se na tenhle příklad. Tenhle příklad už se může objevit u přijímaček a věřím, že některým z vás už může trošku dělat potíže. Vy vidíte, že tady máte pod odmocninou kromě té šestnáctky, tak tady jsou taková divná čísla, která nejdou úplně odmocnit. Platí, že pokud takovýhle příklad máme upravit, tak my potřebujeme ty čísla rozložit na taková čísla, která buď půjdou odmocnit, anebo se vykrátí. Pojďme si to předvést. Budeme pokračovat podle těch vzorců, abyste měli návod úplně. Takže vidíte zlomek pod odmocninou. Teď vám dávám ten návod, tu kuchařku, jak ten příklad u přijímaček vyřešit. Ať jakýkoliv, ten, ten nebo jakýkoliv jiný. Tak první krok. Vidím, tady je zlomek pod odmocninou. Vždycky si přátelé přepište ten příklad podle tohohle vzorce. Takže vy vždycky, ať se děje, co se děje, si to budete chtít přepsat jako odmocnina ze 45 lomeno odmocnina z 16. To je první krok. Teď už se nám s tím vlastně lépe pracuje, protože dokážeme uchopit tuhle odmocninu, dokážeme uchopit tuhle odmocninu a neuděláme tam chybu. Určitě můžeme dál si to zapsat jako 2 lomeno odmocnina z 5 x odmocnina ze 45 a tu odmocninu z 16 už spočítat umíme. Takže lomeno čtyřmi. Vidíte, jak se nám to zjednodušuje. Teď vidíme, že tady je součin. Takže ještě v tomhle kroku, než budu pokračovat, si mohu tady tuhle dvojku zkrátit se čtyřkou. Takže mám jedna lomeno odmocnina z pěti krát odmocnina ze čtyřiceti pěti lomeno dvěma. A teď jak jsem vám říkal, vidíte, že pětka je prvočíslo a to nepůjde rozdělit na nějaký součin čísel, která jdou odmocnit. Pokud se dostanete do této situace, tak jediná možnost, jediná cesta je, že se vám ta odmocnina z pěti vykrátí. No a ona se vykrátí. Pojďme se na to podívat. Na tuto odmocninu ze 45, to není prvočíslo, takže můžu ho zapsat jako součin nějakých dvou čísel, použít tenhle ten vzorec. A já teď chci, abyste si všichni vymysleli, kdyžtak si to pozastavte, na co roztrhnete těch 45, abyste dostali součin dvou čísel pod odmocninami a ono se vám to vykrátilo. Takže kdo z vás si napsal, hele, jedna lomeno odmocnina z pěti krát, a těch 45 si zapsal jako co? Jako odmocnina z pěti krát odmocnina z devíti, že jo? Protože pět krát devět je 45, že jo? Lomeno dvěma, tak je, přátelé, co? Vítěz, že jo? Protože co se teď stane? Tady je krát, to znamená, tahle odmocnina z pěti se vykrátí s touhle odmocninou z pěti. To já doufám, všichni chápeme, že jo? Že takhle křížem můžeme krátit, to jsme měli ve zlomcích. No a zbylo nám co? Tady je jednička. Takže nám zbyla vlastně odmocnina z devíti lomeno dvěma. No a odmocnina z devíti jsou co? Tři, že jo, poloviny. Tři poloviny. A máme vystaráno. Takže vidíte, že vlastně pomocí tohohle vzorce jsme si uvolnili ten zlomek pod odmocninou na odmocninu z čitatele a odmocninu z jmenovatele a pak už jsme vlastně použili tenhle ten rozklad. Úplně stejný tady. Všichni si to teďka zkuste sami. A teď jdeme na to, vy už to teda máte. Takže co jste udělali? Úplně automaticky jste teda napsali. Je to odmocnina ze sedmi lomeno odmocnina z devíti krát odmocnina ze sedmi lomeno třemi. Teď vlastně jste si řekli, aha, to je jasný. To je vlastně co? Odmocnina ze čtyřiceti devíti a odmocnina z devíti jsou tři, krát tři, takže vlastně, že jo, to je devět, omlouvám se. Odmocnina ze sedmi krát odmocnina ze sedmi je sedm. Odmocnina z devíti jsou tři, krát tři je devět. Takže tady jste si napsali, aha, je to sedm devítin. Že jo, sedm devítin. Tak, takže to je to B. Tady, jo? To C. Zase automaticky píšu. Aha, odmocnina ze sedmi lomeno odmocnina z pěti, krát. A teďka vidím, že tohle nejsou rozhodně prvočísla, že jo? Nejdou rovnou odmocnit. Takže zase vidím, že si je roztrhnu na součin nějakých dvou odmocnin, kde doufám, že jedna půjde odmocnit a ta druhá se třeba vykrátí. Když se nad tím zamyslíte, dokážete 80 roztrhnout na nějaký hezký součin? I když to neroztrhnete na hezký součin, tak ten váš součin potom půjde roztrhnout na nějaký další součin. A ten pak půjde pokrátit nebo odmocnit. Neznamená to, že když rovnou netrefíte to, co já vám teď řeknu, 80 můžu zapsat jako 5 x 16. To znamená, odmocnina z 80 bude odmocnina z 5 x odmocnina z 16, protože platí 5 x 16 je 80. Tudíž odmocnina z 5 x odmocnina z 16 je odmocnina z 80. Takže já si tady napíšu, aha, místo těch 80, odmocninu z 5 x odmocninu z 16. A vidíte, proč se to třeba neroztrhne na 8 x 10? No, protože ani 8, ani 10 nejdou rovnou odmocnit a nevidím tady rovnou to krácení. Samozřejmě s tím 8 x 10 se dá dál pracovat, protože vy můžete tu 10 roztrhnout jako odmocninu z 5 x odmocninu ze 2 a tu 8 jako odmocninu ze 2 x odmocninu ze 4. Ty odmocniny z 5 se vám tady pak vykrátí, odmocnina ze dvou krát odmocnina ze dvou jsou dva a odmocnina ze čtyř jsou taky dva. Dostanete to samý. Teď jsem zablábolil takovou dlouhou věc, já už to nechci psát, ale jinými slovy jsem teďka mluvil o tom, že těch 80 můžete roztrhnout i na něco jiného a když budete pokračovat v tom roztrhávání, tak ono se vám to stejně odmocní nebo vykrátí a výsledek bude stejný. Ale tohleto je rovnou, rychle a elegantně. Tak 28 si zase řeknu, že je odmocnina ze 4 krát odmocnina ze 7. Takže odmocnina ze 7 krát odmocnina ze 4. No a co se teď stane? Odmocnina z 5 a odmocnina z 5 se vykrátí. Tady zbydou jedničky. Odmocnina ze 7 a odmocnina ze 7 se taky vykrátí. To znamená, já jsem tady dostal odmocninu z 16 lomeno odmocninu ze 4. To znamená, to jsou 4 poloviny. To znamená, krásný výsledek je 2. Takže teď jsme si ukázali, jak počítat ty odmocniny, když mám pod tou odmocninou zlomek. A je to třeba v součinu s nějakým dalším zlomkem. To znamená, zase používám buď ten, nebo ten vzoreček, roztrhnu, odmocním, anebo vykrátím. To je celé. Tak, máme tady příklad 6. Příklad 6, jako vždycky, máme nějaké příklady pro samostatnou přípravu, abyste se s nimi trošku potrápili. Hele, já jenom ukážu, nebudu to počítat, že musím zrychlit trošku. Ukážu, jak bych si to upravil velice rychle. Já bych si napsal 1 minus. Teď vlastně vidím, že musím udělat tu druhou mocninu. To znamená, rovnou si můžu napsat 9/25. A teď teda děleno. A teď vám chci ukázat, jak se třeba popasovat s tímhletím. Žádná celá 4 bych si mohl klidně napsat jako co? 4 desetiny na druhou. Proč jsem to převedl na zlomek? Protože tady mám zlomek, lépe se mi s tím počítá. To znamená zase, už bych si mohl napsat 1 minus 9/25. Tady ty 4 desetiny si předtím můžu pokrátit dvěma na dvě pětiny. To znamená, já už vlastně můžu psát, že to jsou 4/25. A teď už si to spočítejte sami. Takže vidíte, že pokud budete mít v přijímačkách příklad, kde budete mít nějaká desetinná čísla a jejich druhé mocniny, často bývá, a já to takhle dělám vždycky, ale nenutím vám to, že si to desetinné číslo převedu na zlomek a dělám druhou mocninu čitatele, druhou mocninu jmenovatele. Jo? Tak. Takže zkuste si dopočítat, jestli vám ten příklad 6 vyjde podle výsledků. Tak, přátelé, v příkladu 7 máme několik hrozně vypadajících příkladů, ale uvidíte, že na tom vlastně nic není. Asi nic horšího už vás u přijímaček nepotká. Já jsem vlastně sem dal co nejvíc znamének, jo? Tak jsem to prostě zamíchal, aby to opravdu vypadalo jako blbě, aby se ukázalo, že teda si na tom vyzkoušíte tu látku. Děláme ty nejhorší příklady z příkladu 7, to znamená B, E, F. Ty zbylé jsou velice podobné tomu, co jste dělali a uděláte si je samostatně. Takže my si tady prosvištíme to B nejdřív. Někdy vás trochu trápí, pokud tam těch mínusů je víc, ale prostě každé to mínus si představíte jako mínus jedna krát. Takže my máme mínus 3 děleno mínus 4. Provedeme tohleto dělení. Co je mínus děleno mínusem? To je plus. Takže výsledek tohohle podílu vím, že je číslo kladné. Ale pak mám mínus jedna krát, takže vlastně budou to mínus 3 čtvrtiny. Protože vidíte, že i počet těch mínusů je lichý. To znamená, v té závorce mi zbyde jedno mínus. To znamená, všichni si to můžeme představit jako mínus, (minus tři čtvrtiny) na druhou. V tom prvním kroku. Jenom jsem se vlastně zbavil těchto dvou mínusů. Teď víme, že vlastně mínus krát mínus je plus. To znamená, víme, že výsledek té druhé mocniny bude jaký? Bude kladný. Takže víme, že výsledek tohodle, té druhé mocniny takhle, ještě bez tohohle mínusu, tak je 9/16 a ten je kladný. A teď tady mám to mínus 1, to znamená u přijímaček napíšu mínus 9/16. Jo, vidíte, že nic na tom není. To znamená, tyhle dva mínusy tím dělením vznikly. Kladné číslo, tady jsem měl mínus 1, takže jsem zase dostal záporné číslo v té závorce. Když umocním záporné krát záporné, dostanu kladné. Kladné krát záporné je záporné. Hotovo. Tak, B, teď E. Tady zase máme hromadu závorek a nějaké druhé mocniny. To znamená, my budeme postupovat tak, že spočítáme tu druhou mocninu, tu závorku. A tady vlastně víme, že musíme jít od toho srdce toho příkladu, to znamená od těch kulatých závorek začínáme. Tak já si to tady napíšu, vidím, že vlastně tohleto mínus, je to samé, jako kdyby bylo tady to mínus, nebo tady. Pořád vidím, že to číslo je mínus šest pětin krát mínus šest pětin. Mínus krát mínus je co? Plus. To znamená, já budu mít 36/25 jako výsledek té druhé mocniny. 36/25, minus. A teď vlastně mi tady, já tady takhle opíšu tuhle tu velkou závorku, protože už teď budu mít jenom jednu, tak si místo té hranaté už můžu napsat zase kulatou. A teď se chci popasovat tady s tímhletím. Takže co tady bude? Minus 3 krát minus 3 je plus 9. Minus jedna krát plus devět je mínus devět. A ve jmenovateli 10, takže výsledkem tohohle je mínus, mínus devět desetin. Tak, to máme takovou první úpravu. Takže já pokračuju. 36/25 mínus. A teď provedeme tuhletu druhou mocninu. Takže je to zase mínus devět desetin krát mínus devět desetin. Výsledek bude kladný, ale tady je minus jedna. To znamená, to minus tady zůstane a já si napíšu, že to je osmdesát jedna setin. Jo? Osmdesát jedna setin. Tak je to jasný, doufám, co? Protože mínus krát mínus, výsledek této mocniny je kladný, ale tady mám minus jedna krát to kladné číslo, to znamená, ten výsledek tady bude záporný. Jo? Těch osmdesát jedna setin. A teď už jenom provedu ten rozdíl. To znamená, společný jmenovatel je 100. Tady dostanu co? 4 x 36, to znamená 4 x 30 je 120, 4 x 6 je 24, to znamená je to 144. 144 minus 81, že jo? Setin. To znamená, tady dostanu co? Řeknu si. 144 minus 80 je co? To je vlastně 64, a minus 1 ještě, takže 63. Takže tady dostanu 63 setin a 63 to je 7 krát 9, to už s tou stovkou pokrátit nepůjde, to znamená těch 63 setin je vlastně v základním tvaru, nebo také bych mohl napsat žádná celá 63, desetiným číslem, je to jedno. Tak, oba dva výsledky vám uznají. Tak, to bych řekl, že je taky dobře. A máme tady to F, takže pojďme na to. V tom F zase jenom ten způsob klame tělem, protože vidíte, že tady je druhá mocnina a odmocnina. Co je výsledkem tohohle čitatele? Číslo 1,2, protože před chvílí jsme si vysvětlovali, že ta druhá mocnina a odmocnina se vám vyruší. Takže mám 1,2 v čitateli. Jedna desetitisícina, vy už, před chvílí jsem taky psal, jedna desetitisícina odmocněná je jedna setina, takže jedna setina mínus. Tady je stejné jenom obráceně, jo? Ta druhá mocnina s tou odmocninou se vyruší, to znamená, výsledkem je zase jedna setina jenom, děleno deseti tisíci. Tak, takže takhle by měla vypadat ta vaše první úprava. 1,2 děleno setinou. Teď bude asi nejjednodušší to teda vydělit, že jo? Kolikrát se vejde setina do 1,2? No, to bychom mohli vědět, co? No, kolikrát se vejde setina do jedničky? Stokrát, protože je to setina, že jo? To znamená, do 1,2 se vejde 120krát. Takže vidím, že tenhle podíl je 120, to bylo jednoduchý, mínus. A tady vlastně si můžu vykrátit tu desítku s tou tisícovkou, to znamená tady dostanu stovku, že jo, souhlasíte? Já si to můžu představit takhle, že jo, zlomek. Takže krátím takhle křížem. No a jedna setina krát sto je co? No jedna. Sto dvacet minus jedna a u přijímaček napíšu sto devatenáct. A mám to co? Taky dobře. Takže vidíte, že i obludně vypadající příklady jsou u těch přijímaček strašně jednoduché. Těch pár pravidel jenom a úplně hravě to vyřešíte. Tohle jsou příklady, které opravdu u přijímaček mohou být a spíš jsou ještě lehce udělané, aby byly víc odstrašující. Nejsou těžší, to nejsou, ale jsou zapsány tak, aby vypadaly složitě a aby odradily ty, kteří to neumí. Ale vy už to umíte, to znamená, ničeho se neleknete u přijímaček. Zbytek těch příkladů si dopočítejte samostatně, ale udělejte to, prosím. Tak jo. Tak, příklad 8, už asi tušíte, že tady není napsaný, takže ten je pro vaši samostatnou přípravu. Hele, přátelé, vůbec se toho nebojte. Použijte ty pravidla, která jsme si před chvílí zopakovali. U toho A by to mělo být úplně jasné. Nejdřív uděláte tu odmocninu, přepíšete si ji na odmocninu z čitatele lomeno odmocninou z jmenovatele, provedete to násobení minus dvojkou a potom samozřejmě uděláte také druhou mocninu té jedné poloviny a počítáte. U toho B doporučuji to desetinné číslo, si představte jako celé číslo krát jedna setina. Nechci navádět, žádná celá, nebo 1,96 si můžu představit jako 196 krát jedna setina. Tak, to je to B a zkuste si to zkontrolovat podle výsledků. Tak jo. Tak, devítka, desítka jsou taky samostatné. Je potřeba, abyste prostě trénovali taky sami a přemýšleli nad tím. Hele, u té devítky, jenom to áčko, to znamená devět a, když k tomu budu mluvit, o kolik je menší něco než něco jiného. To znamená, to o kolik znamená, že vy musíte ty dvě čísla odečíst. Kdyby bylo kolikrát je menší, tak byste to museli vydělit. Ale protože je tam o kolik, tak vy musíte ty dvě čísla odečíst. Jinými slovy, já když to tady pro vás napíšu, tak to bude 3 na druhou lomeno čtyřmi, že jo, mínus (3/4) na druhou. A dostanete, o kolik je tohleto menší než tohleto. Tak, to bylo jednoduchý. U toho béčka co? Určete číslo, které musíme přičíst, abychom dostali výsledek číslo 1. To znamená, vy vlastně si to můžete, to 9b, představit jako odmocninu z (1 minus 25/169). A teďka, jaké číslo musím přičíst? Takže plus, a tady hledám to číslo, rovná se 1. Jinými slovy, vy spočítáte tuhletu hodnotu té odmocniny a pak bude platit, že vlastně to číslo, které hledáte, spočítáte jako jedna mínus to, co vám vyjde tady. No a k tomu, co spočítáte tady, že jo, vy potřebujete nejdřív, ale nejde udělat, nejde, to je chyták, nejde to napsat jako odmocnina z jedné mínus odmocnina z tohohle, to fakt nejde. Vy musíte nejdřív spočítat tady tenhle výsledek, takže vy si představíte, že nejdřív budete počítat jakoby zlomek, nebo příklad na zlomky, 1 minus 25/169, že jo? A ten až spočítáte, něco vám vyjde, nějaký zlomek. A ten pak dáte pod tu odmocninu, jo? A vyřešíte tu odmocninu a potom, až to budete mít, tak to odečtete od té jedničky. Tak, takže to je ten příklad 9. Protože jsem sem napsal i tu desítku, abych to sfouknul v jednom. Hele, tak u té desítky, co se to po vás vlastně chce? To je jakoby jednoduchý příklad s mocninami a odmocninami. A vy jenom máte trénovat, protože za chvíli právě teď, v dalším příkladu už, začneme počítat s těmi písmenky. Tak jenom, abyste si uměli představit, že vlastně ty písmenka představují číslo. To znamená, co já po vás chci, když ho tady napíšu, nechtělo se mi, ale napíšu ho, a na druhou mínus jedna polovina odmocnina z (a plus b), tak vy máte zadáno, čemu se to a a b rovná. No tak to tam dáte za tyhle písmenka. A pokud vám můžu radit, tak ten celý trik, teď sem místo toho a bych napsal 1,5. Sem bych dal 1,5, sem bych dal žádná celá 75. Takže vzpomeňte si na jednu věc, kterou jsem vám říkal o počítání s desetinnými čísly a o tom, jak je lepší si ta desetinná čísla zapsat. A pokud nevíte, tak si musíte pustit ty videa znova, jo? Protože jsem to zmiňoval i v minulé lekci pravděpodobně a i dneska, jo? Takže jde to počítat samozřejmě, když dosadíte 1,5 a tam žádná celá 75. Ale mnohem jednodušší to půjde, když si místo těch desetinných čísel to číslo zapíšete nějak jinak. Tak, zkuste vyřešit, zkontrolovat výsledky. Takže přátelé, jsme v druhé části lekce a teď se dostáváme k nové látce, která je jako každá jiná super důležitá. Proč? Protože ty úpravy výrazů jsou v každém testu. V každém. Po tom, co spočítáte zlomky v tom příkladu 2, tak budete upravovat výrazy. Začneme úplně od začátku. Pokud v tom někdo plave, tak teď si udělá jasno, nebojte. Komu to přijde jednoduché, tak prostě to přeskákejte a pusťte se do těch složitějších příkladů samostatně a zkontrolujte si to s výsledky. Tohle je opravdu úvod. Budeme to pak dál opakovat těžší a těžší příklady i v dalších lekcích, potom v takovém opakování, ale dneska začínáme úplně od základu. Tak, počítání úprav algebraických výrazů, proč? Protože prostě tam jsou písmenka, tím se netrapte. Prostě jsou to příklady většinou se závorkami a písmenky, tady vidíte, že mám x, ale místo toho by mohlo být a, c, b, prostě cokoliv, je to šumák. A vy musíte umět nějakým způsobem vypočítat takovýhle příklad, upravit ho. To zadání u přijímaček bude vypočtěte příklad tak, aby ten výsledek neobsahoval závorky, nebo může být napsáno, vynásobte dvojčleny. Co to jsou ty dvojčleny? Já tyto členy budu taky pak ještě používat. Je to dvojčlen, vidíte jeden člen, druhý člen. Jak poznám ty členy? Členy jsou takový ty stavební kamínky těch příkladů a jsou od sebe odděleny plusem nebo mínusem. Takže vidíte, že tohle jsou dva členy. Toto jsou taky dva členy. My násobíme dva dvojčleny. Proč nemůžu říct, že to je x na druhou plus 9? Pokud si někdo řekl, že výsledkem tohohle je x na druhou plus 9, tak si to řekl blbě a musí se dívat dál na tohle video. Kdo z vás si řekl, že ten výsledek je x na druhou plus 6x plus 9, tak možná může pokračovat, může přeskočit a může jít dál. To byla taková vsuvka. Že někdy jako tady sedíte a to je jasný, ne? To je x na druhou plus 9. No není. Proč? Protože součin těchto dvou závorek se musí upravovat tak, že my každý člen z té závorky musíme vynásobit každým členem z té druhé závorky. To je ten hlavní princip. Předvedu. To násobení musí vypadat, vzal jsem si tady barevné fixy, teď si tady s nima nervózně hraju. Tak začneme. Ten součin musí být tak, že vynásobím první člen krát první člen. První krát první. Co je výsledkem toho součinu první krát první? x krát x je x na druhou, že? Takže dostanu x na druhou, z té modré šipky. Tak, teď musím dál, ten první člen taky musí vynásobit ten druhý člen v té závorce. Jo, x krát 3 je co? 3x, že jo? 3 krát x je 3x, takže bude plus 3x, jo? To je tenhleten. Tak, teď vlastně musím popadnout tenhleten druhý člen. A zase s ním musím vynásobit oba dva ty členy v té druhé závorce. Jinak to nejde. To znamená, mám 3 krát x, zase, to znamená, mám další plus 3x. A teď udělám to poslední. Vidíte, že zbývá poslední násobení. 3 krát 3 je 9, plus 9. Takže vidíte, že výsledek je x na druhou. Teď, když tohleto sečteme takhle dohromady, tak to je co? To je 6x a tohle je 9. Takže výsledek, když napíšu, je x na druhou plus 6x plus 9. Takže není to x na druhou plus 9, je to x na druhou plus 6x plus 9. A teď proč to vlastně takhle jako děláme? Tady vlastně jde o to, že pokud my bychom tady místo toho x znali to číslo. Dám příklad. Představme si, že to x bude třeba 5. Pro x rovno 5. Tak, já bych si mohl říct, 5 plus 3 je co? 8. 5 plus 3 je 8, to znamená pro x=5 je výsledek toho součinu 8 x 8 = 64. Představte si teďka, kdybyste řekli, že to je jen x na druhou plus 9. Takže u vás by to bylo x na druhou je 5 x 5 = 25, souhlasíte, plus 9 a dostanete 34. Vidíte, že vám tam chybí těch 30. Jo, to je ten důkaz, že se to takhle musí dělat. Jinými slovy, vy prostě pokud tady neznáte to číslo, abyste mohli provést ten součet v té závorce, tak musíte roznásobit každý člen každým členem, jinak ten součin nebude správně. Asi takhle jednoduše bych to řekl. A úplně stejně budeme pokračovat tady. Já bych chtěl, aby už jste si to spočítali, už to není těžký. x krát x je x na druhou, to je ten první, ještě udělám šipky, teď vidím, že mám minus 3, pardon, teď dělám ještě pořád tuto šipku, x krát minus 3, takže dělám minus 3x, dávám pozor na znaménka. Teď mám minus 3 krát x, to je další minus 3x. A dělám minus 3 krát minus 3, to je plus 9. Takže výsledkem je vlastně zase trojčlen. 1, 2, 3, tady taky. x na druhou minus 6x plus 9. To je ten trojčlen výsledek. Takže je důležité si pamatovat, dávat pozor na ty znaménka. Když jsou v obou dvou plus, tak ten trojčlen bude mít všude plus. To platí vždycky. Když budou obě dvě minus, minus, minus, tak ten trojčlen bude mít u toho prostředního členu minus. Ale tady bude plus. A tady taky. Proč? Protože tady se dělá druhá mocnina tohohle čísla, a to je vždycky kladné. A tenhle člen je zase druhá mocnina těchto dvou. A zase minus krát minus je plus. Zamyslete se nad tím. A úplně stejně uděláme to C. A tady vlastně vidíte, že my provedeme ten první. x krát x, to je x na druhou. x krát minus 3, tady dostaneme minus 3x. Teď uděláme 3 krát x, to je 3x, plus 3x. A teď uděláme 3 krát minus 3 je co? Minus 9. Takže tady uděláme minus 9. Takže teď vidíme, že tyhle prostřední členy, jako tady se nám vlastně udělalo minus 3x a plus 3x, tak tady dostaneme co? Nulu, to se odečte. To znamená, pokud ty dvě znaménka jsou plus a minus, nebo minus a plus, to je jedno, pokud jsou prostě různá, tak ten prostřední člen se nám odečte a výsledkem je x na druhou minus 9. Jo, x na druhou minus 9. Takže tohleto jsou ty správné výsledky. Ty šipky, přátelé, jsou strašně důležitý. A teď je potřeba, kdo to nevěděl, jak se tohleto správně násobí, tak aby si to do bezvědomí zkusil na x plus 5 krát x plus 5. x minus 7 krát x minus 7. Dělejte si svoje příklady v těchto kombinacích a jeďte do bezvědomí, než budete schopni vytvořit tyhle trojčleny. A ty pravidla, co jsem vám říkal, pořád platí. Tak, já vím, že to je část toho příkladu 11. Druhá vlastně tady je napsána, vyřešte příklad z vedlejšího sloupce pomocí vzorce. Tak já teďka tady, že už se mi to sem, ale jo, vejde se mi to sem. Ten vzorec, co je to ten vzorec? To vy se naučíte do bezvědomí, ten vzorec, protože ho budete potřebovat. Vidíte, že to je nějaké číslo plus něco krát nějaké číslo plus něco. Takže my si to představíme, že tohleto číslo, zapisujeme to obecně jako nějaké číslo A, plus nějaké číslo B krát to samé číslo, zapíšeme ho tím A, plus nějaké stejné číslo, že jo? B. Takže ten vzorec je (a + b) * (a + b). A teď za domácí úkol vy si provedete těmi šipkami vlastně to násobení takhle, tak jak já tady ukazuju takhle, jo? A musíte dostat následující výsledek. a^2 + 2ab + b^2. To 2ab je ten prostřední člen. Vidíte, že to je vlastně to 2x3x. To ab je to 3x, 2ab. Takže tady vlastně to 2ab vzniklo jako a x b plus a x b. Já to ještě ukážu v detailu na dalším příkladu. Ale jenom chci teď ty vzorce tady nastínit. Já teď chci, abyste se mechanicky naučili, a pak si to odvodíme ještě, že (a + b) * (a + b) je a^2 + 2ab + b^2. Stejně tak chci, abyste se mechanicky naučili tady u tohle příkladu, že (a - b) * (a - b) je, to je tenhle příklad, je a^2 - 2ab + b^2. Zase se k tomu dostaneme, ale chci, abyste to uměli. To znamená, co to je to a^2 - 2ab + b^2? To znamená, že já vím, že výsledkem bude tenhle člen na druhou, dvakrát součin toho a, b a ještě plus ten b na druhou. A tenhle poslední vzorec je (a + b) * (a - b). A tady chci, abyste si zase udělali ty šipky. A musí vám vyjít, přátelé, že výsledkem je a^2 - b^2. Jo? Takže tyhle vzorce chci, abyste se teďka naučili, abyste si na nich udělali za domácí úkol ty šipky a dostali tyhle tři výsledky. Jo? Budeme s tím pracovat dál. Tak jo. Tak, hele, jsme v tom příkladu 12. Já to vezmu postupně nějak. A budu psát vždycky jeden příklad, abychom tady v tom neměli guláš. Tak, teď máme spočítat tenhle ten součin. První možnost je, nebo jak na to, zase ta kuchařka, krok po kroku. Jsem u přijímaček. První, co se podívám, je, co je v těch závorkách. Podívám se, jsou obě dvě ty závorky stejné? Ano, jsou. Pokud jsou, tak je nejlepší použít ten vzorec, protože mi hned dá ten výsledek. Když to napíšu tady pod to ten vzorec, tak je to vlastně to (a + b), tohle je ten člen A, tohle je ten člen B, krát a zase tohle je ten člen A, vidíte, že je stejný, plus ten člen B, to je tenhleten. Tak a vy jste se naučili, že vlastně výsledkem tohohle součinu, když jste si zkoušeli v tom příkladu, co to bylo 11, ty šipky, tak vlastně z hlavy okamžitě ve vteřině u přijímaček víte, že výsledkem je ten trojčlen ve tvaru a^2 + 2ab + b^2. To vy víte. A teď já chci, abyste vlastně podle tohohle trojčlenu vytvořili ten trojčlen tady s těma skutečnýma písmenkama, čísly, tak pojďme na to. Člen A je 2x, takže ten můj trojčlen bude vlastně (2x)^2. Souhlasíte? Popadnu to áčko, to je 2x, a udělám na druhou. Takže co je 2x krát 2x? No, 4x^2. A mám ten člen a^2. Teď vím, že bude plus, protože všude jsou plusy, že jo? A teď udělám nejdřív ten součin a krát b. Co je a krát b? A je tohle a B je tohle. 2x krát 3 je 6x, takže a krát b je 6x, krát 2 je 12x. Takže okamžitě vím, že tady bude 12x, to je ten člen 2ab. A teď vlastně udělám ten člen b na druhou a vidím, že B je 3, to znamená 3 krát 3 je 9. A máme to, máme to hotové. Vidíte, že to bylo mnohem, tohle se pak naučíte prostě za vteřinu, úplně hned to vidíte ten výsledek. Samozřejmě pořád taky jde udělat to, že si řeknu, 2x x 2x jsou 4x^2, pak si řeknu, 2x x 3, že jo, to je ta první šipka, 2x x 3 je 6x, takže mám 6x plus, pak udělám tuhle šipku, to je taky 6x a vidíte, že dostanete těch 12x. A pak si udělám tu poslední. 3x3 je 9. Taky to dostanu. Ale trvá to déle. U přijímaček jde o každou vteřinu. Takže proto používáme ty vzorce. A ty vzorce nám potom pomůžou i s tím, že budeme se muset naučit, jak z tohohle trojčlenu dostaneme ty dva dvojčleny. Ale to až někdy příště. To dneska dělat nebudeme. Tak, proto jsou ty vzorce důležité. Takže já doufám, že jste upravili ten výraz a vidíte, že ten součin už neobsahuje závorky. Výsledkem je ten trojčlen. Tak, protože je to důležitý, tak já pokračuju. Neumdlévám, vy taky neumdléváte, doufám. A jdeme dále. Bčko. (5 - 3x) * (5 - 3x). Takže, jaký to je vzorec? No (a - b) * (a - b). Já to ještě potom napíšu. (a - b) * (a - b). Vy jste si před chvílí odvodili, že výsledkem (a - b) * (a - b) je trojčlen a^2 - 2ab + b^2. To jste si odvodili těma šipkama. Takže teď my aplikujeme to, že my víme, že ten náš součin bude v tomhletom tvaru, tohohle trojčlenu. Takže stejně jako před chvílí jdeme na to. A, hele, 5 x 5 je 25. Mínus a krát b, 5 krát 3x je 15x, krát 2 je 30x, takže minus 30x. Plus, a teďka minus 3x krát minus 3x je 9x^2, takže plus 9x^2. A máte to. Zase cvičně si zkuste, kdo si není jistý, ty šipky. Jo? Vyjde vám úplně to samé. Takže takhle vlastně vy ten vzorec si držíte v hlavě u přijímaček, aplikujete ho vlastně na ty závorky a hned dostanete ten výsledek toho trojčlenu. Tak, ta poslední kombinace, ten další, já to udělám teda, protože v tomhle musíte mít úplně jasno. Jinak je to peklo. C. V C máme (6x - 3) * (6x + 3). Tak, jaký je to vzorec, přátelé? Je to ten vzorec (a - b) * (a + b). Že ano? A vy před chvílí, těma šipkama zase, tím násobením, jste si vytvořili, že výsledek toho součinu je a^2 - b^2. Tak, to znamená, teď my aplikujeme tenhle výsledek na tenhle náš příklad. Takže bez toho, aniž bych tady musel dělat ty šipky pracně, tak já hned vidím, aha, a je 6x, tak a^2 bude 36x^2, že jo? Bude tady minus. b je 3. b^2 je 9. Takže vidím, že vlastně dostanu 36x^2 - 9. Tak. Hele, určitě se může stát, ukážu vám to D ještě a E jenom řeknu k samostatnému zamyšlení. To je takový úplně jenom malinký chytáček, ale myslím, že jste to asi prokoukli. Hele, D. Tady máme co? (1/2 x - 2) * (1/2 x - 2). Takže co? My vidíme, kouknem na to, je úplně šumák, že tady je zlomek. Počítá se s tím pořád stejně, nebojte se toho. Je tahle závorka stejná jako tahle? No je, paráda, nemusím dělat ty šipky teda. A vím rovnou, že to je vlastně vzorec (a - b) * (a - b), že jo? A vím, že výsledkem bude teda a^2 - 2ab + b^2. A jedu, jo? Takže a je 1/2 x. Co je 1/2 x krát 1/2 x? No, 1/4 x^2. Kdo neví, jak umocňovat zlomek, tak se podívejte na příklad 2 myslím, jo, v téhleté lekci. Takže umocňujeme čitatel krát čitatel, jmenovatel krát jmenovatel, že jo, takže dostaneme 1/4 x^2. Tak, teď vlastně vím, že bude mínus a udělám si ten součin a krát b. Tak, já vlastně mám 1/2 x krát 2, kolik to je? Dvě poloviny x, jo. Souhlasíte? To je to a krát b. A dvě poloviny je co? To je x, že jo. Takže to a krát b se rovná x. Já mám ale 2 krát a krát b, to znamená, tady bude 2x. Takhle. Jo, a je to. A teď mám vlastně, vím, že bude plus. A Bčko, to je ta dvojka, že jo? Minus 2 krát minus 2 je plus 4. Tak. A vidíte, že i bez šipek jsem zase dostal ten výsledný trojčlen, který už neobsahuje závorky. Jo, upravili jsme součin tak, aby neobsahoval závorky. To je to pravděpodobné zadání, se kterým se setkáte. U toho éčka, hele, borci, tady už jenom nebudu mazat. Jsou ty závorky stejné nebo nejsou? Každý z vás si odpoví. Kdo z vás si odpoví, že jsou, tak pravděpodobně může použít vzorec. Kdo z vás si odpoví, že nejsou, tak musí použít ty šipky. A potom se zkusí zamyslet, co by mu vyšlo, kdyby použil vzorec. No a kdo neví, tak prostě použije šipky i vzorec a podívá se, jestli mu to vyjde stejně a dostane z toho výsledek. Takže zkuste se zamyslet, co to znamená, když máme ty členy přehozeny v těch závorkách. To pořadí. Samozřejmě zase záleží na znaménkách. Zkuste se nad tím zamyslet, tohle musíte vstřebat sami. Já vám nemůžu hodiny pořád ukazovat všechny ty kombinace. Potřebujete se sami nad tím zamyslet. Tak jo, to je příklad 12. Takže přátelé, jsme u příkladu 13 a já jsem vybral z toho příkladu 13 ten nejhorší příklad, který si tady ukážeme. Ty ostatní si zkusíte samostatně a zkontrolujete s výsledky. Takže, z mnoha příkladů H je tady jeden chyták, jeden problém. Většinou to studenti zvládnou dobře, komu to nevyjde, tak většinou se nachytá tady na tomhle mínusu. Tohle to mínus. A já vám ukážu, jak se s tím mínusem popasovat tak, aby vám to vždycky vyšlo a neudělali jste chybu. Pojďme na to. Takže, tohle je příklad, který můžete mít úplně v pohodě u přijímaček. Ta obtížnost úplně je v pohodě, jako u přijímaček, a už to není takový ten jednoduchý cvičný. Už tam je nějaký jakoby trik, může to být u přijímaček. Takže, vy máte takovýhle příklad, zamnete si ruce, řeknete si, hele, to je dobrý, to já umím tohleto, že jo, dostanu za to plný počet bodů a jedete. Takže, mrknete první, mám součin, jo, vidím, tady je součin, tady je mínus. Musím nejdřív spočítat tenhle ostrov, tady mám tenhle součin, ten má přednost, musím spočítat tenhle ostrov a potom to odečtu. To je první myšlenka. Druhá. Podívám se do těch závorek, jsou stejný? Nejsou. Nemůžu teda použít vzorec a použiju roznásobení každý s každým. To jsme před chvílí trénovali, ty šipky. To znamená pokračuju. Hele, y x y píšu y^2. y x 1 píšu y. –4 x y píšu –4y. –4 x 1 píšu –4. A mám tu první, takhle. Pokračuju dál a teď přijde ten trik. Teď přijde ten trik. Teď přijde ten trik. Dobrý, tak to bylo dostatečně sugestivní. Co s tím mínusem? Moje doporučení. Já si ho tady takhle napíšu. A vy víte, že mínus před závorkou mění znaménka v závorce. Ale vy tady nechcete teďka si měnit nějaký mínusy. To byste se z toho zbláznili. Zvlášť, že by to bylo složitější. Vy si tady tu závorku takhle uděláte a teď roznásobíte tyhle dva členy do téhleté závorky, jako by se nechumelilo. Jinými slovy, jako by tady to mínus nebylo, jako by tady třeba bylo plus. To je šumák. Prostě teďka to mínus tady neřešíte. Řešíte jenom tenhleten součin v téhle závorce. A potom otočíte ty znaménka, až když už máte hotový ten součin. Takže y x y, y^2, píšu do závorky. y krát 2 píšu 2y. Minus 1 krát y píšu minus y. Minus 1 krát 2 píšu minus 2. Uzavřu. Tak. No a teď, že jo, už to je jednoduché. Tady píšu y^2. Tady můžu tyhle dva, y minus 4y, napíšu jako minus 3y. Minus čtyři a teď prostě se tím netrápím. A v tomhle kroku tady opíšu celou tu závorku jenom s opačnými znaménky. A jedu, jo, minus y^2, minus dvě y, plus y, plus dva. Bez přemýšlení, u přijímaček nestresuju se, relax, jo, jedu takhle. No a teď už mi zbývá jenom ty členy se stejnými mocninami sečíst. Takže, kde mám druhý mocniny? Tady plus y^2, minus y^2. Co se s nima stalo? No odečetly se, že? Šup, šup, jsou pryč. Teď jdu na ty členy s tím y. Minus 3y, minus 2y je minus 5y, že? Plus y, tak je minus 4y. Tohle, tohle a tohle mám pryč. No a zbývá mi minus 4 plus 2 jsou minus 2. Tak. No a máte spočítáno. Výsledkem je minus 4y minus 2. A máte to dobře. Takže vidíte, že vlastně, já tady popadnu to zadání, když máte před nějakým součinem takhle to mínus, tak si udělejte tuhletu závorku. A vlastně udělejte si ten součin do té závorky a neměníte dopředu nic. Změníte ty znaménka, až když se budete zbavovat té závorky. Vy vlastně tu závorku roznásobíte tou mínus jedničkou, která tady sice není napsaná, ale vy si ji umíte představit. Tak jo, tak to je ten nejtěžší příklad z té třináctky. Zbytek je lehčí, vy si je zkuste a zkontrolujte s výsledky. Tak, přátelé, jsme u příkladu 14. A příklad 14 ukazuje, že i vlastně z těch výrazů se dá vytvořit taková slovní úloha. O čem je ta naše slovní úloha? No, představte si, že máte čtvereček, nějaký z papíru třeba, a ten má velikost strany x. Co to je? Je to x. To je divný, ne? No, vězte, že za to x si můžete představit libovolné číslo. Pojďme si třeba říct, abychom si to uměli představit, že třeba to x tady v našem případě, teďka cvičně, bude třeba 5, plácnu. Tak, jaké rozměry bude mít ten obdélník, když ten čtverec bude mít stranu 5? Všichni z vás by to měli umět určit. Já teď chci jako duševní cvičení, abyste mi řekli, jaké strany bude mít ten obdélník, pokud ten čtvereček má stranu 5. No tak to umíte, že jo? Vy jste si řekli, aha, no jasný, když x je 5, tak vlastně 2 x 5 je 10 plus 3 je 13, takže ta strana toho obdélníčku bude tahleta 13 a tahleta 2 x 5 je 10 minus 3 je 7. Takže vidíte, že pro x=5 by ten obdélník, pokud bude vytvořen z toho čtverce, takže vlastně vynásobíme tu délku strany čtverce dvakrát a přičteme trojku a tady trojku odečteme, bude vypadat takhle. Jo? 13 krát 7. Kdyby třeba to x bylo 6, tak to všichni si taky zkuste, kolik by byla tohle? 2 x 6 je 12, plus 3 je 15, takže by bylo 15, a 2 x 6 je 12, minus 3 je 9. Jo? Takže vidíte, že pro x=6 by ten obdélník vypadal takhle. No, ale my nevíme, kolik je to x. Kde mám hadřík? Tady. No, vždycky pořád utíká ten hadr. Takže my nevíme, jakou hodnotu to x má. My to budeme počítat obecně. Proto x, to je vlastně to, co vy tady celou dobu trénujete. Já vím, že vám ty písmenka vadí. To za ty roky prostě vím, že vám vadí. Ale je potřeba i pro střední školu se naučit s těmi písmenky počítat. Za tím písmenkem se prostě skrývá nějaké číslo, které my neznáme a tak počítáme obecně s tím písmenkem na místo toho čísla. Takže my potřebujeme umět určit, jo, no a teď jsem nedopsal tu myšlenku, že jo, když tady třeba bylo, já nevím, 13 a 7, tak už bych mohl spočítat ten obvod, že jo, mohl bych spočítat ten obsah, to už byste uměli. No a my potřebujeme spočítat ten obvod a obsah pro to obecné zadání, pro to, když my nevíme, kolik je to x. Takže když se na to podíváme, my teď budeme pracovat s tím obdélníkem a potřebujeme spočítat v tom áčku ten obvod. Jak vlastně spočítáme obvod obdélníku obecně? Pokud bych řekl, že tohle to bude strana a a tohle bude strana b. Jaký je ten vzorec? No jasně, dvakrát (a + b), že jo? Protože to je to plus to plus to plus to, že jo? Jinými slovy, a plus b je tohle a mám to tam dvakrát, že jo? Tak, takže my teď vlastně potřebujeme za to a dosadit tohle a za to b vy máte dosadit tohle. To je to, co se po vás chce vlastně. A podobné to bude s tím obsahem a vy už se zamyslíte taky. Teď by bylo ideální, že samozřejmě ten, kdo věděl, tak už si to řešil dopředu. Ten, kdo jakoby nevěděl a teď už ví co s tím, tak by si to měl zastavit a řešit sám. A kdo ještě neví, tak počítá dál se mnou. Takže my si napíšeme, hele, obvod je dvakrát a teď si napíšu to a plus b. Tak a je 2x plus 3 plus, a teď přičtu to b, to je 2x minus 3. Souhlas? Jenom jsem za to a a b doplnil ty moje hodnoty. Protože se tam jenom sčítá, tak vlastně nepotřebuju tady mít ty závorky. Napsal jsem si to bez nich. Takže tady je plus, takže mě už ta závorka tam netrápí. Jo, už ji tam nepotřebuji. Samozřejmě mohli byste si představit, že tam ty závorky jsou, ale nemělo by to žádný vliv. Takže obvod bude dvakrát. A teď já si spočítám tedy tu závorku. Takže já mám 2x plus 2x, to jsou 4x. A můžu si tady tu závorku udělat pěkně. Plus 3 a mínus 3 je 0. Takže vidíte, že vlastně dostanu jenom 4x a nepotřebuju tady tu závorku už mít. Takže 2 x 4x je 8x. Jinými slovy, obvod tohoto obdélníku se dá vyjádřit jako 8x. Zatímco obvod toho čtverečku původního by byl 4x. Vidíte, že obvod toho obdélníku je 8x. Jak je to s tím obsahem? To je možná ještě trošku zajímavější. Vy víte, že obsah je a krát b a úplně stejně za to a a b, jako tady, dosadíte tyhle dvě a tam musíme mít ty závorky, že tam je mezi nima součin. Takže my budeme počítat (2x + 3) * (2x - 3). No a vidíte, že to trénujeme vlastně ten součin těch dvojčlenů. Kuchařka, vzpomenem si, jsou ty závorky stejné? No, až na znaménka. Jaký to je vzorec? No, (a + b) * (a - b). Jaký je výsledek (a + b) * (a - b)? Každý si odpoví. No, je a^2 - b^2. Souhlas? Já to tady napíšu. Mám tady místo. (a + b) * (a - b), pokud někdo pozapomněl, jo? Je a^2 - b^2. Tak, to znamená tady, já dostanu co? 4x^2 - 9. Takže obsah toho obdélníku by se dal spočítat jako 4x^2 - 9. Jinými slovy, mně teďka, pokud bych si zvolil, že to x je třeba 2, tak bych udělal 2 na druhou, to je 4, krát 4 je 16, minus 9 a dostal bych výsledek toho obsahu. Ale obecně zadáno, správná odpověď je 8x pro obvod a 4x^2 - 9 pro obsah. Takže i takovýhle příklad vás může u přijímaček čekat a jde jenom o to se neleknout, že za ty délky těch stran my dosadíme ten dvojčlen, tohle vyjádření s tím x. Tak jo. Tak, máme tady 15, 16, 17 pro vaše samostatné opakování a přípravu. Takže to si určitě zkuste sami. Já teď, když to s vámi teďka jako prosvištím. V 15. není nic zákeřného. Použijte buď vzoreček, anebo použijte ty šipky. První krát první, každý s každým. První krát druhý, druhý krát první, druhý krát druhý. V 16., 16a. Roznásobíte ty dvě závorky a potom ještě odečtete 6x plus 5. Nic na tom není. 16b, tam je ten trik s tím mínusem, takže vy si vlastně spočítáte ten součin (z - 4) * (z + 1), pak napíšete mínus, uděláte závorku a do té závorky vlastně si spočítáte ten (z - 1) * (z + 2) a potom změníte ty znaménka. To znamená příklad 16b budete řešit úplně stejně jako ten příklad 13h, co jsem vám ukázal. Tak, sedmnáctka. Roznásobíte v tom A, roznásobíte závorku a odečtete tu druhou. Máte mínus před závorkou, to znamená, že se vám změní ty znaménka v té závorce. Sedmnáctb je takový malý trik. Buď můžete, jako vidíte, že tam jsou tři členy v té závorce, ale zamyslete se, nedá se z těch třech členů ta závorka zmenšit? Že jo, tam ten trik je v tom, že vy vlastně si tu závorku s těmi třemi členy, teď je tam y plus 2 minus 2y, tak vy si vlastně to y a minus 2y spočítáte už na to, že je to minus y. Takže ten 17b, když to tady, jestli víte, o čem mluvím, vlastně by měl vypadat tak, že budete řešit (2 + y) * (-y + 2). Protože vlastně vy si tu závorku zjednodušíte. Takže to je všechno. 15, 16, 17 jednoduchý, spočítáte samostatně. Tak jsme u příkladu 18. Zase, každý by si měl zkusit samostatně. Já vám teď ukážu, jak vlastně rychle a správně vyřešit takovýhle už jako docela složitější příklad. Když se na to podívám, tak co vnímám vlastně? Vnímám, že tady mám hranatou závorku a na konci mám celou tu druhou mocninu. Vím, že musím nejdřív vlastně spočítat ten vnitřek a pak umocnit. Pak vnímám, že tady mám ten součin, takže budu počítat ten součin. Tady mám tu druhou mocninu, budu počítat tu druhou mocninu a pak mám tu jedničku. Takže když to vezmu postupně, opíšu si tu hranatou závorku, ta mi zůstane, a jdu tady. Teď v druhém kroku podívám se do těch závorek a vidím, že ty závorky jsou stejné, mají jen opačná znaménka. No tak co? To je vzorec (a - b) * (a + b), takže vidím, že výsledkem bude a^2 - b^2. Takže 3x krát 3x, že jo? Bude 9x^2 - 1. To je výsledkem vlastně tohodle součinu. Tak, hotovo, nic na tom nebylo. Teď mám tohle minus, to si tady napíšu. Teď si udělám tu závorku a vidím, že vlastně já potřebuji udělat (3x + 1) * (3x + 1). To je (a + b) * (a + b). Takže už vím, že výsledkem bude a^2 + 2ab + b^2. Takže vím, že do této mojí závorky přijde vlastně trojčlen, který bude 9x^2, plus 2 krát ab, to znamená, že to bude 6x, měli byste vědět, kde se to vzalo, a bude tady plus 1. Uzavřu. Proč tady mám tu závorku? Kvůli tomuhle mínusu. Napíšu plus jedna a uzavřu takhle tou hranatou závorkou na druhou. Tak, teď si to teda musím nějak přepsat, abych neudělal chybu. U přijímaček fakt radši opíšu, než bych udělal chybu. Takže já si opíšu 9x^2 - 1 - 9x^2 - 6x - 1 + 1. A mám tady takhle na druhou. A teď, než budu vlastně dělat tu druhou mocninu, tak si zjednoduším ten vnitřek té závorky, že jo. Takže 9x^2 a minus 9x^2 se mi odečetly, že jo. A zůstalo mi tady teda co? Zůstalo mi tady minus 6x. Takže mám tady minus 6x, to je tohle, takže si můžu škrtnout. Minus 1, minus 1, chci říct, to je minus dvě, plus jedna je minus jedna. Tak, na druhou. Takže mám takovouhle závorku. A teď, abychom neudělali chybu, tak klidně si napíšu, nebojím se toho, (-6x - 1) * (-6x - 1). A uvidíme, co nám z toho vyjde. Minus 6x krát minus 6x je plus 36x^2, že jo? Takže mám tuhle. Minus 6x krát minus 1 je plus 6x, že jo? Mám tady minus 1 krát minus 6x je zase plus 6x. A mám tady minus jedna krát minus jedna, je co? Je plus jedna. Takže vidíte, že to minus minus se nám vlastně chová, jako by to bylo plus. Protože výsledek je 36x^2 + 12x + 1. To je ten správný výsledek. Tak jo, takže jsme si ukázali, jak tam, kde to jde a umíme to, používat vzorce. Když si třeba nejsme jistí, jaký vzorec by to byl, že tady to není na první pohled vidět, tak klidně použiju ty šipky. Trvá mi to o pět vteřin dýl, ale vím, že to mám dobře. Tak, takže to byl příklad 18b, to áčko si zkusíte sami samostatně a zkontrolujete s výsledky. Takže přátelé, dospěli jsme k závěru dnešní lekce. Byla to lekce intenzivní, doufám, že vám hodně dala, že jste se naučili. Na začátku jsme počítali druhé mocniny, druhé odmocniny. Vy si pamatujete ty vzorce, někam si je napište, dejte si je do červeného rámečku. Trénujte ten rozklad odmocnin na ten součin, odmocnina z A krát odmocnina z B. Pamatujete si tu odmocninu z toho zlomku. Pamatujete si, že když máte pod tou odmocninou číslo, rozdělíte si ho na nějaký součin a buď ty čísla v tom součinu půjdou odmocnit, anebo se vám pokrátí. A potom jsme přišli na úpravy výrazů. Vy rozhodně zase máte někde podtrženy v rámečku ty vzorce (a + b) * (a + b), (a - b) * (a - b), (a + b) * (a - b). Víte, co je ten trojčlen nebo ten dvojčlen v tom jednom případě. Rozhodně umíte pracovat s těmi šipkami, to znamená umíte roznásobit dva dvojčleny. A taky víte v těch složitějších příkladech, jak se popasovat s tím mínus před závorkou. A to je asi to nejdůležitější, co jste si měli z té dnešní lekce odnést. Já vám děkuji za pozornost a těším se u další lekce zase. Nashledanou, mějte se hezky a příští týden zdaru.