Povrchy, objemy, převody jednotek

Dobrý den, já vás vítám u deváté lekce našeho přípravného kurzu k přijímacím zkouškám. V této deváté lekci se budeme věnovat povrchům a objemům těles. Co to jsou tělesa? Tělesa, to je třeba krychle, kvádr, válec, koule. Takže tělesa jsou v prostoru, mají nějaký objem, něco se do nich dá nalít, no a mají taky nějaký povrch. Takže to jsou ty příklady, které budeme počítat v této lekci. Na rozdíl od té minulé lekce, tam jsme se věnovali těm rovinným útvarům, ty byly placaté, to byl ten čtverec, obdélník, lichoběžník, rovnoběžník a tak dále. Tak, uvidíte, tyhle příklady možná můžou ze začátku vypadat složité, ale pokud znáte ten jednoduchý vzoreček a my se všechny ty vzorečky naučíme a vysvětlíme si je, tak jsou ty příklady jenom o tom dosazení do vzorečku. Pojďme na to, vyzkoušíme si hned ten první příklad, abychom si udělali představu, co to jsou ta tělesa, a v tom prvním příkladu si ukážeme, co je to vlastně ten jejich povrch. Použiji proto ten příklad 1 a mám tady nějaký kvádr. A ten kvádr, můžete si to představit jako nějakou cihlu třeba, že jo? Tak, součet obsahů všech jeho stěn, že jo? Když já bych tady takhle naznačil i tu stěnu, co není vidět, že jo? Takhle. Tak on má vlastně 1, 2, 3, 4, 5, 6 stěn, že jo? 6 stěn. A součet obsahů všech těch jeho stěn je jeho povrch. No, a můžete se setkat i s takovou úlohou, kde vlastně se vůbec nic nepočítá, nebo kde není moc čísel. A ta úloha je: určete, kolikrát se povrch kvádru zvětší, pokud délky všech stran zdvojnásobíme. Co s tím uděláme? No, pojďme si to představit. Vezmeme si třeba tu spodní stěnu, to dno. Tak když si to dno takhle nakreslíme, tak to dno bude vypadat jako obdélník. Ten obdélník má strany a a b. Jak my spočítáme obsah toho obdélníku? To jsme měli už minule, že jo? My víme, že obsah tohoto obdélníku spočítáme jako a krát b. A teď si představte, že my máme ty délky těch stran zdvojnásobit. A otázka je, kolikrát se nám zvětší ten obsah toho obdélníku. A kolikrát se zvětší obsah každého z těch obdélníků, tak tolikrát se nám zvětší ten povrch toho kvádru. To znamená, pokud si představíme větší obdélník, kde tahle strana je dvakrát větší, tak je co? Dvakrát a, že jo? 2a. No, a tahle, když je dvakrát větší, tak je dvakrát b, že jo? Takže krát 2b, to znamená, co my dostaneme za výsledek? 4ab, vidíte to všichni, že jo? 4ab. Jinými slovy, pokud jsem každou z těch stran zvětšil na dvojnásobek, kolikrát se mi zvětšil obsah tohoto dna? Čtyřikrát, že jo? Takže 4x. A pokud se mi 4x, a takhle to funguje u každé z těch šesti stěn, že jo? Takže pokud já čtyřikrát zvětším obsah každé z těch šesti stěn, tak se mi celý povrch kvádru zvětší také čtyřikrát. Takže odpověď je, povrch se zvětší čtyřikrát. Pokud by mi někdo pořád nevěřil, přátelé, tak jako výborný domácí úkol, to si uděláte sami. Kdo chce, tak spočítá povrch toho kvádru. A pokud někdo neví, ještě se nenaučil tu tabulku těch vzorečků, tak povrch kvádru S my spočítáme jako 2 krát (ab plus bc plus ac). Co to je? No to jsou obsahy těch jednotlivých stěn, a protože každá stěna (spodek a vršek, přední a zadní, boční) je tam dvakrát, tak proto je to dvakrát součet obsahů těch stěn. Takže jako nepovinný domácí úkol vám zadám, že spočítáte obsah pro a = 1 cm, b = 2 cm a c = 3 cm. To je první kvádr. A potom ten druhý, vy každou tu stranu zvětšíte dvakrát, abyste si to vyzkoušeli. Takže znova, nový kvádr bude mít a = 2 cm, b nové bude 4 cm a c bude 6 cm. A pokud spočítáte podle tohohle vzorečku ty povrchy pro ty dva kvádry, tak by vám mělo vyjít, že tenhle povrch je čtyřikrát menší. Vyzkoušejte si, můžete si zkontrolovat ve výsledcích ta čísla. Takže to byl příklad 1. Seznámili jsme se s tím, co jsou to tělesa. Tělesa jsou trojrozměrná, to nejtypičtější je kvádr, případně, kdyby ty délky byly všechny stejné, tak by to byla krychle. Víme, že má šest stěn a už vlastně umíme spočítat povrch takového tělesa. Tak, jsme u příkladu dva. V příkladu dva máte bazén, já jsem tady zase nakreslil ten bazén trošku, má tvar kvádru a v něm je už nalitá voda do tří pětin svého objemu. No a otázka je, kolik vlastně hektolitrů vody my musíme do toho bazénu ještě nalít, kolik tam musíme ještě přidat, aby ten bazén byl úplně plný. A co my známe? Známe, že obsah dna je 35 metrů čtverečních. A obsah jednotlivých stěn jsou 28 a 20. No tak, když se na to podíváme, tak tahle přední, řekněme, že je větší, tak vlastně obsah té přední je těch 28 metrů čtverečních, to samé je obsah té zadní. A obsah téhleté boční je těch 20 metrů čtverečních. A vy máte spočítat, kolik vody ještě musím dolít. Ideálně teď si to pozastavte a zkuste si popřemýšlet, jaký by byl ten postup. Když se nad tím zamyslíte, tak my vlastně potřebujeme vědět objem bazénu a objem vody, která tam je teďka. A je jasný, že to V, které musíme dolít, spočítáme tak, když od objemu bazénu celého odečteme ten objem vody, který tam máme. A teď, jak spočítáte objem tohohle bazénu? Vy vycházíte z toho vzorečku. Je to kvádr, to znamená, objem kvádru je a krát b krát c. A vy tam ale tyhle rozměry nemáte, že jo? Vy místo nich máte obsahy těch stěn. A víte, že délky stěn jsou v celých metrech. Takže, když si představíme, že to dno má obsah 35, tak to muselo vzniknout jako a krát b. 28 vzniklo jako a krát c. A 20 jako b krát c. A teď, a je to v celých metrech. Takže když 35 má vzniknout jako násobení dvou celých čísel, tak jediná možnost je 7 x 5. Takže delší strana a je 7, b je 5. Tady za to a mám těch 7, tak 7 krát co je 28? No, 7 krát 4. A teď, když si tu 4 dosadím sem za to c, tak 4 krát co je 20? 5, a to funguje. Takže vidíte, že jsme se dostali k těm rozměrům. Takže my už teďka vlastně máme vyhráno, protože my víme, že a je 7, b je 5 a c jsou 4. To znamená, když vy to vynásobíte, tak dostanete 140 metrů krychlových. Takže objem bazénu už můžu napsat 140 metrů krychlových. Teď už potřebujeme jenom objem té vody. V vody je vlastně 3/5 krát těch 140, že jo? 140 děleno 5 je 28, to je jedna pětina, a vy máte ty pětiny 3, takže 3 krát 28 vám dá 84. Takže doufám, že všichni jste se dostali na 84 metrů krychlových. To je ta voda nyní. No a vy vlastně, když to odečtete, takže V dolít já spočítám jako 140 mínus 84, to se rovná 56 metrů krychlových. No a už jsme skoro ve finále, akorát to máte v jiných jednotkách, než se požaduje. Máte odpovědět v hektolitrech. A vy si pamatujte, že 1 metr krychlový je 10 hektolitrů. To je důležitý. To znamená, 560 hektolitrů je ta správná odpověď toho příkladu dva. A pokračujeme k příkladu 3. V příkladu 3 máme další bazén. Tady máme bazén o tomto půdorysu. Půdorys je pohled shora, přátelé. A vy víte ještě, že má hloubku 2 metry. A máte spočítat, kolik vody se vám do něj vejde, tak, aby byl naplněný po okraj. Takže chceme objem tohodle bazénu. Je to vlastně kvádr, co tady má vykousnutý ten kousíček. Znáte vzoreček na objem takového vykousnutého tvaru? Neznáte, že ne? Já taky ne. Proto, jako vždycky, podobně jako to bylo u těch rovinných útvarů, si to složíme z těch, které známe. Takže buď ten objem můžeme si představit, že se bude skládat z téhle části bazénu, který bude mít tvar kvádru s rozměry podstavy 5x5 a tohohle kousíčku a sečteme je. Nebo druhá možnost je, že bych si představil, že ten bazén bude takhle celý a tuhle část bych odečetl. Tak můžeme třeba tu druhou možnost. Budeme počítat objem toho celého. Tak já napíšu V celý a to je zase a krát b krát c. A já vás chci navést na to, abyste se zrovna naučili, že vlastně na objem kvádru se díváte jako na obsah podstavy krát výšku. No, takže my když si do toho dosadíme, tak je to jednoduchý, je to 7 krát 5 krát 2, souhlasíte? Takže 7 x 5 x 2 a to je 70 m krychlových. A teď tady tomu budu říkat ten výkus. A ten výkus bude mít rozměry? Když tohle celé je 5, tohle je 3,5, tak tohle bude 1,5. Když tohle celé je 7 a tohle je 5, tak tohle bude 2. To znamená, je jasný, že to bude teda 2 x 1,5 x 2. Takže 2 x 1,5 jsou 3, x 2 je 6. Takže víme, že to je 6 m krychlových. A to znamená V, objem té vody, která se do toho vejde, je V celý minus V výkus. Takže je jasný, že to je 70 minus 6, takže 64 metrů krychlových. A vy si pamatujete, že máte odpovědět v hektolitrech. To znamená, 640 hektolitrů je ta správná odpověď. Tak, pokračujeme k příkladu 4, pořád se ještě věnujeme kvádru v různých verzích. V tomhle příkladu my známe povrch té krabice, je 88 decimetrů čtverečních. A vy víte, že rozměry té krabice jsou v poměru 1 ku 2 ku 3. Vy, protože máte za sebou už tu kapitolu o poměrech, tak víte, že ta nejkratší strana má délku jednoho dílu, prostřední dva díly a nejdelší tři díly. My akorát nevíme, jak je ten díl dlouhý, to si spočítáme. Tak já řeknu, hele, že ten jeden díl je x. A protože to máme v decimetrech, tak vlastně řeknu, že to je x decimetrů. No, a teďka si do obrázku zakreslíme. Která strana je nejkratší? Tato výška, že? Takže tady si napíšu, že to je jeden díl. Tady tu stranu označujeme jako b. Ta bude kolik dílů? No, ta bude tři, že ta je nejdelší. A tahle strana a, to je ta prostřední, jsou dva díly. Takže teď už máte označeny délky těch jednotlivých stran, které potřebujete, abyste spočítali ten objem. No a vy víte, že neznáte ten objem, ten máte spočítat. A vy jediné, co jste dostali, je tahle informace, že povrch té krabice je 88 a poměry délek stran. Co jsem vám říkal před chvílí? No že první krok bude, že si napíšete vzoreček na povrch kvádru. Ten už v tuhle chvíli všichni musíte umět. S je 2 krát (ab + bc + ac). A teď vy víte, že tohle S je těch 88, že jo? A teď už vlastně vy víte, že to a, nevíte, kolik je to decimetrů, ale víte, že to jsou dva díly. A my jsme si řekli, že jeden díl pro nás je x. Takže a můžu vyjádřit jako 2x, b jako 3x a c jako x. No a co teď můžete udělat? Můžete dosadit. To je rovnice. 88 se rovná 2 krát, a teďka, co je a krát b? 2x krát 3x je 6x na druhou. Plus, b krát c jsou 3x krát x, takže 3x na druhou. Plus a krát c, to je 2x krát x, takže 2x na druhou. Podívejte, 88 je 2 krát a teďka 6 plus 3 je 9 plus 2, takže mám 11x na druhou. To znamená 88 se rovná 22x na druhou. Co teď udělám? Vydělím to 22, obě dvě strany. 88 děleno 22 jsou 4. 4 se rovná x na druhou. No a to už umíte, ne? Co je x, když x na druhou jsou 4? No jasně, vy to odmocníte, to znamená, dostanete, že x jsou 2. Hurá, to znamená, že jeden díl jsou 2 decimetry. No a teď už vlastně mám vyhráno. Takže a je 4 decimetry, b je 6 decimetrů a c jsou 2 decimetry. Takže teďka už jenom dosadíme. Objem celé té krabice jsou 4 krát 6 krát 2. Takže když to vynásobíte, dostanete 48 decimetrů krychlových. A máte vyhráno. Příklad pět. Máme nějakou krychli. Víme, že součet délek jejích hran je stejný jako u pravidelného kolmého čtyřbokého hranolu. Co to je? To znamená, že jeho podstava má tvar čtverce. A pokud ta podstava má obsah 25 cm čtverečních a výška je 5 decimetrů, tak si to okótujeme. Hele, vy pokud budete mít u přijímaček nějaký obrázek a nebude okótovaný, tak si ho rozhodně okótujte. Máme určit povrch krychle. Takže vždycky začněte od konce. My potřebujeme povrch té krychle. Vzoreček na povrch krychle je 6 krát a na druhou. Tak. No, takže já k tomu potřebuju to a. A z čeho dostanu to a? No, to a je délka té hrany. A já vím, že délky hran tohoto a tohoto se rovnají. No tak, já když spočítám součet délek hran tohoto kvádru, že jo, a vydělím to počtem hran té krychle, tak dostanu délku hrany, což je ta strana a. Tak, takže tady vám mělo dojít, aha, obsah podstavy je 25, to znamená, hele, ta strana a tady je 5, 5 krát 5. Takže když si spočítáme součet hran, všichni si to zkusíte sami. Dole mám obvod čtverce, takže to je 20. Nahoře mám taky 20, takže to je 40. Plus, a teď mám vlastně ty čtyři hrany, které jsou 5 decimetrů, to se rovná 50 centimetrů, souhlas. Takže čtyři jsou tam, 4 krát 50 je 200. To znamená, měli byste se dostat sami na 240 centimetrů jako součet délek hran. Tak, takže ta krychle má součet délek hran 240 cm. A kolik má krychle hran? 12. To znamená, a spočítám jako 240 děleno 12, a to je co? 20 cm. Jo? Takže ta moje krychle má stranu 20 cm. No a když to dosadím sem, tak S bude 6 x 20 na druhou, 20 x 20 je 400, 6 x 400 je 2400 cm čtverečních. Tak, přátelé, příklad 6 s akváriem je rozhodně opakovací a měli byste ho zvládnout sami. Takže zkuste si pozastavit a příklad si spočítat a teď si to společně rychle zrekapitulujeme. Jak jste měli tedy přemýšlet? Máte rozměry toho akvária, tak rozhodně jste si je měli napsat k tomu obrázku. A teďka v tom textu jste si všimli, že ty rozměry jsou v centimetrech, ale dál se mluví také o litrech. Určitě je hrozně užitečné vědět, že jeden litr je jeden decimetr krychlový. To znamená, pokud já budu počítat v decimetrech, tak ty objemy, které budu mít, dostanu také automaticky hned v litrech. Vy si rovnou ty rozměry zapíšete v decimetrech. Takže já už tady zrovna dám, že a je 100 centimetrů, kolik to je decimetrů? No 10. B je 20, takže 2 decimetry, a c je 50, takže 5 decimetrů. Jo, hurá. Tak, a já mám určit, z kolika procent je akvárium prázdné. To znamená, procento prázdné spočítám jako V chybějící lomeno V celé. Celý ten objem. Takže V celé je a krát b krát c, to znamená 10 krát 2 krát 5, a to je 100 decimetrů krychlových, to znamená 100 litrů. V nalil, kolik on tam nalil? On tam nalil 4 dvacetilitrové kyblíky, tedy 80 litrů. To znamená, V chybí 20 litrů. Takže procento prázdné je 20 lomeno stem, krát 100, takže to je 20 %. Takže odpověď na A je, prázdné je z 20 %. A určit, do jaké výše sahá voda. To je častý příklad. Vy víte přece, kolik je objem té vody, 80 litrů. Pro objem té vody bude platit, že to je a krát b krát výška. To znamená 80 se rovná 10 krát 2 krát výška. 10 x 2 je 20, 80 děleno 20 jsou 4. To znamená, platí, že ta výška jsou 4 decimetry a to je vlastně ta odpověď. Další úplně jednoduchý příklad, ta sedmička. Máte skleněný hranol, byla voda takhle sem. Znáte rozměry podstavy toho akvária, 24 cm a 12 cm. A hodili jste tam nějaké těleso a ta voda stoupla o 3 cm. Co platí? Platí to, že pokud já si vlastně spočítám, ta hladina stoupla o 3 cm, to znamená to těleso vytlačilo tu vodu o svůj objem. To znamená, pokud já si spočítám, jaký objem vlastně je té vody, která tady vystoupala o ty 3 cm, tak objem té vody se bude rovnat objemu toho tělesa. Takže my chceme spočítat vlastně objem vody, objem té vystouplé vody je obsah podstavy krát výška. Obsah podstavy je 24 krát 12, to je 288 cm čtverečních. A když ta voda stoupla o 3 cm, tak já těch 288 vynásobím třemi a dostanu 864 cm krychlových. Z toho plyne, že objem toho tělesa je 864 cm krychlových. Tak, jsme u příkladu 8. Zase, pamatujte si, že objem se spočítá jako obsah podstavy krát výška. Máme dané rozměry té podstavy, 0,6 x 0,5 metrů. Vy si to hned napíšete jako 6 decimetrů a 5 decimetrů. Obsah podstavy je 6 krát 5, 30. A v akváriu je voda do výšky jednoho metru. Zbyněk čistil a vypustil 120 litrů vody. Ten blok vody má objem 120 litrů. A vy máte určit, o kolik ta voda klesla. Jinými slovy, hledáte tu výšku. Takže V je obsah podstavy krát výška, takže V je 120 litrů, obsah podstavy je 30, krát ta výška a ta mi taky vyjde v decimetrech. To znamená, výška v je 4 decimetry, 120 děleno 30. To znamená, otázka je o kolik centimetrů. Musíme napsat do té odpovědi, že v je 40 cm. Tak, pokračujeme příkladem 9. Tady máme nějaký hranol, který má podstavu tvaru čtverce. Čelní a zadní strany mají tvar pravoúhlého trojúhelníku. Přepona má délku 20 cm, výška hranolu je 16. Je to vlastně půlka kvádru. A máme určit objem a povrch. No, tak ten objem toho hranolu spočítám tak, že spočítám objem toho celého kvádru a vydělím to dvěma. Bude to jedna polovina krát obsah podstavy krát jeho výška. My výšku známe 16 a potřebujeme dostat ten rozměr podstavy. Jak spočítat to a? Spočítáme tuhle stranu a pomocí Pythagorovy věty. Když tady nakreslím to čelo, je to pravoúhlý trojúhelník, přepona c je 20, odvěsna b je 16. Takže a na druhou je c na druhou minus b na druhou. Takže a na druhou je 20 na druhou minus 16 na druhou, to znamená a na druhou je 400 mínus 256, a na druhou vám vyjde 144 a pokud odmocníte, tak dostanete a se rovná 12 cm. No a v tu chvíli máte vyřešeno, protože když budu na téhle straně dělat ten objem, tak objem bude jedna polovina krát obsah podstavy a krát a, což je 144, krát výška je 16. A pokud to vynásobíte, dostanete 1152 cm krychlových. No a povrch zvládnete snadno. Povrch si uděláme spolu, ale vy si zkuste sami. My víme, že povrch je součet všech stěn. Takže S podstavy je 12 krát 12, takže 144. Potom tam mám dvě ty pravoúhlá čela, zepředu a zezadu. Ty dva trojúhelníky, když si spojíte, tak máte obdélník. Takže S čela bude 16 x 12 a to je 192 cm. Takže už máme spodek, máme tenhle a tenhle. Teď potřebujeme zezadu ten obdélník. Takže S zadní je taky 16 x 12, takže 192 cm čtverečních. A poslední, co nám chybí, je tenhle šikmý. A to je obdélník, který má stranu 12 a tuhle 20. To znamená S šikmá je 20 x 12, takže 240 cm čtverečních. A když to sečteme, tak dostaneme S celkový a to by vám mělo vyjít 768 cm čtverečních. Pokračujeme k příkladu 10. Máme nádrž tvaru válce. Objem válce spočítáme jako obsah podstavy krát výška. Máme nádrž, průměr 6 metrů. Do nádrže byla čerpána voda dvěma čerpadly, současně po dobu 16 minut. A máme určit, jak vysoko se načerpala ta voda. My počítáme objem takového válce, který nemá výšku celé nádoby, ale má výšku té vody. Obsah podstavy je stejný. A my potřebujeme vědět tu výšku. Pojďme začít obsahem podstavy. Pokud je průměr 6, tak poloměr bude 3 metry. Protože tady máme hektolitry, tak si rozměry převedeme na decimetry. Takže průměr je 60 decimetrů, poloměr 30 decimetrů. A obsah kruhu je π krát r na druhou. To znamená 3,14 krát 30 na druhou. A to vám vyjde 2826 decimetrů čtverečních. A teď, jak se dostanete k objemu? Za jednu minutu jsem načerpal kolik vody? 0,2 hektolitru je 20 litrů, 0,3 hektolitru je 30 litrů, takže mně nateklo 50 litrů za minutu. To znamená, že za 16 minut mi nateklo 50 x 16, 800 litrů. Takže už znám i ten objem. A teď z toho chci tu výšku. V je obsah podstavy krát výška. V je 800, obsah podstavy je 2826 krát výška. Z toho vám plyne, že výšku spočítáte jako 800 děleno 2826. A na to si můžete vzít tu kalkulačku a dostanete žádná celá 28 decimetrů. To je ta výška. To je kolik? 2,8 centimetrů. Tak, pokračujeme k příkladu jedenáct. Máme válec, plechovku. Budeme počítat povrch té plechovky. Pozor, plechovka je otevřená, nemá vršek. Když rozvinu ten obal, tak dostanu obdélník a dostanu jednu podstavu. A my známe průměr té podstavy, je 10, a známe výšku 17. A abych spočítal obsah toho obdélníku, něco mi chybí, tenhle rozměr. Co to je? Je to obvod toho kruhu. Takže já bych spočítal ten obvod. Poloměr je 5 cm. Obvod kruhu je 2πr. Takže 2 x 5 je 10 x 3,14, dostanete 31,4 cm. To je obvod. A spočítáme si rovnou obsah podstavy. Obsah kruhu je π x r na druhou, to znamená 3,14 x 25, a to je přibližně 78,5 cm2. To znamená, celkový povrch S bude obsah tohoto obdélníku, 17 krát 31,4, plus obsah toho jednoho víčka, to znamená 78,5. A dostali jste přibližně 612,3 cm čtverečních. Tak, máme tady příklad dvanáct. Máme obdélník, který tvoří plášť válce. Buď ho stočíte na ležato a dostanete válec, který je nižší, ale širší. Nebo na stojato a dostanete válec vyšší, ale s menší podstavou. Do kterého se vejde víc? Potřebujeme spočítat objemy. Objem válce je obsah podstavy krát výška. Výška v prvním případě bude 4, v druhém 6. Potřebujeme zjistit poloměry. Jak? Z obvodu. Víte, že délka té strany je obvod té podstavy. Obvod kruhu je π krát d. Takže pro ten první obvod je 6, rovná se 3,14 krát d. d vám vyjde 1,91 metru. A z toho poloměr r je 0,95 metru. Úplně stejně u toho užšího. Obvod je 4, to se rovná 3,14 krát d, z toho d je 1,27 a r je 0,63 metru. Takže už víme, že R1 je 0,95 a R2 je 0,63. A teď už jenom spočítáme ty objemy. V1 je π krát 0,95 na druhou krát výška 4. A z toho jste měli dostat 11,3 metrů krychlových. A V2 je π krát 0,63 na druhou krát výška 6. A dostanete 7,5 metrů krychlových. To znamená, vidíte, že do válce, který je širší, ale nižší, se toho vejde víc. Tak přátelé, jsme u příkladu 13. Objem a povrch koule nebývají u zkoušky tak často. Nicméně, zopakujeme si vzorečky. Máme dvě koule, malou a velkou. Pozor na chyták, tady je zadaný poloměr, tady průměr. Takže tady si přepočítám, že poloměr je 12 centimetrů. A máme určit, v jakém poměru jsou objemy. Potřebujete znát vzoreček na objem koule. Objem koule spočítáte jako 4/3 π krát r na třetí. A teď vlastně máme určit, v jakém poměru jsou. Pro tu malou to budou 4/3 π krát 6 na třetí. To je objem té menší. Objem té velké je 4/3 π krát 12 na třetí. Takže máme porovnat tyhle dva objemy. Všimněte si, že 4/3 jsou na obou dvou stranách, můžeme je vykrátit. Můžu vykrátit i to π. Takže vlastně vidíte, že na jedné straně dostanete 6 na třetí a na druhé straně dostanete 12 na třetí. Takže když si to spočítáte, dostanete 216 ku 1728. A když to vykrátíte, tak dostanete 1 ku 8. Takže vidíte, že poměry těch objemů jsou 1 ku 8. Tak, v příkladu 14 máme poslední vzoreček, a to je vzoreček na povrch koule. A ten spočítáme jako 4 krát π krát r na druhou. Typický příklad je takové to planetárium, které má kopuli, a to je vlastně polovina koule. To znamená, my když víme, že průměr té naší kupole je 14, tak poloměr je 7 metrů. A víme, že 1 kg barvy nám stačí na 5 m2 a my máme určit, kolik barvy potřebujeme na natření té kupole. Takže my si první spočítáme povrch té kupole, a protože nemáme vzoreček na půlku koule, tak spočítáme povrch celé koule o tom poloměru a pak si vezmeme půlku, je to jasný. To znamená S koule je 4πr². Když do toho dosadíme, tak dostaneme 4 x 3,14 x 49, že jo? A když to spočítáte, tak dostanete 615,4 m2. Ale já z toho chci jenom polovinu, to znamená obsah půl koule je 307,7 m2. Takže tohle to je ten další vzoreček, který byste si měli pamatovat. A teďka to množství barvy, kolik jí potřebuju, tak já těch 307,7 vydělím pěti, že jo? Protože vím, že mám 1 kg barvy na 5 m2. To znamená, pokud chci vědět, kolik kg, tak to vydělím těmi pěti a dostanu počet kilogramů. Takže tu barvu já spočítám tak, že 307,7 vydělím pěti a to, když uděláte, tak dostanete 61,54 kilogramů barvy. Tedy vážení přátelé, to je z lekce 9 vše. My jsme si dneska probrali takové ty typické příklady na povrchy a objemy těles. Takže pro úspěch v tomhle typu příkladů je dobré si pamatovat ty vzorečky. Určitě ten nejdůležitější je obsah podstavy krát výška pro objem, ať už nějakého kvádru nebo válce, to je asi ten nejdůležitější. U povrchu je důležité rozumět, že to je součet obsahů všech stěn toho tělesa. U toho válce jsme si vysvětlovali, že to je vlastně ten plášť a ta podstava. Takže to byla ta dnešní lekce. Určitě si zkuste ty příklady ještě jednou promyslet, propočítat a samozřejmě pomáhá, pokud se všechny ty vzorečky, které máte v té lekci, naučíte zpaměti. Takže to je pro dnešek všechno. Budu se těšit na viděnou zase příští týden u další lekce. Mějte se moc hezky a nashledanou.