Obvody, obsahy, Pythagorova věta

Dobrý den, hezké odpoledne. Já vás vítám na lekci 8 našeho přípravného kurzu k přijímacím zkouškám pro devátou třídu. V této osmé lekci se budeme věnovat obvodům a obsahům rovinných útvarů. Co jsou to ty rovinné útvary nebo rovinné obrazce? No, to jsou ty obrazce, které my si tady nakreslíme v té rovině. Je to čtverec, obdélník, trojúhelník, rovnoběžník, lichoběžník a tak dále. Takže u těch rovinných, placatých útvarů my počítáme obvod a obsah. Pokud bychom potom měli na příští lekci tělesa, tak ta už mají tři rozměry, ta jsou trojrozměrná v prostoru a u nich potom budeme počítat povrch a objem. Takže je potřeba, abyste už teďka měli jasno, že obvod a obsah jsou u těch rovinných, placatých útvarů v rovině, a povrch a objem jsou u těles, která mají tři rozměry a do kterých můžeme třeba něco nalít. Tak, pojďme se pustit do té naší lekce 8. Tady máme zadání příkladu 1. Máte dva obdélníky, které jsou přeloženy přes sebe a tvoří takový obrazec tvaru nějakého křížku. Máme určit obvod, to znamená délku všech těchto stran, které tvoří jeho obvod, a také samozřejmě obsah tohohle výsledného obrazce. Tak, kdo ví jak na to, už si pozastaví video a zkusí si to. Kdo si to chce zkusit se mnou, tak pojďme na to. Tak, je jasné, že začneme obvodem toho obrazce. Tedy my vlastně vidíme, že nemáme nějaký vzoreček na obvod nějakého křížku. Nemáme, že jo? To znamená, my když se budeme chtít dostat k obvodu tohohle výsledného obrazce, tak musíme použít ty vzorce, které známe. A my známe vzorec na obvod obdélníku. To znamená, my umíme spočítat obvod obdélníku. A pokud si teda spočítáme obvod obou dvou těch obdélníků, tak je jasné, že vlastně budeme mít navíc v těch obvodech, co budeme mít navíc oproti obvodu tohohle obrazce. Každý byste si teď měli zkusit třeba to video pozastavit a opravdu si označit ty části těch obvodů, těch obdélníků, které vlastně vy musíte odečíst od těch jejich obvodů, tak abyste vlastně dostali obvod toho obrazce. Pokud teďka někdo neví, o čem mluvím, tak když vy si spočítáte obvod tohohle celého obdélníku, tak jaká část z jeho obvodu není součástí obvodu tohohle obrazce? No samozřejmě, tahleta část, tady co jsem vyznačil, a tahleta část, tyhle dvě nejsou součástí obvodu, takže ty vy budete chtít vyřadit. Úplně stejně, pro tenhle obdélník, ten svislý, jaké součásti jeho obvodu zase nejsou součástí obvodu toho celého obrazce? No, tahle část a tahle část. Takže tu, když my odečteme, tak vlastně máme vyřešený příklad. Pojďme na to. To znamená, já nazvu obvod tohohle vodorovného třeba O1. Takže O1, jak spočítám obvod obdélníku? Každý si řekne, ano, a pokud jste si řekli, že to je 2 krát (a + b), tak jste si to řekli správně. A pokud my si do toho dosadíme, tak tahle delší strana, ta má jakou délku? 30, že jo? A tahle má délku 15, jo? Takže když my si dosadíme O1 se rovná 2 x (30 + 15), tak vidíme, že to je 45, 90 cm. To znamená, obvod tohoto je O1 rovná se 90 cm. Úplně stejně si teď každý z vás spočítá obvod toho druhého a pak si to pustí. Takže tady bude obvod 2. Obvod 2 je zase 2 krát. A teď je to kolik? 10 a 25. To znamená, já zase napíšu 25 plus 10. To znamená, to je 35 a to je 70 cm. Tak, to znamená 70 cm. No a my jsme si teď řekli, že celkový obvod tohohle obrazce, takhle kolem dokolečka, toho křížku, že jo, my dostaneme tak, že sečteme ten O1 plus ten O2, ale musíme co? Odečíst tyhle červeně vyznačené části těch obvodů, které tam nepatří. To znamená, já budu chtít odečíst takhle 2 x 15, že jo? Tady to je 15, tahle je taky 15. A tady ta je 10 a tahle je taky 10. To znamená, já odečtu minus 30, to je to 2 x 15, a odečtu ještě 20, jo? A odečtu ještě 20. To znamená, ten obvod bude teda 90, když dosadím, plus 70, chci říct, to je 160, minus 30, minus 20, tedy 110 cm. Jo, hurá. Takže jsme se dopočítali. Správná odpověď pro tu otázku A je obvod obrazce, který vznikne spojením těch dvou obdélníků, je 110 cm. A s obsahem je to vlastně velice podobné. Vy byste si měli zkusit sami, že jo? My si zase spočítáme obsah 1, pak si spočítáme obsah 2, těch dvou, ale ony jsou přeloženy přes sebe. To znamená, jaká část obsahu jednoho z nich je tam navíc? No tahleta zase, že jo? Tuhletu část, kterou jsem teď vyšrafoval, já zase budu muset odečíst. To znamená, pojďme si říct, že spočítáme S1. Jaký je vzorec na obsah obdélníku? Každý ví, ano, a krát b. To znamená, když si do toho dosadíme, S1 je těch našich 30 krát 15, že jo? 30 krát 15, a to je 450 cm2. Obsah toho svislého, šedivého, je S2 a ten my spočítáme jako 25 x 10, je 250 cm2. A teďka vlastně si musíme spočítat obsah tohohle červeného, který my odečteme. Já když to takhle tady naznačím, tak obsah toho červeného bude 10 x 15. Takže tady dám S, obsah toho červeného obdélníčku, který budeme odečítat, je 10 x 15, to znamená 150 cm2. Takže v tu chvíli my vlastně ten celkový obsah S, což je odpověď na to B, jste měli spočítat jako 450, to je tenhle celý vodorovný, plus ten celý svislý, to je 250, takže to je 700, a teď musíte odečíst tenhle červený, to znamená, chtěl jsem, abyste odečetli 150, jo, minus 150 a v tu chvíli jste dostali, že to je 550 cm2, jo, 550 cm2. A to je správná odpověď na tu otázku B. To znamená, určitě se můžete u přijímacích zkoušek setkat s příkladem, kde ten výsledný obrazec bude složený z nějakých dvou obrazců, které znáte. A vy musíte použít ty vzorečky na ty obrazce, které znáte, protože, jak jsem říkal na začátku, žádný vzoreček na obvod křížku nemáte. Vy máte vzorečky na obvod obdélníků. Proto je musíte použít a musíte si ujasnit, jaké části toho obvodu jsou tam navíc. To samé s tím obsahem. Kdo si to ještě trošku neumí představit, vystřihněte si dva obdélníky a přeložte si je přes sebe. A uvidíte, jaká část jednoho z nich je tam dvakrát. A tu musíte odečíst, to je ta červená plocha. Takže to byl příklad jedna. V příkladu dva máme další takový složený obrazec. Protože to je pravděpodobně to, s čím se u přijímacích zkoušek setkáte. Samotný čtverec, nebo obdélník, nebo trojúhelník je příliš jednoduchý. Pravděpodobně tam bude něco složeného z nějakých obrazců. A tady máme nějaký celkový obrazec, který je složený ze čtverce a rovnoramenného lichoběžníku. Pojďme si rychle zopakovat, co je to vlastně rovnoramenný lichoběžník. To je tenhle obrazec tady. Vy víte, že on má dvě základny, které jsou vzájemně rovnoběžné, a má dvě stejně dlouhá ramena. Takže to je rovnoramenný lichoběžník. A naším úkolem je zase spočítat obvod toho obrazce a obsah toho obrazce celého. Tak je jasné, že obvod a obsah téhleté části nám nebude činit problémy. To je čtverec. My hlavně potřebujeme nějakým způsobem se vyřešit, popasovat s tím lichoběžníkem. Zase, kdo z vás víte, jak na to, určitě si video pozastavte a zkuste. Kdo neví, počítá se mnou. Začneme tím obvodem. Části toho obvodu některé jsou zřejmé. My tady máme okótovanou, vy takhle pravděpodobně u těch přijímaček taky budete mít obrázek, budou tam nějaké délky těch stran vyznačeny, tak my si tady můžeme napsat, tahle je 8, tahle je taky 8, protože to je čtverec, tahle je taky 8. To znamená, tuhle část toho obvodu, 3x8, 24, to umíme. Tahle je 6, to my taky umíme. A vlastně vidíte, že jediné, co nám chybí, jsou délky těchto ramen. A teď bych chtěl, abyste se zamysleli, jak my vlastně spočítáme délku těch ramen. Zkuste se každý, kdyžtak budete potřebovat delší čas, pozastavte si to video, ale měli byste každý z vás vymyslet, jak se dostanete k délce těchto dvou ramen. Tak, hele, koho z vás napadlo? No, přece tahle základna toho lichoběžníku má 8, protože to je čtverec, jo, má délku 8. A protože to je rovnoramenný lichoběžník, tak vlastně my si můžeme představit, že tady vlastně ten lichoběžník se nám skládá z nějakého obdélníku, protože vidíme, že ta jeho výška, tu my známe, je 6, to znamená, tahle část je vlastně 6, že jo, a ze dvou trojúhelníčků. A teďka zeptám se vás, jaké jsou ty trojúhelníky tady? Jsou pravoúhlé, správně. Jedná se o pravoúhlé trojúhelníky, to znamená, vy jste hned schopni vlastně vypočítat tuhletu, já ji tady označím, tuhletu stranu toho trojúhelníku, čím? Pythagorovou větou, správně. Kdo jste si řekl, no přece Pythagorovou větou, já spočítám tuhletu stranu. Každý jste si měli říct, no to je přece přepona toho pravoúhlého trojúhelníku. Já to tady ještě naznačím vlastně, tenhle trojúhelník tady zvětším. Takže teď si vlastně povídáme o takovémhle trojúhelníku, který má tady tuhle jednu odvěsnu o jaké délce? No 6, že jo, to my víme. A teďka jaká je délka té druhé odvěsny? Zkuste si každý říct zase. No ano, 8 je celá tahle délka téhleté strany. A tohle to je 6. To znamená, kolik zbývá na každou tuhletu odvěsnu tady? Jo, 1. Správně, tohle je 1. Tak já umáznu tu 8, aby vás to nemátlo, a přepíšu ji takhle na 6 tady dolů. Protože vy víte, že to je 1 plus 6 plus 1 je dohromady těchto 8. Takže paráda, kdo jste si řekl, hele, tady je 1. Tak vlastně máte vyhráno. Připomeneme si rychle Pythagorovu větu. My se jí budeme věnovat v detailu ve spoustě úloh v dalších lekcích, ale vy ji už z 8. třídy určitě znáte. Všichni víte, že platí, pokud si tuto stranu označím jako a a tuto stranu jako b a tu přeponu jako c, tak samozřejmě víte ze školy, že platí, že c na druhou, to znamená obsah čtverce vztyčeného tady nad tou přeponou, se rovná obsahu čtverce nad jednou odvěsnou plus obsahu čtverce nad tou druhou odvěsnou. Takže my si dosadíme c na druhou, za a na druhou my dáme 36, plus jedna na druhou je jedna, že jo? Že 6 x 6 je 36, tak proto je tady 36. To znamená c na druhou je 37. Takže co já teď musím udělat, abych se dostal k tomu c? No samozřejmě c bude odmocnina z 37. Správně. A teď možná se říkáte, hmm, odmocnina z 37. Kdyby tam bylo 36, tak to umíte, že jo? To je 6. 6 x 6 je 36. To znamená, odmocnina z 37 bude velice blízko 6. Bude to 6, něco kolem 6,1. Vy u přijímaček ty příklady pravděpodobně budete mít vymyšleny tak, abyste pod tou odmocninou měli číslo, které půjde odmocnit na celé číslo. Ale já to tady nemám, protože trénujeme, takže my si teďka řekneme, kdo chce, tak si to dá na kalkulačce, odmocnina z 37, ale my si řekneme pro účely tohohle příkladu, že to je přibližně 6,1 cm. Jo? 6,1 cm. To znamená, my už teďka máme délku tohodle ramene, toho rovnoramenného trojúhelníku, to je 6,1. Jo? 6,1. No a teď už nám nic nebrání spočítat ten obvod, že jo? To znamená, já si tady už dám víc místa a začneme počítat ten obvod. Takže obvod bude 8 plus 8 plus 8, takže to je 24. A teďka plus 6,1 a 6,1 tady, tak já napíšu 12,2. Že jo, 12,2, to jsou ty dvě ramena. A nesmím zapomenout přičíst těchto 6. Jo, plus 6, to znamená, pokud to sečtete, tak by vám obvod měl vyjít 42,2 cm. Jo, 42,2 cm je ten obvod. Tak, takže to je odpověď A, jo, obvod. To znamená, přátelé, důležitá jakoby vsuvka. Je velice pravděpodobné, že v tom příkladu, ve kterém budete počítat nějaký obvod nebo obsah, bude vlastně vevnitř nutnost použít tu Pythagorovu větu. Je to ten nejčastější vlastně druh toho příkladu u přijímacích zkoušek. Vám pravděpodobně bude chybět nějaká délka nějaké strany v tom vašem obrazci. Ale pamatujte si, že vždycky půjde dopočítat Pythagorovou větou. Hledejte v tom nějaký pravoúhlý trojúhelník. Skoro vždycky to tak je. No a teď už si spočítáme ten obsah. Takže pokud vlastně my se budeme bavit o tom obsahu, tak můžeme si napsat, že teď řešíme to B, a ten celkový obsah S bude obsah toho čtverce plus obsah toho lichoběžníku. Jo? Takhle si to uděláme. To znamená, obsah čtverce, já to tady napíšu dolů zase, obsah čtverce spočítám jak? To bychom všichni měli vědět. Ano, a krát a, tedy obsah čtverce bude 8 krát 8, takže 64 cm čtverečních. To znamená, za tenhle obsah já už si rovnou můžu napsat 64 plus. A teďka je důležitý si vzpomenout na obsah toho lichoběžníku, anebo pokud nevíte, tak být schopni si ho dopočítat sami. Tak já nejdřív tady napíšu ten vzoreček, obsah toho lichoběžníku, jak ho spočítáme: (základna a plus základna c) krát výška, lomeno dvěma. To znamená, vy vlastně spočítáte, že to je, tahle je 8, takže 8 plus těch 6, krát ta výška, to znamená zase 6, děleno dvěma. Takže když já to tady takhle nakreslím, abyste měli jasno, tak tomuhle říkáme a, tomuhle říkáme c, že jo, to je ta druhá základna. A vlastně tady takhle kolmo je ta výška. Takže já jsem sečetl těch 8, sečetl jsem těch 6 a vynásobil jsem to tou výškou a vydělil dvěma. Já vám hnedka ještě ukážu, proč to tak je, ale my si to spočítáme nejdřív. To znamená, 8 a 6 je 14, krát 6 je 84, že jo? Ano, děleno dvěma je 42. Takže to je 42 cm2. A teďka, takže tady si můžeme napsat 42. To znamená, ten obsah je 106 cm2. A kdo z vás by si nemohl vzpomenout na tenhle vzoreček, já ho tady napíšu, (a + c) krát v lomeno dvěma. To je ten obsah toho lichoběžníku. Tak to vyřeší bez toho. Jak? Hele, podívejte. Ten lichoběžník se skládá z tohohle obdélníku. To znamená, obsah tohohle obdélníku je 36 cm. Souhlasíte? Je 6 krát 6. Je 36. A potom tam jsou ty dva pravoúhlé trojúhelníčky. A vy, když se podíváte, tak vlastně vy samozřejmě víte, že pravoúhlý trojúhelník můžete doplnit do obdélníku bez problému. Takhle tady tvoříte obdélník. A to jsou vlastně ty dva trojúhelníčky. To znamená, vám stačí k těm 36, což je obsah tohoto obdélníku, připočíst obsah tohoto obdélníku, protože v něm jsou vlastně ty dva pravoúhlé trojúhelníky. A to je co? To je 1 x 6, že jo? Takže 6. Takže vidíte, že obsah tohodle celého, takhle, co tady vyšrafuju, jo, je 6, když to takhle napíšu tady, 6 cm2 a 36 plus 6 je přesně těch 42. Jo? Tak určitě si to ještě nechte projít hlavou, je potřeba, abyste tohle to viděli a rozuměli tomu, jo? Že vlastně tenhle vzoreček není nic jiného, než že my vezmeme tenhle obdélník, který u nás je 36, a potom ještě k tomu přičteme vlastně tyhle dva trojúhelníky. A ty dva trojúhelníky já si spojím do obdélníku. A 1 krát 6 je 6, 6 plus 36 je těch 42. A tím jsme vyřešili úlohu 2. Tak, pokračujeme příkladem 3, který je vlastně opakování, abyste si utužili to, co jsme si v detailu říkali v příkladu 2. To znamená, my máme nějakou zahradu, máme tady plán, ta zahrada má tvar rovnoramenného lichoběžníku, to znamená, vy okamžitě víte, že tyhle dvě ramena jsou stejně dlouhé, ty dvě základny jsou rovnoběžné. Vy si tady takhle můžete představit ty výšky klidně, že jo? A víte, jak jsme si říkali, že tady vám tvoří ty pravoúhlé trojúhelníky. Takhle hned byste měli přemýšlet, když vidíte u přijímaček rovnoramenný lichoběžník. Tak, co my víme? Délka těch rovnoběžných stran, takže ta delší je 24 metrů té naší zahrady, ta kratší je 20 metrů. Vzdálenost těch dvou, co to je vzdálenost? Vlastně, že jo, to je nějaká, kdybych si tady udělal kolmici, tak je to vlastně tahle výška, jo, ta výška, ta vzdálenost je tady 30 metrů, jo, 30 metrů, jestli čtu správně, ano, 30 metrů. Máme určit výměru, tedy obsah pozemku té zahrady. No, takže je to úplně to samé, co v tom předchozím příkladu, vy už byste to měli rychle zvládnout sami. Pozastavte si, zkuste, kdo už má, můžeme kontrolovat, jo. Takže ukážeme si zase rychle ty dva postupy. Ten první je to, že vy víte, že ten obsah toho lichoběžníku už si teďka pamatujete v hlavě, že jo? Je to (a + c) krát v lomeno dvěma. To znamená, když si do toho dosadíte, tak vlastně co? A je 24, c je 20, takže máme 44 krát 30 lomeno dvěma. Pokud jste tohle spočítali, tak jste dostali 660 metrů čtverečních. No, a ta druhá možnost, podle mě možná ještě trošku jednodušší, je, že já si představím vlastně, že ten lichoběžník se mi skládá z obdélníčku, takže já ho tady takhle můžu nakreslit, to je tenhle obdélník, tohle jsem vlastně překreslil sem, tahle strana je 30, tahle strana je kolik? 20, správně. 20 x 30 je 600 m2, to je jednoduchý. A teď vlastně k tomu potřebuju připočíst tyhle dva trojúhelníky, že jo? Tak já zase úplně stejně jako minule, protože vás chci jakoby přinutit, abyste to tak dělali, abyste ty trojúhelníky pravoúhlé tak vnímali. Tak tady mám 20, celé to má 24, takže tady bude 2. Takže okamžitě já vidím takhle, že vlastně tady mám 2 x 30, to znamená 60, obsah tohohle obdélníku, který jsem vyšrafoval, tak je 60 m2, to znamená, v tom jsou vlastně ty oba dva. To znamená, vidíte, že 600 m2 plus 60 je zase těch 660. Takže vzoreček funguje, máme to dobře. U přijímaček je úplně jedno, tam rozhoduje to číslo, které vy tam napíšete. Je úplně jedno, jestli to počítáte takhle, tou metodou, že jste si to rozdělili na obdélník a trojúhelníky, anebo jestli si použijete rovnou ten vzoreček. Je to jedno. Jsme u příkladu čtyři. V příkladu čtyři máme zase další obrazec, který se skládá z nějakých obrazců. Vidíte, nebo i v tom textu máte napsáno, že vlastně ten útvar je složen ze dvou stejných pravoúhlých trojúhelníků a obdélníku. A máte určit obsah toho šedého obdélníku, takže tady tohohle, nebo toho obdélníku, že jo? A já jsem ho tady vyšrafoval, toho šrafovaného, a obsah celého obrazce. Tak, první byste si měli vždycky ujasnit, jaké ty délky vy znáte. Je možné, že v tom obrázku u přijímaček prostě to nebudete mít tam ty čísla k tomu napsané, jo? Že budou jenom v tom textu a vy musíte být sami schopni si to k tomu připsat. To znamená, tady je potřeba vědět, co to jsou odvěsny, že jo, odvěsny v pravoúhlém trojúhelníku. První bude potřeba si zakreslit, kde je ten pravý úhel, že jo. Tak vidíme, že ten pravý úhel bude kde? No, pravý úhel je vždycky proti té přeponě. Přepona je ta nejdelší strana, že jo, a to je zjevně tahle. To znamená, zde já budu mít pravý úhel. Takhle bych si ho tam dopsal u těch přijímaček, jo. A úplně stejně tady je přepona a proti přeponě je tady pravý úhel. Tak, takže já už mám konečně vyznačený ty pravoúhlé trojúhelníky a já znám délku odvěsen. To znamená, já si tady napíšu jednu odvěsnu, délka 5, a tady ta delší je samozřejmě 12. Tady si udělám 5 a zase ta delší bude těch 12, jo? Tak, a délka kratší strany obdélníku je 3, tak si ještě tady takhle napíšu 3. Takže teďka jsem si konečně okótoval nějakým způsobem ten obrázek. A je jasné, že pokud se pro tu otázku A, což je ten obsah toho obdélníku, mám dopočítat, tak potřebuju co? Potřebuju délku téhleté strany, že to bude třikrát tohleto. A teď vás musí napadnout, jak se dostanu k délce této strany toho obdélníku, jak se k ní dostanete? Pythagorovou větou, naprosto správně. To znamená, vy víte, že toto je zase přepona, tak já ji nazvu v tomhle našem trojúhelníku c, tohle to je jedna odvěsna a a tohle to bude ta druhá odvěsna b. Takže opět, jak jsme si říkali, co platí pro tu Pythagorovu větu? No c na druhou je a na druhou plus b na druhou. Vidíte, že takovýhle základní použití té Pythagorové věty potřebujeme. Takže c na druhou je 12, já to tady takhle napíšu, 12 na druhou plus 5 na druhou. Takže spočítáme si ty druhé mocniny, 12 krát 12 je 144 plus 25, takže c na druhou je 169. A z toho plyne, že c bude odmocnina ze 169 a to je 13. Tak, já vám doporučuji, abyste se zpaměti k přijímačkám naučili druhé mocniny a odmocniny z těch druhých mocnin čísel od jedničky do dvacítky. Takže dvakrát dva jsou čtyři, vím, že odmocnina ze čtyř jsou dvě. 5 x 5 je 25, odmocnina z 25 je 5. 12 x 12 je 144, odmocnina ze 144 je 12. 13 x 13 je 169, odmocnina ze 169 je 13. A tak dále. Do 20 se to naučte. Je to užitečný. Takže 20 x 20 je 400, odmocnina ze 400 je 20. Tak, je to jasný? To znamená, my už teďka tady víme, že tahle strana je 13, to znamená, nám vlastně nic nebrání si spočítat obsah tohohle obdélníku, to znamená, to je 3 x 13, to znamená 39 cm2 a máte bod, protože máte splněný to A. A v tom B máme spočítat celý ten obrazec. To znamená, vy vlastně víte, že ten celkový obsah bude obsah toho obdélníčku plus dvakrát obsah toho pravoúhlého trojúhelníčku. To je to, co chceme. Takže obsah toho obdélníku, ten my máme, ten je 39 plus, a teď už jenom potřebujeme dvakrát obsah toho trojúhelníčku. Takže zase to nejdůležitější, proto to tak opakujeme. U pravoúhlého trojúhelníku my si ho vždycky můžeme, ten obsah spočítat jako a krát b lomeno dvěma, že jo? Souhlas? A protože tady jsou vlastně dva, tak my už můžeme si ty dva představit, že se nám vlastně spojí do jednoho obdélníku. To znamená, obsah je co, toho jednoho? Každý si řekne, jo? Ale já tady ještě napíšu ten vzoreček. Obsah pravoúhlého trojúhelníčku já si spočítám jako a krát b lomeno dvěma. To znamená, když si do toho dosadím, tak mám 12 krát 5 lomeno dvěma. To znamená 60 děleno dvěma a dostanu 30. Tak, doufám, že si to všichni umíte představit. To znamená 2 x 30 a obsah tedy bude, to je 60 a 39, takže bude 99 cm2, jo? Všichni jste se dopočítali. Tak, takže vidíte, nejsou to těžké příklady, jde jenom o to vlastně představit si ten celkový obrazec rozdělený na ty trojúhelníky a na ten obdélník a jediné, co potřebujete, jsou ty vzorečky na ty trojúhelníky a na obdélník, jo? Protože na takovýhle útvar žádný celkový vzoreček není. Vždycky si to chcete rozdělit na ty útvary, které znáte. Tak, pokračujeme k příkladu 5. V příkladu 5 máme pole. To pole má tvar rovnoběžníku. Rovnoběžník jsme ještě neměli v téhleté lekci. Vy víte, že to je útvar, který má vždycky ty dvě protější strany rovnoběžné. To znamená tahle a tahle jsou rovnoběžné, tahle a tahle jsou rovnoběžné. Vy víte, že rozloha toho pole je žádná celá 6 hektaru. A tahle cestička, která vlastně jde kolmo, to tam je napsáno, aby nebyla žádná pochybnost, tak já to tady takhle vyznačím, má délku 50 metrů. Vám už dojde, že to slovo kolmo vám říká co? Že vlastně tahle cestička je čím pro ten rovnoběžník? Ano, je jeho výškou. Pokud já si řeknu, že tady je ta strana a, tak tady vlastně mám tu výšku va. Výška va je kolmice na tu stranu a, která tady takhle jde. Možná někdo si říká, no tak výška by měla jít do toho vrcholu, ale to je úplně jedno, protože je to rovnoběžník. Úplně správně si tu výšku můžete představit taky tady. Je to jedno. Pořád je to 50 metrů. Takže už rozumíme, že ta cestička je výškou. A v tu chvíli je ta úloha hrozně jednoduchá. My z té rozlohy potřebujeme dopočítat tu stranu. Pro to, abychom to udělali, potřebujeme dvě věci. První, vědět, jak se spočítá ta rozloha toho rovnoběžníku. A to je jeden ze vzorečků, který vy se musíte naučit, anebo si ho musíte být schopní odvodit. Asi jednodušší bude se ho naučit. Takže obsah toho rovnoběžníku spočítáme jako stranu a, to je tahle základna, a, krát výška na tu základnu, a krát va. Proč? No, protože vlastně vy si to můžete představit jako v podstatě takový obdélník. Kdybyste si tady tuhle část, toho trojúhelníčku, překlopili takhle sem, tak vlastně tahle strana bude jedna strana toho obdélníku a tady vlastně dostanete tu délku a, že jo? Takže je to a krát va. Jo? Obsah obdélníku vlastně. Ale abyste nezmatkovali, je lepší se to prostě naučit. Takže rovnoběžník a krát va. Vy víte, já jsem vám připravil na začátku téhle lekce takovou tabulku. Tam jste se ty vzorce všechny naučili, doufám. Tak, to znamená, vy vidíte, že my víme, že to va je 50 metrů. A teďka my známe ten obsah, že jo? Ale vidíte, hele, metry, hektary. Co musíme udělat? Ano, musíme ty hektary převést na metry čtverečné, že jo? To znamená, vy víte, že jeden hektar je kolik metrů čtverečných? 10 000, že jo? 10 000 metrů čtverečních. Pokud někdo jako nevěděl nebo váhá, hele, tak se fakt musíte naučit, že 1 hektar je čtverec o straně 100 metrů krát 100 metrů. Jo, je to důležitý. To znamená, že žádná celá 6 hektarů bude žádná celá 6 krát 10 000, to znamená 6 000 metrů čtverečních. A teď už vlastně dosadíme do tohohle vzorce. To znamená, my víme, že 6000 m2 je a x 50. Souhlas. A z toho vlastně víme, že to a bude co? 6000 děleno 50. Souhlas, 6000 děleno 50. Takže vy si u přijímaček napíšete 6000 děleno 50, škrtnete si nuly a 600 děleno 5 je 120. Hurá! Takže jsme se dopočítali, že ta délka strany, na kterou se nás ptají, je 120 metrů. Jo, je to délka té delší strany 120 metrů. A máme vyřešený příklad 5. Takže znova připomínám, obsah rovnoběžníku, jo, a krát va. Naučte se. Tak jsme v úloze 6. V úloze 6 máme nějaký obdélník a tomu obdélníku je opsaná nějaká kružnice. A my máme určit co? Obvod kruhu daného kružnicí. To znamená, vy potřebujete vědět každopádně co? Vzoreček pro obvod kruhu. To znamená, obvod kruhu spočítáte jak? No, pí, to je konstanta, krát 2 krát poloměr, anebo to 2 krát poloměr, vy víte, že je průměr, to znamená, můžete to zapsat jako ta konstanta krát ten průměr. Takže tohleto je určitě ten základ k tomu, abyste zvládli takovýhle příklad u přijímaček. Jinými slovy, bez těch vzorečků to nejde. Takže my teď vlastně vidíme už, že abychom se dostali k tomu obvodu, který vy máte vypočítat, tak potřebujeme co? Potřebujeme poloměr nebo průměr té naší kružnice, která je opsaná tomu obdélníku. Jak se k ní dostaneme? No, dostaneme se z těch informací, které máme o tom obdélníku. Kdo ví, jak na to, může si zase pozastavit video. Kdo neví, nebo už zkoušel, tak se teďka zamyslí se mnou. Co my víme? My víme, že delší strana, tahle strana, je 48 cm. A víme, že ty strany, když si je takhle napíšu a ku b, tak mají poměr 12 ku 5 dílům. To znamená, že jo, která strana bude delší? No, ta, která má víc dílů, že jo? Tak já si řeknu, že tady to je to B, tady to teda bude to A, jo? Tak, to znamená, pokud ta B, jo, je 12 dílů a já chci počítat tu A, tak tu spočítám jak? No, jednoduše, že jo? Já si řeknu, že jeden díl já spočítám jako 48 děleno 12. Souhlas z tohohle, protože já vím, že vlastně tahle delší strana se skládá z 12 dílů, kdežto ta kratší z 5. To je to, co ten poměr nám říká. On říká, že ty délky jsou 12 ku 5 v těch dílech. To znamená, 48 děleno 12 jsou 4 cm. To znamená délka strany A bude kolik? Všichni si řekneme, ano, 5 x 4, to znamená 5 x 4 je 20 cm. Takže už známe tady tuhletu délku, tady je 20 cm. Tak, a teďka pořád ještě jsme nevyřešili, že nemáme ten poloměr nebo ten průměr té naší kružnice. Co s tím, napadne vás? Je možné, že ten obrázek u přijímaček bude zadaný takhle, jako ho mám já. Něco tam chybí. Vy si tam musíte něco dokreslit. A to je to. Já si tady udělám trošku místa. Tohle si takhle umážu. Tohle si taky umážu. A teď si představíme, že ta kružnice má tady nějaký střed. A jak vy si vyznačíte ten průměr té kružnice? Máte nějakou možnost si ho vyznačit třeba takhle. Takhle je ten průměr. Ale to je chyba. Tohle to vám k ničemu nepomůže. Protože je jasný, že vy ten průměr potřebujete dostat z rozměrů toho obdélníku. A pokud si ho vyznačím takhle, tak já ho nedokážu nijak dostat z toho obdélníku. To se mi nehodí. Jak lépe si můžete označit průměr té kružnice? Jak? Takhle nikdy, jo? Takhle nikdy. Já vím, že to často děláte, ale takhle to nikdy neznačte. Kam si vyznačíte ten průměr? Ano, na úhlopříčku takhle, jo? To znamená takhle do rohu toho obdélníčku, že jo? To znamená, my vlastně vidíme, že průměr té naší kružnice je co? Je úhlopříčka toho obdélníku. V tom je celý ten trik. Ten obdélník má tady pravý úhel, to znamená, vy najednou vlastně řešíte stranu c, přeponu pravoúhlého trojúhelníku, o straně 48 cm a o straně 20 cm. Jo? Takže z toho vlastně vy spočítáte tu přeponu a to bude ten váš průměr. To znamená, já jsem vlastně chtěl, abyste tady spočítali c na druhou je a na druhou plus b na druhou. Takže vy jste si spočítali tedy 48 na druhou plus 20 na druhou. 48 na druhou vám vyšlo 2304 plus 400, že jo? A to vám vyšlo teda co? 2704. Hele, u přijímaček nebudete mít tak velká čísla. Jo, nebudete. Ale já, aby to nebylo pořád stejné, že těch možností je jenom strašně málo, tak tady uvádím nějaká jiná čísla. Klidně to počítejte, ty odmocniny těchto větších čísel na kalkulačce. Jo, to je úplně v pohodě. Musíte ji mít, ono to jinak nejde. Takže c je odmocnina z 2704 a to vám vyjde, přátelé, 52 cm, jo? 52 cm, potom, co jste si to dali do kalkulačky. Tak, takže u všech těch dalších příkladů dneska, nebo v této lekci i té příští, kde budou nějaké velké mocniny, odmocniny, počítejte to na kalkulačce, jo? Ono u těch příkladů je těžké vymyslet tak, aby šly spočítat prostě z hlavy. To by pak ty příklady byly všechny stejné. Takže my už teď víme, že vlastně ten průměr je 52, takže my ani nemusíme to dělit dvěma na ten poloměr a dosadíme si sem 52 a pí, vy víte, že je konstanta a za pí si dosazujete 3,14. Takhle to tam budete mít napsané v tom testu. To znamená, že máte 3,14 x 52 a to vám vyjde 163,28 cm. A to je správná odpověď. Takže tady nejde ani tak o ty čísla v tomhle příkladu, ale jde o to, že vy za A pamatujete si vzoreček na obvod kruhu. To je první věc. Z toho vám dojde, aha, já chci vlastně průměr té kružnice, že jo, potřebuju vědět, nebo její poloměr. A pak vás napadne, no jo, jak já ho vlastně z těch délek, z těch stran toho obdélníku dostanu? No jasně, pokud je ta kružnice opsaná tomu obdélníku, tak já vezmu úhlopříčku toho obdélníku a to je vlastně průměr té mojí kružnice. Tak já doufám, že je to jasné. To byl příklad 6. Tak, přátelé, pokračujeme k příkladu 7. Příklad 7 je hrozně jednoduchý, ale někdy trošku studentům dělá potíže, protože je tak zajímavě zadaný. Pojďme se na to podívat. Z plechu tvaru obdélníku, tak to máme ten obdélník, byly vystřiženy dva stejné kruhy. Ony tady, udělal jsem to od ruky, ale jsou stejné. Pro účely toho příkladu jsou stejné. S maximálním možným poloměrem. Co to znamená, že vlastně tady není žádná mezera. Ty kruhy jsou co největší a vlastně dotýkají se stran toho obdélníku. Takže to je to, co je to zadání. A teďka, to, co je někdy trošku pro vás matoucí. Hele, obvod toho jednoho kruhu má délku 16π. A s tím se u přijímaček setkáte docela často, protože má to tu výhodu pro ty zadávající v tom, že se s tím hezky počítá studentům potom. A dobře se to kontroluje. Pí, jo, vás někdy trápí, hele, a co to je vlastně 16π? Teď to není žádný číslo. Je to číslo, je to hodnota, protože je to 16 krát to pí a pí je konstanta. To je to 3,14, to, co používáme, Ludolfovo číslo. To znamená, my si za to pí můžeme představit 3,14 a vlastně obvod, a teď buď to můžeme zaokrouhlit nebo prostě takhle, a 16 krát 3,14 je něco, nějaké číslo. Ale co já chci zdůraznit, vy si nedosazujete v tomhle příkladu za to pi těch 3,14. My budeme počítat s tím obvodem jako 16 krát pi. To je to důležité, co chci říct, že jakmile vy budete mít zadán u přijímaček nějaký příklad, a tam bude, že obvod nějakého kruhu je vlastně něco krát pi, tak se nesnažte za to pí dosazovat 3,14, ale držte si tam to pí v tom výpočtu, protože se vám to pí vykrátí, jo, hned to uvidíme. To znamená, my víme, že potřebujeme vědět, co máme spočítat, že jo? Máme spočítat obvod. Abychom spočítali obvod, tak potřebujeme délku téhle strany toho obdélníku a potřebujeme délku téhle strany toho obdélníku. No, takže jinými slovy, vy si tady takhle můžete představit vlastně ty středy. A my víme, že jakmile já budu znát takhle průměr té kružnice, nebo toho kruhu teda, ony jsou stejné, tak vlastně dvakrát ten průměr je ta strana A a jednou ten průměr, že si to můžu představit i tady, je ta strana B. Takže jediné, co já potřebuju, je, abych ten příklad správně vyřešil, dostat se k průměru toho kruhu. No a já vím, že obvod kruhu, už jsme si to před chvílí říkali, se spočítá jako pí krát ten průměr. Tohle to je ten průměr. Průměr toho kruhu. Takže teďka, když si vlastně za to o dosadíme to, co je ten jeho skutečný obvod, tak vlastně dostanu, že 16 krát pi se rovná pí krát d, pí krát ten průměr. No a možná už to někteří z vás vidí nebo všichni, že jo? Co my teď uděláme? No my můžeme vykrátit tuhletu rovnici tím pí, vydělit ji, že jo? To znamená, bude platit, že 16 pi děleno pi je 16. Se rovná pi krát d děleno pi, zbyde nám jenom ten průměr. To znamená, najednou víme, že ten průměr je 16 cm. Jo, 16 cm. Nebo 16, tady v tom případě. Je to 16π cm, jo, je to v cm, 16π cm, to znamená, tady to d je 16 cm. Jo, kdyby to bylo 16π metrů, tak by to bylo v metrech, tady to máme v cm. Tak, to znamená, teď už máte vyhráno, už je to vlastně hotové, protože tenhle průměr je 16, že jo, takže 2 x 16 je 32, to je ta strana A, 32 cm. A strana B je těch 16 cm. Takže máme spočítat co? Obvod teďka toho obdélníkového plechu. Takže obvod je 2 x (a + b), takže vy spočítáte 2 x (32 + 16). To znamená, 2 x 48 je 96. Takže 96 a je to centimetrů, protože počítáme v centimetrech. Tak, takže přátelé, tohle je asi jako jednoduchý, ale důležitý příklad pro to vaše pochopení. Vy máte zadaný obvod, takže tam není nějaké číslo, ale je to 16 krát pí v centimetrech. Takže vy se nesnažíte za to pi si dosadit tady tu konstantu a dostat nějaké číslo. Ne, vy si tohle 16π dosadíte jako vlastně obvod. Na druhou stranu si napíšete ten vzorec. Takže tady jsme si dosadili ten obvod, tady máme ten vzorec a vidíte, že to pi se vám vykrátí, protože je na obou dvou stranách. To je to kouzlo těchto příkladů. A v tu chvíli vy hned víte, že průměr je 16 a pak už to bylo jednoduché. Takže pozor na to, obvod je 16π v centimetrech, takhle s tím budete počítat. Tak a pokračujeme k příkladu osm. Máme tam nějaký pozemek v mapě a ten má tvar osově souměrného čtyřúhelníku. Co znamená osově? My vidíme, že vlastně tady bude ta osa, osa o, a vidíte, že on se dá překlopit kolem té osy, proto je osově souměrný. Co nám to říká? Říká nám to, že vzdálenost XR je stejná jako XL. To je to, co nám to říká. A potom říká nám to, že MN je stejná jako LM. A to samé KN a KL. Takže tahle půlka v podstatě je stejná jako ta spodní půlka. To je to, co nám říká, že je osově souměrný. Tak, vrcholy máme nazvané a teďka co máme počítat? Máme spočítat rozlohu pozemku v metrech čtverečních, jo? Takže budeme počítat obsah takového útvaru. On vypadá trochu jako drak, že jo? Takovej. A první, co potřebujeme je, napíšeme si, co známe, jo? Vždycky si do toho obrázku zakreslete ty délky, které znáte. Tak pojďme si to označit. Délky úseček KL, takže hledám KL, vidím, je 13. A hned, protože vím, že je osově souměrný, jak mi řekli, tak si těch 13 píšu sem, tak mám. MN, tak hledám MN, vidím tady, je 20. A protože vím, že to je souměrný, tak si píšu 20 hnedka tady. Tak a LN, hledám LN. Hele, LN je tady to celé. Je kolik? 24. No a já vidím, že před chvílí jsme si říkali, že jsou stejně dlouhý, takhle. Takže já si tady píšu hnedka 12 a 12, rozdělil jsem si to. Jo, těch 24. Tak a teď vlastně máme několik možností, jak to spočítat, ale asi ta nejjednodušší bude, vy vidíte, že máme ten útvar složený z čeho? Ze čtyřech pravoúhlých trojúhelníků. Já tady, protože tady si představím pravý úhel, tady si představím pravý úhel, tady budu mít pravý úhel a samozřejmě taky tady budu mít pravý úhel. Takže v zásadě já, abych spočítal vlastně tu rozlohu toho pozemku, tak buď mám dvě možnosti, že jo. Buď bych mohl počítat obsah tohohle celého trojúhelníku, že jo, a vynásobit to dvakrát, anebo bych mohl vlastně si počítat jednoduše obsahy těch pravoúhlých trojúhelníčků. A je to jedno, každopádně já budu potřebovat délku XM a délku KX. To rozhodně pro ten výpočet bude potřeba. Takže je zřejmé, že tahle úloha bude vyžadovat co? Pythagorovu větu. Takže když já vlastně začnu, teď přemýšlím, jak to označit, aby to bylo hezky vidět. První se budu chtít dopočítat k té délce, tady to udělám modře, takže budu počítat XN. Takže vidíme, že tady máme pravoúhlý trojúhelník, já tuhletu stranu nazvu... kde je přepona? Teď jsem nedával pozor. Přepona je samozřejmě tady. To znamená, c je přepona, tohleto je jedna odvěsna, tu dáme b, a tuhletu odvěsnu, kterou my neznáme, dáme a. Jo, takhle si to označíme, to bude lepší. To znamená, abyste z toho nebyli zmatení, já vlastně, když si tenhle trojúhelníček tady přenesu, tak vlastně mám pravoúhlý trojúhelník, jehož přeponu já znám, je 20, jehož jednu odvěsnu já znám, je 12, a já počítám tuhletu druhou odvěsnu. Jo, všichni už podle mě v tom máme jasno. To znamená, co platí, pokud tohleto je to c a tohleto je to b, abych to měl v pořádku, tak já chci a. Takže vy určitě všichni víte, že platí, že a na druhou se rovná čemu? c na druhou minus b na druhou. Že jo? Proč? Protože ten základní vzoreček pro tu Pythagorovu větu je c na druhou je a na druhou plus b na druhou. A vy, když z toho chcete počítat to a, tak je jasný, že to b přehodíte vlastně sem, je to rovnice pořád. Takže když to b přehodíte na druhou stranu, tak se vám co? Změní znaménko. Takže vidíte, že c na druhou minus b na druhou je a na druhou. Proto jsem to takhle mohl napsat. Takže vy si pamatujete, že když dopočítáváte jednu z těch odvěsen, tak je to přepona na druhou minus ta druhá odvěsna na druhou. Takže my tady napíšeme a na druhou je 20 na druhou minus 12 na druhou. A na druhou je 400 minus 144, že jo? To znamená a na druhou dostanete, že je 256. A tedy a se bude rovnat odmocnina z 256 a to my víme, že je 16. To jsem vám říkal v tom předchozím příkladu, ať se naučíte ty druhé mocniny a odmocniny. Takže 256, odmocnina je 16. Takže já už tady můžu slavně napsat, že tato délka je 16. Takže já už vlastně velice jednoduše umím spočítat obsah téhle části. Proč? Protože vlastně tenhle trojúhelník si můžu překlopit sem a vlastně vytvořit z něj obdélník. Když ho takhle překlopím sem, tak dostanu tady ten obdélník. A k tomu se hned dostaneme. Pojďme si nejdřív dopočítat tuhletu stranu KX. A teď bych navrhoval, že si to zastavte, a protože ten postup je stejný, tak si to vyzkoušejte. Všichni byste měli zkusit si vypočítat tuhle délku KX, co jsem tady udělal zeleně. A proto si to pozastavte. Tak, asi jste si to už zase pustili. Tak, pojďme, já tady nakreslím tenhle trojúhelník zase tak dolů, abychom ho viděli. Takže teď máme takovýhle trojúhelník. Tady má pravý úhel, tady máme přeponu o délce 13, to je c. A vlastně tady máme jednu odvěsnu, které říkáme b, a ta má délku 12. Takže zase, abych se dostal k tomu a, tak to bude úplně stejné. Bude platit, že to a na druhou je c na druhou minus b na druhou, tedy my si do toho dosadíme, a na druhou, c na druhou, 13 krát 13 bude 169, ale já tady napíšu 13 na druhou minus 12 na druhou, takže a na druhou je 169 minus 144, že jo? To znamená, a na druhou je 25 a a z toho bude teda 5, protože odmocnina z 25 je 5. Jo? Tak. A v tu chvíli, to je to, k čemu byste se měli doma dostat, takže tady víme, že to a, tady budu říkat a2, je 5. Jo? Je 5. No. A teď už vlastně máme vyřešeno. Proč? Protože my si spočítáme, já tady zase naznačím, tenhle druhý obdélník, jo? A to je vlastně tenhle trojúhelník překlopený takhle sem. Takže vlastně my si tenhle obrazec, jo, umíme představit jako vlastně dva obdélníčky. Jo, dva obdélníčky budeme počítat zvlášť. Nejdřív tenhle modrý, já ho tady vyznačím modře, a potom ten zelený, jo? Tak, tenhle modrý a potom ten zelený. Tak, pojďme na ten modrý. To znamená, S1 je vlastně a krát b, to znamená, je to 16 krát 12, abych dodržel to pořadí, ono na výsledek to nemá vliv, a to je 192, jo? 192 metrů čtverečních. A ten S2, ten máme zelený. Takže teď jsem spočítal obsah tohohle, já už jsme na konci, tak to tady můžu takhle vyčárat. Tohohle obdélníku, tohohle modrého, je 192. A ten obsahuje tenhle i tenhle. A teď vlastně děláme ten zelený, tenhle, takhle tady můžu vyčárat. A to je vlastně S2 a ten já spočítám jako 5 x 12. A to je to a2 x b, to znamená, je to těch 5 x 12, to znamená 60 m2. A ten výsledek samozřejmě je, že S je S1 plus S2. To znamená, když my do toho dosadíme, 192 plus 60, to znamená výsledek je krásných 252 metrů čtverečních. Takže tady jste si potrénovali tu práci s tou Pythagorovou větou, schopnost si ten obrazec, který nemá úplně váš tvar, představit jako rozdělený na ty pravoúhlé trojúhelníky a schopnost pravoúhlé trojúhelníky jednoduše složit třeba do těch obdélníků, což se pro ten výpočet těch obsahů hodí. Takže to byl příklad 8. Tak, jsme u příkladu 9, jsme tady v Berouně, máme ten ovál tady na hřišti, že jo, všichni víte, že má takovýhle tvar a máme tady dva body A a B a my víme, že ta zatáčka má tvar půlkružnice. To znamená, když ta zatáčka od toho A k B je půlkružnice, tak já bych si mohl představit, že to samé, když si tady představím takhle na druhou stranu, tak mi vznikne kružnice. Takže je vidět, že ty A a B jsou dva body, které tu kružnici rozdělují na dvě půlkružnice. A ten kruh tady na dva půlkruhy vevnitř. A teďka, my víme, že z toho A do B, když půjdu, tak to bude 100 kroků. No a máte spočítat, kolik kroků bych ušel, kdybych šel takhle tady rovně. Tahle ta úloha je strašně jednoduchá, ale trápí vás často v tom, že tady nejsou metry, ale jsou tam nějaké kroky. No ale to vůbec nevadí, že jo? Protože pokud ta odpověď má být také v krocích, tak já prostě budu s kroky počítat stejně, jako by to byly metry třeba. To znamená, vůbec se nebojte, když budete mít u přijímaček prostě kroky třeba. A pokud ten výsledek bude taky v krocích, tak s tím prostě počítáte jako s jakoukoliv jinou jednotkou. Takže my vlastně vidíme, že tenhle půlkruh je 100 kroků. My se máme dostat tady k téhleté čáře a je potřeba si uvědomit, co je vlastně tahleta zkratka ve vztahu k tomuhle. Co to je? No je to vlastně průměr, že jo? Průměr té kružnice. Průměr. Průměr toho kruhu. To znamená, vy znáte půlku obvodu, takže celý obvod bude kolik? Správně, 200 kroků. Protože půlka je 100, takže obvod, to důležité, že vy si odvodíte, že je 200 kroků. To je první krok k úspěchu. Obvod tohoto kruhu je 200 kroků. Pak si napíšete, aha, no, obvod kruhu, potřebuji znát vzoreček, že jo? A to je pí krát d, ten průměr. Tohleto je vlastně to naše d, že jo? To je toto d. To znamená, já už teďka, vidíte, že je to úplně jednoduchý, jo? Já za ten obvod dosadím 200, se rovná pí krát, a to je to d, co chci spočítat, jo? Takže pí je co? 3,14, že jo? 3,14 máte použít. To znamená z toho plyne, že d bude 200 děleno 3,14. Jo? 200 děleno 3,14 a určitě si to zkuste nějak vydělit, jo? Vy víte, jak dělit desetinným číslem, že jo? Že to vynásobíte obě dvě stovkou a budete dělit 314. Určitě je to dobrý trénink a výsledek vám vyjde přibližně 64 kroků. Jo? Kroků. U přijímaček by tam třeba bylo zaokrouhlete na celé kroky. Jo, zaokrouhlete na celé kroky. Takže po zaokrouhlení na celé kroky, vy byste měli dostat 64 kroků, že je vlastně ta kratší vzdálenost. Hele, to hlavní, co jste se tady měli naučit, je to, že nemusíte se bát nějakých jiných jednotek, pokud ten výsledek má být ve stejných jednotkách. To znamená, pokud já tady mám 100 něčeho a mám v tom něčem tady odevzdat ten průměr, no tak prostě počítám v tom něčem a tady u nás to jsou kroky. Druhé, co jste si z toho měli vzít, když je půlka obvodu, chci říct, půlka obvodu, jo, 100, tak samozřejmě ten celý bude 200. Dosadím do vzorce, vydělím 3,14 a dostanu ten průměr. Tak. Tak, pokračujeme k dalšímu příkladu, se kterým se často můžete setkat, a to je nějaké valící se kolo. My máme to kolo, to kolo se dá do pohybu u toho traktoru a koulí se takhle. A ono vlastně na té vzdálenosti jednoho kilometru se otočilo 455krát. To znamená, tahle značka tady dole, kdybych si tady udělal, tak vlastně 455krát ta značka koukala dolů. Takže když si to kolo představíme tady, tak zase ta značka tady takhle kouká dolů. A zase, a zase, a zase. A to se stane 455krát. A vy máte z toho určit, co máte určit, průměr toho kola, jo? Takže průměr je tohleto, to z toho máte určit, to d. Takže to kolo se prostě pořád koulí a urazilo vlastně jeden kilometr. Takže přátelé, co s tím, kdo ví, počítá, kdo neví, zkusí přemýšlet se mnou nahlas. Já se vás teď zeptám, jakou vzdálenost vlastně urazí na jednu otáčku. Kdybych si představil, že tady to kolo, teda takhle mám jednu otáčku, že se otočilo jednu otáčku, tak mám teď to kolo tady zase. Jaká je tahle vzdálenost? Odsud sem. Ano, to je vlastně ten obvod toho kola, že jo, to je ten obvod. A vy víte, že obvod kruhu spočítám, to už jsme měli teďka hodněkrát, že jo, spočítám jako pí krát d, že jo, pí krát d. To znamená, jakmile já bych znal ten obvod, pí znám, to je těch 3,14, tak budu schopen si dopočítat k tomu d, což je průměr toho kola. A teď moje otázka je, jak se dostanu k obvodu toho kola? No, jasně, proto je tady ta informace, že se na téhleté vzdálenosti otočilo 455krát. To znamená, pokud já tu vzdálenost, a pravděpodobně si to budu chtít teda převést na metry, aby se mi s tím lépe počítalo, takže pokud vzdálenost 1000 metrů urazilo to kolo po 455 otáčkách, tak vlastně ten obvod toho kola bude 1000 děleno 455. Protože tím vlastně dostanu délku toho obvodu, který urazí po jedné otáčce. To znamená, vy jste si měli říct, dobře, 1000 děleno 455. Vy si to zkusíte vydělit a dostanete 2,2 metru. Takže to je obvod toho kola. Obvod spočítám jako těch tisíc metrů děleno počtem těch otáček. Zamyslete se nad tím a dostanu, zkuste si kdyžtak nějaký kolo valit chvíli. To určitě uvidíte, jak to funguje. No, a teď už vlastně já si dosadím, že 2,2, to je ten obvod, že jo, se rovná 3,14 krát to d, to znamená můj průměr d, já spočítám jako 2,2 děleno 3,14. A vy byste se zase měli aspoň pokusit, jo, to vydělit na pár desetinných míst, aspoň na jedno desetiné místo. Takže zase byste z toho udělali 220 děleno 314 a dostali byste žádná celá 7 zhruba. Takže to je žádná celá 7 metrů přibližně. Takže kdo se dopočítal k nějakému číslu kolem žádná celá 7 metrů, tak se dopočítal správně. To hlavní, co jste se tady měli naučit, je, že když kutálíte nějaké kolo, když se otáčí nějaké kolo, tak vlastně na tu jednu jeho otáčku odsud sem, tak vlastně urazí vzdálenost svého obvodu. Tohle samé, jestli si pamatujete, když jsme měli ty příklady na ozubená kola, tak jsme si taky říkali, že když si představíme, že valíme to ozubené kolo, tak vlastně na jednu otáčku se nám tady otiskne přesně ten počet zubů toho kola. A to samé je s tím obvodem. To znamená na jednu otáčku tady mám obvod toho kola. A pokud jsem měl teda 455 otáček, tak vlastně jsem tam měl 455 krát obvod toho kola. To znamená, když jsem urazil 1000 metrů, děleno 455, mám obvod toho kola. A to je 2,2. A z toho spočítám ten průměr. Tak, pokračujeme k příkladu 11. Také se můžete setkat u přijímacích zkoušek s tím, že ten váš obrazec bude zadaný v nějaké čtvercové síti. Co je to ta čtvercová síť? To je síť, která je tvořená rovnoběžnými a kolmými přímkami, které vlastně tvoří nějaké pravidelné čtverečky. Ony se protínají v těch uzlových bodech. To vám dá tu informaci, jestli je to obdélník nebo čtverec a tak dále, ten váš celkový útvar. My vlastně, když se podíváme na to naše zadání, tak máme určit, kolik centimetrů čtverečních zabírá celý obrazec. No tak víme, že jeden ten čtvereček, já ho tady takhle vyšrafuju, jeden z těch mnoha čtverečků, má obsah těch 7/5 centimetrů čtverečních. To znamená, abych spočítal obsah celého toho obrazce, tak potřebuji vědět, z kolika čtverečků se skládá. To je jednoduché. Tak, pojďme to vzít postupně. Rozdělíme si to na ten náš obdélník a rozdělíme si to na ten trojúhelník. Tak začneme z kolika čtverečků, každý, to je asi úplně jednoduché, se skládá ten obdélník, tenhle ten. No, z kolika? Raz, dva, tři, čtyři. Raz, dva, tři, čtyři, pět. To znamená, obdélník, když si udělám, tak obdélník bude 20 čtverečků. To je 20. A teď bych chtěl, abyste všichni zjistili, z kolika čtverečků se skládá ten trojúhelník. No. A já doufám jenom, že už nikdo se nesnažíte tady nějak jako ty čtverečky počítat, ale všichni vidíte, protože se jedná o čtvercovou síť, že to je pravoúhlý trojúhelník. Jo. A vy si ho vlastně tady takhle doplníte do toho obdélníku. Že. To znamená, ten obdélník, tenhle celý zelený, co jsem tady naznačil, že jo? Tak ten vy víte, že je 2 x 5, je 10, že jo? A polovina z toho je 5. To znamená, obsah tohohle šedivého trojúhelníčku je 5 čtverečků. To znamená, celkem je to 20 plus 5 čtverců. Takže se rovná 25 čtverců. Obsah. Obsah je 25 čtverců toho celého obrazce. Takže ještě jednou, jak jsem se k tomu dostal, jednoduchý. 20 je tenhle obdélník, ten pravoúhlý trojúhelník jsem si zase doplnil na obdélník, celý ten zelený obdélník má 10, polovina z toho má 5. Takže 20 plus 5 je 25 čtverečků. A teď já už jenom mám vlastně odpovědět v centimetrech čtverečných. To znamená, S bude 25 čtverečků krát co? Správně, krát obsah toho jednoho čtverečku, krát 7/5. To znamená, těch 25 se vám s těmi pěti pokrátí, tady dostanete jedničku a tady vám zbyde pětka, 5 krát 7 je 35 centimetrů čtverečních. 35 cm čtverečních. Jednoduchý. No, to je to áčko. A jakou část celkového obrazce zabírá šedá část? Tak my teď potřebujeme S celkový. A spočítáme si, nebo my víme, že ta S šedá, že jo, je těch pět kostiček krát zase 7/5, to znamená, je to 7 cm čtverečních. Takže tohle je ta odpověď A, tam byste napsali 35. A pro tu odpověď B, vy máte říct, jaká část, to znamená, je to 7 z 35, to znamená u B, vy vlastně napíšete, že to je 7/35 a to si vykrátíte na jednu pětinu. Jo? Někdo už to možná viděl, protože vlastně mohl to počítat rovnou z těch čtverečků, protože je to 5 z 25, jedna pětina. Jo? Je to jedno. Ale takhle jsme si to spočítali. Takže tady jsem jenom chtěl, abyste si připomněli, že můžete mít u přijímaček i čtvercovou síť, přátelé. Čtvercová síť se skládá ze stejných čtverečků. Vy budete mít nějakou velikost toho čtverečku zadanou. Může být i takhle zlomkem. Vy se dopočítáte, kolik ten váš obrazec má čtverečků a potom ten počet čtverečků vynásobíte obsahem toho jednoho čtverečku a dostanete celkový obsah toho obrazce. To je celé. Tak příklad 12 je takový jenom tréninkový, měli byste si ho sami zkusit spočítat. Určitě můžete použít kalkulačku k tomuhle příkladu. Klidně použijte kalkulačku, jde o postup. Tak a teď jenom abyste si to mohli rychle zkontrolovat, tak si to prosvištíme. Máme ten obdélník 25 a 15 a my máme vystřihnout co největší kruh. To znamená, že je jasný, že ten kruh si můžu představit takhle ve středu, ale důležitý je, že vlastně průměr toho mého kruhu je 15 cm. To je vlastně to nejdůležitější. Máme určit obsah toho kruhu. Takže teďka, hele, obsah kruhu, přátelé, všichni musíte umět k přijímačkám, je π x r na druhou. Co je toto r? To je poloměr toho kruhu, že jo? To jsme si říkali. Tohle to je to r, takže když průměr je 15, tak to r je 7,5. Jo? Takže tohle to bychom měli zvládnout ještě bez kalkulačky, abyste si natrénovali to počítání, takže S bude 3,14 x 7,5 na druhou. Vy si pod sebe napíšete na papír 7,5 x 7,5 a dostanete, že to je 56,25. Takže 3,14 x 56,25 jste si napsali a dostali jste 176,625 cm2. Já myslím, že tohle to bylo úplně v pohodě. Takže celý ten trik byl, že když ten papír má 25 a 15, tak ten kruh bude limitován tou kratší stranou toho papíru. On se zastaví u té kratší. To znamená, zastaví se na průměru 15 a poloměru 7,5. A u toho B, takže tohle to je A, obsah, a u toho B jenom kolik procent obsahu tvoří ten kruh, tak toto už můžete na kalkulačce, protože vy si spočítáte nejdřív obsah toho obdélníku, a to ještě bez kalkulačky, takže to je 25 x 15 jste si spočítali a dostali jste 375. To je obsah toho obdélníku. 375. A potom, pokud chcete kolik procent, tak je jasný, že jste vzali těch 176,625 děleno těmi 375 krát 100, abyste to dostali v procentech. Tak jenom, jo, šlo o to si zopakovat, že umíte spočítat, kolik procent něčeho tvoří něco, takže to něco vydělíte tím celkem, že jo, něco děleno celkem krát 100 a mělo vám vyjít zhruba přibližně 47 %. Jo, tak jo. Takže kdo to zaokrouhlil třeba na 177, jo, a dělil 177 děleno 375 krát 100, tak neudělal chybu, jo? Nebo někdo si mohl říct, dobře, 1 % je 3,75 a potom zkoumal 176 děleno 3,75, kolikrát se tamto procento vejde a dostal taky 47. Takže to byl příklad 12, takový opakovací. Tak přátelé, to je pro dnešek všechno. Skončili jsme lekci 8. Vy v tuhle chvíli byste měli být schopni vyřešit takové ty úlohy, kde se určuje obvod nebo obsah různých útvarů. Už rozumíte tomu, že ten útvar nemusí být jenom trojúhelník, nebo obdélník, nebo čtverec, ale že se může z těchto základních útvarů skládat. A vy, abyste se dopočítali k tomu výslednému obvodu nebo obsahu, tak vlastně musíte si ten váš útvar rozdělit právě na ty obdélníky, trojúhelníky a čtverce, se kterými, nebo kruhy, se kterými umíte počítat. To je to hlavní, co jste si měli odnést. K těmhle příkladům je samozřejmě nutné znát ty vzorečky. Vzorečky máte v materiálu vypsány, postupně se je prosím učte a opakujte si je, ať v ten den těch přijímaček, když jste třeba nervózní, tak ať ty vzorečky nezapomenete. Nedá se to naučit úplně za týden, takže každý týden si nějaké opakujte. My se k těm příkladům na ty obsahy a obvody budeme ještě průběžně vracet. Takže určitě si nějaké příklady do konce kurzu vyzkoušíte. Já vám moc děkuji za pozornost dneska a těším se příští týden zase na viděnou u další lekce. Budeme se věnovat povrchům a objemům těles, takže to bude příští týden. Děkuji a nashledanou.