Konstrukční geometrie a rýsování

Rýsování je důležitou součástí vaší přijímací zkoušky. Jsou to příklady, na kterých můžete nasbírat, ale také ztratit hodně bodů. Takže v dnešní lekci si od těch začátků, od těch základů, od těch nejjednodušších příkladů ukážeme různé konstrukce a hlavně se naučíme, jak číst to zadání, abyste tu konstrukci, kterou budete mít u přijímacích zkoušek, uměli správně narýsovat. K tomu rýsování není potřeba vědět nějaké strašně mocné teorie, stačí se naučit, jak vlastně číst to zadání, vědět, jak má vypadat ten výsledný obrazec, jaké jsou jeho vlastnosti a potom už ho vlastně jednoduše zkonstruovat. Všechno se to naučíme, pustíme se rovnou, jako vždycky do práce a začínáme příkladem jedna. Takže, když se podíváme na zadání, tak vy u přijímacích zkoušek vždycky budete mít nějaké výchozí zadání. Nikdy tam nemáte jenom prázdný papír. Proč? Protože ti hodnotitelé chtějí, aby vlastně ten váš výsledný obrazec vypadal u každého stejně, aby se dal zkontrolovat. Proto vám vždycky zadají nějaké výchozí body, nějakou přímku a řeknou, co máte z té přímky nebo úsečky nebo z těch bodů sestavit. Tak je to první příklad, začneme jednoduše. My máme přímku, vždycky si přečtěte, co máte zadáno a nesmíte splést ty písmenka. Takže my máme přímku p, na ní vlastně nám leží bod K, takže ten bod K náleží přímce p. Vy víte, že ta přímka, i když ji tady mám takhle jenom, tak víte, že přímka jde od nekonečna do nekonečna, že jo? A mimo ni vidíte, že mimo ni je bod A. Tak, první krok, hele, musíme si zopakovat, co je to, když máme narýsovat přímku q, která je kolmá a zároveň prochází bodem A. Jo, to je úplně strašně důležitý. Takže všichni si zkuste narýsovat přímku q, která je kolmá k p a prochází bodem A. No, tak, už to asi máte, hele, vzali jste trojúhelník, že jo? A víte, že musíte sestrojit kolmici, použijete k tomu rysku toho trojúhelníku, nastavíte si rysku tak, aby vlastně, vy máte průhledný trojúhelník, aby ta ryska odpovídala té přímce, jo? Já to můžu i z téhle strany ukázat takhle a musí vlastně takhle procházet tady bodem A, jo? Takže takhle, tady máme přímku q, jo? Mně se to tady občas umázává, tak já to tak doplním. A tady mám přímku q. Nezapomeňte si ji vždycky označit. Plus mínus by vám to opravdu mělo procházet těmi body. Když už tam bude mezera mezi tím bodem a tou čárou, tak to vygumujte a narysujte to znovu. Ta přesnost se u přijímaček také hodnotí. Tak, a čteme dál. Takže teď jste sestrojili první krok. Průsečík označte L. Hele, tak na nic nečekejte, kde je průsečík přímky q a p? No, tady, že jo, L, jasně. Tak, takže máte bod L. A teďka na polopřímce AL. Všichni byste měli rozumět tomu, co je to polopřímka AL. No, to je polopřímka, která začíná tady v bodě A, sviští skrz ten průsečík, to je ten bod L, a pokračuje do nekonečna. To znamená, AL je takhle nahoru. Kdybyste měli polopřímku LA, tak by začínala tady v tom průsečíku a svištěla by dolů. Takže AL nahoru. A máme sestrojit bod B, aby jeho vzdálenost od bodu L byla stejná jako délka úsečky AL. A zároveň nesmí platit, že bod A se nerovná B. Hele, to vás někdy trápí. Co to znamená? A se nerovná B. No, to je jednoduché. Ty dva body by mohly teoreticky ležet na sobě, že jo? Když já se rozhodnu, že tady udělám bod Y, tohle to je bod Y, tak úplně na něj bych mohl umístit bod Z taky. Takže tady v tom bodě mám Y i Z a teď platí, že vlastně Y se rovná Z. Ale když to nesmím udělat, tak jsem si to zakázal tím nerovná se. Tak už rozumíte tomu znaménku. Takže co my musíme udělat? My musíme přenést tu vzdálenost AL sem nahoru. A teďka, hele, už vidím některé, jak vlastně si teďka odměřujete tady to pravítkem. To je chyba. Musíme vynést tu vzdálenost pomocí kružítka. Jakmile někdy přenášíte vzdálenosti nějakých úseček nebo nějakých stran, pokud nejsou zadány rovnou v nějakých jednotkách, které můžete odměřit, a vznikly nějakou konstrukcí, tak je musíte vynášet kružítkem. To znamená, že si do kružítka jednoduše odměříte tu vzdálenost, jo, tak já to tady taky takhle udělám, tak, šup, a tady vlastně si odměřím a získal jsem bod B. Tak, co mám udělat dál? Mám sestrojit střed úsečky KL. Takže tady se teď naučíme, jak sestrojíme střed úsečky. Kdo jste to zapomněl? No, máme úsečku KL, že jo, tady takhle tuhle úsečku. Máme najít její střed, tam bude bod S, a to bude vrchol toho našeho trojúhelníku. A zase, už vidím někoho, hele, jak si to odměřuje a dělí to dvěma – nikdy nedělat. Je potřeba rozpůlit úsečku vždycky pomocí kružítka. Přátelé, dělá se to tak, že vy si dáte kružítko do jednoho z vrcholů, vezmete si víc než polovinu, uděláte si tady pomocné oblouky, teď si tím kružítkem nehnete, jdete do druhého vrcholu, já myslím, že už jste si všichni vzpomněli, a označíte si. A vidíte, že ty průsečíky mají stejnou vzdálenost od tohohle i tohohle vrcholu, to znamená, pokud já teď vezmu pravítko a spojím si takhle ty průsečíky, tak zde budu mít střed S. A v tu chvíli vám už nic nebrání sestrojit takhle ten trojúhelník, co je v tom zadání. Takže vidíte, že na tom nic nebylo. Zopakovali jsme si hlavně ty základy toho rýsování, jak vlastně půlíme úsečku, co je to přímka, polopřímka, jak přenášíme vzdálenosti. Tedy máme trojúhelník, zkontrolujeme ASB, hotovo. Takže vidíte, příklad 1 je kompletní. Teďka ještě u přijímacích zkoušek z technických důvodů vy musíte vše obtáhnout propisovací tužkou. Určitě si to na pár příkladech vyzkoušejte. Někdy se mě ptáte, a co máte všechno obtahovat? Odpověď je jednoduchá, přátelé. Všechno, co nebylo vytištěno. To znamená, vidíte tady názvy vrcholů, obtáhnete všechny. Vidíte tady ty pomocné oblouky, obtáhnete. Samozřejmě obtáhnete tu přímku, kterou jste rýsovali. Jinými slovy, vše, co je tužkou, obtáhněte propiskou. Udělejte si to teďka už vlastně i v tomhletom cvičení, ať si to obtahování natrénujete. Takže to byl příklad jedna. Tak, pokračujeme příkladem 2. V příkladu 2 máme zadán nějaký obdélník ABCD, ten vy vidíte, a přímku AB. Přátelé, přímka AB je tahleta čára a ona prochází těmi vrcholy A a B a tím je jednoznačně určena. To znamená, přímka se může jmenovat AB, jo? Nejenom úsečka. Úsečka AB je ta část té čáry mezi těmi body A a B. Ale přímka. Když já si vezmu dva body, budu mít třeba bod C a D, tak já můžu říct, hele, tahleta čára je přímka CD. A tahleta část té přímky je úsečka CD. Kdybych chtěl říct polopřímku, jo? Třeba polopřímka CD, tak by začínala v C, šla skrz D do nekonečna. Nebo kdybych chtěl polopřímku DC, tak by zase začínala v D a šla skrz C na druhou stranu do nekonečna. Takže to je první věc, co jsme si potřebovali zopakovat. Teď v tom zadání máme, že máme sestrojit bod X jako průsečík úhlopříček. Vy víte, co jsou to úhlopříčky. Úhlopříčky spojují protilehlé vrcholy obdélníku nebo čtverce. A vyrýsujete pečlivě, že jo? Aby se vám to teďka pěkně procházelo těmi vrcholy. A zde máme ten bod X. Tak to bylo jednoduché. A teď ale je chvíle, kdy já bych chtěl, abyste si to pozastavili a rozmysleli, jestli dokážete najít ten bod Y. Protože ten bod Y máme sestrojit tak, aby úsečky DX a CX byly stejně dlouhé jako nové úsečky DY a CY. A má to být mimo ten obdélník. Tak zkuste, jo. Hele. Co my hledáme? My hledáme vlastně místo, ze kterého to bude do C a D stejně daleko jako z toho bodu X. Co vy teda uděláte? No, vy si vlastně odměříte tu vzdálenost z C do X, že jo? A řeknete si, hele, ten bod Y musí být za A mimo ten obdélník, to je jasný, a za B musí ležet vlastně na téhleté kružnici. Souhlas, protože tohleto, ta kružnice, je vlastně množina bodů, které to mají z toho C stejně daleko jako do toho X. No, a ten bod, který hledáte, musí tohle splňovat nejenom s ohledem na to C, ale i s ohledem na ten bod D. To znamená, když my si takhle vyneseme z toho bodu D tu stejnou množinu bodů, jo, tak asi tušíte, že jediné místo, kde se nám vlastně ty dvě kružnice protnou, kromě toho bodu X, který je ale uvnitř v tom obdélníku, takže tam ten bod Y být nesmí, je tady tenhle průsečík. Tak jo. Takže všichni rozumíme, doufám, že ten jediný bod, který splňuje tu podmínku, je tenhle průsečík tady. Tak, tím jsme ho našli. Teď vy máte protáhnout úsečku CY tak, aby protla vlastně tu přímku AB. No tak, hele, jediná možnost, úsečka CY je tady a teď já ji protáhnu a vidím, že tady mi protla tu přímku AB. Úplně stejně protáhnu takhle tu druhou. Tak, jo. A tady mi protla znova tu přímku AB. My ty průsečíky, že jo, vy následujete to zadání, vy ty průsečíky označíte P a označíte je Q. Tak, protože P musí být nalevo od A, Q musí být napravo, to tady je napsáno. A teď už vlastně máte PQ a máte sestrojit čtverec PQRS. Jak sestrojíme čtverec z jedné strany, kterou máme zadanou? No, my víme, že vrcholové úhly jsou kolmé, nebo vy to víte. Tedy je jasné, že v těch vrcholech my si sestrojíme kolmice. Já je narysuju takhle tady. A teď zase nechci vidět, že někdo, to by byla chyba, si odměřuje stranu toho čtverce takhle tím pravítkem. A teď to tady takhle odměřuje. Ne, ne, ne, jak to budeme dělat? No ano, budeme to dělat kružítkem. To znamená, my si odměříme délku strany PQ do toho kružítka, šup, a šup, tak, a mám ty průsečíky, tady a tady, vidíte, a v tu chvíli si spojím ty průsečíky takhle, a mám krásný čtverec. Zadání byl PQRS, že jo? PQRS se měl jmenovat a máme čtverec. A teďka, když vlastně jsme to dokončili, tak byste zase obtáhli všechny ty konstrukce i ty kružnice, jo? Názvy vrcholů propiskou. Takže v tomhle příkladu jste se naučili hledat nějaký bod, který splňuje vlastnosti, které tam byly dané, a to byly ty délky těch úseček. Vy víte, že vlastně vždycky ho hledáme jako průsečík nějakých kružnic, protože ty kružnice vlastně definují tu vzdálenost, tu množinu bodů. Tak jo, takže to byl příklad 2. Tak, pokračujeme příkladem 3. Máme v rovině kružnici K a na ní leží bod B. Mimo té kružnice leží bod C a také mimo leží bod K. Sestrojte bod E ležící na kružnici K, který je vrcholem rovnoramenného trojúhelníku BCE se základnou CE. Tak si potřebuji udělat nějakou představu. Takže když ten trojúhelník se má jmenovat BCE, a tady vidím, že mám někde B, tady mám někde C, tak si řeknu dobře, hele, když tenhle rovnoramenný trojúhelník má mít základnu CE, tak je jasný, že tyhle dvě ramena (BC a BE) budou stejně dlouhá. Takže teď já už vlastně vidím, když jsem si tohle to řekl, hele, to BC si můžu rovnou spojit a tím už mám jedno rameno mého trojúhelníku. Teďka, co vlastně platí pro tenhle vrchol B? Je rovnoramenný, takže odsud sem (k C) a odsud sem (k E) bude stejně daleko. A já zároveň vím, že ten bod E musí ležet na té kružnici. Zkuste si všichni najít, kde bude ležet ten bod E. A ještě navíc, ten bod K musí náležet tomu trojúhelníku. Tak, už to asi máte. Takže vy jste se zamysleli, no jasně, já znám BC, no tak já když si ji vezmu zase do kružítka z toho vrcholu B, tak vlastně ten bod E musí být v téhle vzdálenosti, kterou mám já teďka v kružítku. A zároveň musí ležet na kružnici K. No tak já když si tady takhle představím tu kružnici, tu množinu bodů, tak vidíte, že vlastně, kde on mi protne tu kružnici K. V těchto místech, že jo? Tady a tady mi ji protne. No, ale ten spodní průsečík mě asi v tuhle chvíli nezajímá. Proč? Protože když si tady sestrojím ten vrchol, tak ten bod K tam rozhodně neleží. Pozor na to. Vy musíte splnit všechny podmínky. To znamená, tady je bod E. A teďka ten druhý. Sestrojte bod D, taky má ležet na kružnici, který je vrcholem opět rovnoramenného trojúhelníku BDC. Tak je jasný, že to bude ten druhý průsečík, jo? Tam už ten bod K není, to znamená, vy si jednoduše dejte, tady je ten bod D a máte BDC, takže nám z toho vznikla taková šipka, že? Tak, výborný, souhlasím? A teď máme udělat co? Sestrojte obdélník DEFG, jehož vrcholy leží na kružnici. Takže teď zase na to tak jako koukáte. Kde je ten obdélník tady? No, hele, rozhodně já už znám jednu stranu DE toho obdélníku. No tak neváhám a zase si udělám tu stranu toho obdélníku. Tak a co vy teď víte o obdélníku, přátelé? Že vrcholové úhly v obdélníku jsou jaké? No pravé, že jo? Takže šup, tady si takhle vezmu pravítko s ryskou a udělám si tu kolmici. A protože vy víte, že vrchol toho obdélníku musí ležet na kružnici, tak tady bude ten další vrchol toho obdélníku. Tady jsme si udělali zase tu kolmici, abychom měli pravé vrcholové úhly. A takhle, když to spojíme, tak vidíte, že jsem dostal průsečík a další ten vrchol. Takže jak se měl jmenovat? D, E, takže tady musí být F a G. Teď se ještě trošku jenom zmíním o názvu těch vrcholů. Hele, vrcholy, pokud to jde, se snažíme vždycky číslovat proti směru hodinových ručiček. To znamená, pokud mám zadáno DEFG a mám DE už, tak rozhodně tady musí být F a tady musí být G. Už není možný, abych si tady vlastně napsal G a tady F, to už by bylo špatně. Musí to jít takhle. Tak, takže tím jsme dokončili příklad 3. Tak, příklad 4 si uděláme jenom formou krátkého rozboru. Hele, takže jste měli zadanou tu úsečku AB, a teď vlastně jste měli sestrojit trojúhelník ABC. Takže vy jste si v nějakém rozboru někde na papír řekli, hele, já mám AB. Co vy víte? BC jste měli zadaný jako 5 cm. To znamená, co vy jste udělali? Vzali jste kružítko a odměřili jste 5 cm z bodu B. Znali jste taky AC, to byly 3 cm, takže odměřili jste si 3 cm z bodu A a zde vám vznikl vrchol C. Vy jste to spojili a dostali jste ten trojúhelník ABC. Tak, a dále jste měli sestrojit trojúhelník AC'B. A zase B, C' má být těch 5 cm, takže vlastně, kdo jste si udělal celou tu kružnici, tak jste tady dostal další průsečík. To samé jste si udělali A, C' a dostali jste tady ten průsečík toho vrcholu C', že jo, a když jste to spojili, tak jste dostali ten samý převrácený trojúhelník. Tak, teď jste měli sestrojit úsečku C, C'. Hurá, takhle jste to spojili, dostali jste C, C'. A průsečík jste označili S. Takže průsečík jste museli označit tady S. A sestrojte kružnici k se středem S, aby procházela těmi vrcholy. No tak vy jste si do kružítka vzali tuhletu vzdálenost. A pokud jste rýsovali přesně, tak vám ta kružnice takhle prostě prošla těmi vrcholy. A vy nezapomenete tu kružnici označit k. Takže v tu chvíli jste sestrojili všechno. Znovu si zkontrolujete, než půjdete na další příklad, máte trojúhelník ABC a máte také trojúhelník AC'B. Spojili jste C, C', průsečík je S, sestrojili jste kružnici, hurá, máte hotovo. Tak, pokračujeme příkladem 5. Máme přímku p, na ní leží bod S, mimo leží bod A. Tak, a jdeme. Sestrojte kružnici k, která má střed S a musí procházet bodem A. No tak co? Já zapíchnu do S, odměřím si přesně, aby to procházelo tím áčkem a vím, že takhle tady bude kružnice, tak si ji takhle tady sestrojíte. Jakmile ji sestrojíte, tak nezapomeňte, ta kružnice se musí vždycky nějak jmenovat, takže většinou se jmenuje kružnice k. A teďka průsečíky kružnice k s přímkou p označte B, D. Tak označím průsečík B a D. Sestrojte chybějící vrchol C obdélníku ABCD. Tak to je asi jednoduché, ne? Ten střed S je taky vlastně průsečíkem úhlopříček. Takže já ani tady nemusím dělat nutně kolmici. Někdo si řekne, hele, tak já když si tady takhle udělám tu druhou úhlopříčku, tak vlastně vidím, že tady musím mít ten vrchol C, protože ten střed S je průsečíkem úhlopříček. Ale je to jedno, jak ten bod C získáte. Ale musí být ten obdélník vyznačen a musí mít vrcholové úhly pravé. Tak. A samozřejmě musí ležet na té kružnici. Tak to máme. A čteme dál. Sestrojte chybějící vrchol E rovnostranného trojúhelníku BDE. Doporučuji zase někam na stranu si napsat BDE. Rovnostranný trojúhelník má tři stejně dlouhé strany. Tak co, kde mám B, D? Hele, B, D mám tady, a teďka někde mám udělat E, a teď ještě mi říkají, že uvnitř toho trojúhelníku musí ležet A, to znamená to E já nebudu hledat tady, že, protože A je tady, to znamená budu ho hledat na tuhletu stranu. Rovnostranný trojúhelník vy samozřejmě umíte. Je to jednoduché, vy máte tu stranu BD, tak si ji odměříte. A teď vy víte, že z B to musí být stejně daleko do E, takže šup, tady někde bude ležet to E. A stejně daleko od D musí být vrchol E taky. Takže tady v tom průsečíku vy jste získali ten vrchol E. A v tu chvíli už máte ten trojúhelník hotový, protože máte sestrojit, znova si zkontrolujte, že spojujete ty správné vrcholy, to znamená BDE. Tak, pokračujeme k příkladu 6. Hele, máme dvě různoběžné přímky p a q a máme nějaký bod M. A teď víme, že budeme dělat obdélník KLMN. A teď oni vám říkají, hele, strana KL je rovnoběžná s přímkou p. A jeho úhlopříčka LN leží na přímce q. Ha, to je dobrý, ne? To nám pomůže. Protože tu přímku q já mám zadanou. A to znamená, že vlastně my víme, že tohle to je úhlopříčka. A co vlastně já vím o té úhlopříčce? No, ona spojuje vrcholy L, N, ale KL je rovnoběžná. To znamená, my teďka dokážeme najít ten vrchol L. Vymyslete si všichni, jak najdete ten vrchol L. No, pokud jste si řekli, že vlastně, hele, já budu dělat rovnoběžku k té přímce p, ale kde vlastně? Já vím, že KL je rovnoběžná s MN. To znamená, já můžu získat tenhle bod N tady. A jakmile budu mít ten bod N, tak vlastně získám ten bod L taky. Jo, a v tu chvíli máme vyhráno. To znamená, ten postup bude, že budeme dělat rovnoběžku. Rovnoběžku děláme tak, že vy chcete udělat rovnoběžku k p tak, aby procházela tím bodem M. Takže delší stranu trojúhelníku si dám na tu přímku p. K té kratší straně si přiložím druhý trojúhelník nebo pravítko. A teď tímhle klouzavým pohybem po té kratší straně vidíte, že vlastně mám pořád rovnoběžku. Zastavím se, jakmile mi to prochází tím bodem. A já tady takhle udělám tu rovnoběžku. A vidíte, že někde mi ta rovnoběžka takhle protla tu přímku q. No a to je ten vrchol N. Takže my jsme teď získali tuhle úsečku, tu stranu MN. No a protože víte, že tahle přímka je vlastně úhlopříčkou a víte, že vrcholové úhly toho obdélníku jsou jaké? Pravé, tak vám tady stačí takhle sestrojit kolmici z vrcholu M a získáme ten vrchol L konečně. Tak, no a teď už vlastně je hotovo, protože vy máte dvě možnosti, buď si uděláte zase rovnoběžku, že jo, tyhle dvě jsou rovnoběžné, takže si udělám takhle rovnoběžku, aby to procházelo tím L, anebo si tady takhle uděláte kolmici. A tedy máme zde vrchol K, vrchol L, M a N. Takže teď jsme narýsovali ten obdélník KLMN. A ještě než půjdete dál, tak se vždycky ubezpečte, že splňujete ty podmínky. To znamená, mám stranu KL rovnoběžnou s p? No ano, mám. A co ještě mám splnit? Úhlopříčka LN leží na přímce q, takže úhlopříčka LN, ano, leží na q. Paráda, jo? Sestrojte na přímce p vrchol P rovnoramenného trojúhelníku KLP. Zase, on má být rovnoramenný s rameny KL a LP. Tak, KL je jedno rameno, LP je druhé rameno. To znamená, základna bude KP. Takže z toho vrcholu L já vlastně budu mít dvě ramena. Takže já teď vezmu to jedno rameno do kružítka, takže KL to je to rameno. Tak a teď já vím, že vlastně, protože tohleto je vrchol, ze kterého jdou ty dvě ramena, tak vlastně já někde budu mít ten vrchol P. A teď jenom si musím znova přečíst, na přímce p. To znamená ten vrchol P musí být na přímce p, to znamená, kde mi to moje kružítko protne přímku p, což je zde, že jo? Tak tady bude vrchol P. Je to jasný? Já myslím, že jo. Protože teď mám tohle rameno, to je jedno rameno, a tady mám druhé rameno. To znamená, tady takhle bude ta základna KP. Příklad 7 si zase uděláme formou rozboru. Máme přímku p, na ní bod B a mimo bod C. Co máme sestrojit? Úsečku BC. Na tom nic není. Tak. Na přímce p sestrojte vrchol A pravoúhlého trojúhelníku ABC s pravým úhlem u vrcholu C. To znamená, tady bude pravý úhel, a vlastně, protože vy máte to BC, tak u toho vrcholu C musí být pravý úhel. To je jednoduché, ne? No tak, že jo, tady byste si vzali trojúhelník a je jasný, že udělali jste si takhle rysku a šup, udělali jste si tu kolmici. A protože ten trojúhelník má být ABC, tak je jasný, že tady jste si udělali vrchol A. Tak. Tento trojúhelník jsme narýsovali. Sestrojte chybějící vrchol D obdélníku ADBC. Zase, napište si ty písmenka. ADBC. Takže já vím, že mám A, pak mám mít D, a pak B a C. Je jasný, že to D bude tady, že jo? A pokud, že jo, tady už jsme měli ten pravý úhel, to znamená, vy jste jednoduše vlastně si tady zase udělali pravý úhel a tady jste takhle získali ten bod D. A máte ten obdélník. A sestrojte vrchol E rovnostranného trojúhelníku ABE. Co já znám? A, B znám, a on je rovnostranný, to znamená, má všechny strany stejně dlouhé, takže co, vy jste si A, B vzali do kružítka, vynesli jste oblouk z vrcholu A, udělali jste oblouk z vrcholu B, a získali jste tady ten vrchol E. A když jste to spojili, tak jste získali ten trojúhelník ABE. Jsme u příkladu 8. V příkladu 8 máme body A a C. Sestrojte kružnici k se středem S, aby procházela body A a C. No tak, co to znamená? Aby ta kružnice procházela oběma body, tak vlastně střed té kružnice bude kde? No bude na středu té úsečky AC. To znamená, já si tady takhle spojím tu úsečku AC, potřebuji najít ten střed S, to znamená rozpůlím si úsečku. Tím jsem vlastně rozpůlil tu úsečku. Tedy, pokud si tady takhle vyznačím ten střed S a zkonstruujeme tu kružnici. Tak. Ona prochází teďka body A a C. Hurá. Doplňte chybějící vrcholy čtverce ABCD. A teď to přijde, hele, borci. Pokud máte čtverec ABCD, co máte zadáno? AC. To znamená, tahle úsečka AC není stranou toho čtverce, nýbrž jeho co? Úhlopříčkou. Pozor na to, jo. V těch testech se to objevuje často, protože je to takový chytáček. Takže vy konstruujete ty vrcholy B a D tak, že využijete vlastnost, že úhlopříčky se ve čtverci půlí a jsou co? Navzájem kolmé. Takže pozor, vy samozřejmě nezmatkujete, vy víte, že jsou navzájem kolmé, to znamená, tady bude takhle úhlopříčka, šup. A je jasný, že ty vrcholy A, tady bude B, a tady je vrchol C a D. To znamená, ten čtverec musí být takhle. Narýsujte chybějící úhlopříčku čtverce ABCD. Takže to je tahle úhlopříčka BD, protože tu AC jsme měli. Máme příklad 9. Máme se stroj trojúhelník ABC. Strana a má délku 5 cm, strana b má délku 7 cm, strana c délku 10 cm. A vrchol B musí ležet na přímce p. Vy byste měli rozumět tomu, že když si představíme nějaký trojúhelník ABC, tak kde leží strana a? Ano, tady, je vždycky proti tomu vrcholu A. Tady je strana c a tady je strana b. To znamená, já vím, že vlastně vzdálenost AB mi určuje ta strana c, 10 cm. To znamená, vy jste si do kružítka odměřili 10 cm, šup, tady jste dostali vrchol B. Hurá! Teď vlastně potřebujete sestrojit ten vrchol C, takže jste si vzali do kružítka 5 cm z bodu B a udělali jste oblouk. Pak jste si vzali takhle 7 cm z bodu A a sestrojili jste ten trojúhelník ABC. Tak, máme tady příklad 10, máme zase přímku p, na ní leží bod A a bod C. Máme sestrojit čtverec ABCD, pro který je úsečka AC úhlopříčkou. Průsečík úhlopříček označte S. No tak pokud je tohleto zase úhlopříčka, tak vy neváháte, rozdělíte si, že jo, tuhletu úsečku, najdete si její střed, jo, tak šup. A protože to je úhlopříčka čtverce, no tak je jasné, že vlastně já si zabodnu kružítko, že jo? A vlastně pokud si tady takhle sestrojím kružnici, tak vlastně všechny ty průsečíky té kružnice s těmi úhlopříčkami (které jsou na sebe kolmé) vlastně tvoří vrcholy toho čtverce. Hnedka vidím, když mám čtverec, tak tohle, A, tak tady bude B, tady je C a tady D, jo? Nezapomínejte na značení těch vrcholů. Pokračujeme k příkladu 11. Teď se přesouváme k dalším obrazcům, které byste měli znát, a to je například kosočtverec. Pokud máme kosočtverec, tak vlastně byste měli rozumět tomu, že kosočtverec má všechny čtyři strany stejně dlouhé, proto je tam to slovo čtverec, ale on už nemá ty vrcholové úhly pravé, proto je tam to slovo koso. Ale měli byste vědět, že pro jeho úhlopříčky platí, že ony se půlí a jsou navzájem kolmé. Máme přímku p, mimo ni bod A a na ní bod B. Narysujte přímku q, která je kolmá na přímku p a prochází bodem A. No tak to už jsme tady měli. Průsečík máme označit L, a na polopřímce AL máme sestrojit bod C, aby ta vzdálenost AL byla stejná jako LC. Tak. No, a teď přijde to, co vy musíte vědět o tom kosočtverci, protože máte sestrojit kosočtverec ABCD. Tak. A teď, když se na to podíváte, tak už je vám to asi jasné, že pokud bude ABCD ten kosočtverec, tak rozhodně tady bude strana AB. A je jasné, že protože ty strany jsou stejně dlouhé, tak AC je ta úhlopříčka toho kosočtverce. To znamená, tady bude strana BC. No, a jak sestrojíte ten vrchol D? No, takže vy si vlastně řeknete, hele, on je to kosočtverec. To znamená, délky stran jsou všude stejné. To znamená, já si ji tady vynesu a mám to. Nebo si řeknete, hele, úhlopříčky se půlí. A získáte zde vrchol D. Příklad 12. Máme rovnoběžník ABCD. Bod A je vrchol, bod S je jeho střed. Co já vlastně můžu hned narýsovat? Hned si můžu narysovat tu úhlopříčku AC, protože vím, že vychází z A, prochází S, který znám, a tady někde bude C. A co ještě můžu zrovna zkonstruovat? Vrchol C, protože ten je stejně daleko od toho S jako je A. Úhlopříčka, která neleží na přímce p, je současně jednou z výšek. A vy znáte výšku, víte, že je kolmá. Takže mi z toho plyne, že vlastně ta moje úhlopříčka bude muset být kolmá na stranu. A já se toho vlastně nebojím a potřebuju si, když takhle mám tu úhlopříčku, tak si potřebuji představit, že vlastně ta strana musí být takhle. Takže pokud já vím, že tohle je výška, která je kolmá, tak mně nezbývá, než si tady udělat tu stranu takhle. A teď už vlastně, kdo jste se k tomuhle odhodlali, tak jste vyhráli. Protože vy víte, že tohle je úhlopříčka a je to výška. A zároveň víte, že ta druhá úhlopříčka je na přímce p. A pokud je tohleto strana a tady je úhlopříčka, tak jediné místo, kde vlastně může být ten vrchol D, že jo? Je tady. A v tu chvíli vlastně nám nic nebrání si odměřit tu stranu. My víme, že ty úhlopříčky se půlí. To znamená, já si tady odměřím takhle tu úhlopříčku a vidím, že ten zbylý vrchol bude tady. To znamená, ten náš rovnoběžník, A, tady bude B, C a D. Pokračujeme k zadání příkladu 13. Máme bod K. Máme sestrojit rovnoběžník KLMN. Strana KL má délku 5,5 cm. Úhlopříčka KM je 9 cm. A úhlopříčka LN je 6 cm. Co s tím? Zkuste se zamyslet. Musíte tady využít jednu věc, a to se týká těch úhlopříček. Co vy víte o těch úhlopříčkách? Ony se půlí. To znamená, pokud já jsem schopen najít ten střed S, tak v tu chvíli mám vyhráno. Já si řeknu, hele, tahle celá úhlopříčka má 9. No tak k tomu středu to bude kolik? 4,5. A odsud to k tomu středu bude kolik? 3. To znamená, já si do kružítka nevezmu 9, já si vezmu polovinu z bodu K. A tady si vezmu do toho kružítka polovinu z 6, takže 3 z bodu L. A získám tenhle bod S. No a teď už vlastně máte vyhráno, protože vy můžete zkonstruovat ty úhlopříčky. Příklad 14. Máme sestrojit rovnoramenný lichoběžník. Bod C je jedním z jeho vrcholů. Vrchol A leží na přímce q a bod S je průsečíkem úhlopříček. Přímka p je osou souměrnosti. Hele, osa souměrnosti. Kde bude mít rovnoramenný lichoběžník osu souměrnosti? Takhle tady. Protože když ho podle téhle osy překlopím, tak musím dostat tenhle vrchol přesně tady. Takže ještě jednou, osa souměrnosti je přímka p. Takže vidíte, že on se bude takhle překlápět. No, co teď? Vím, že mám C a mám S. No tak hele, rozhodně mi nic nebrání takhle spojit C a S. A vidím, že když už mám C a S a budu pokračovat, tak dosvištím do A. A protože mi říkají, že vrchol A leží na q, tak jediný místo, kde se mi ta úhlopříčka protne s tím q je tady. To znamená, tady bude bod A. A teďka, co dál? Teď musíme využít to, že přímka p je osou souměrnosti. Takže já budu překlápět pomocí p. A to znamená, že já vlastně budu k téhleté přímce sestrojovat co? Kolmici. V příkladu 15 máme sestrojit trojúhelník ABC, kde úhel ABC se rovná 35 stupňů a úhel CAB je 50 stupňů. K tomuto účelu potřebujete úhloměr. My potřebujeme odměřit úhel 35 stupňů. To znamená, vy vlastně tady z toho vrcholu B chcete 35 stupňů. Dáte si ten úhloměr, a teď vidíte, že vlastně tady máte všichni dvě řady těch čísliček. A tady vlastně to začíná spodní teďka od nuly. Odměřuju tady takhle. Tady takhle naměřím 35 stupňů. A tady si udělám takhle čárečku. V tu chvíli, vlastně pokud tady udělám tuhletu pomocnou přímku, tak vím, že tenhle úhel je 35 stupňů. Úplně stejně to udělám s tou 50. Zase přiložím si úhloměr na to A. A teď vlastně ten úhel je takhle 50. Takže vidíte, že teď použiju ty horní číslička na tom úhloměru. A tady si takhle udělám čárku. A tady bude vrchol C. Vrcholy trojúhelníku jsou současně vrcholy rovnoběžníku ABCD. Sestrojte chybějící vrchol D. Máme A, B, C. Takže jdu takhle protisměru, to znamená D musí být vlastně někde tady. Já vlastně vím, že u rovnoběžníku sestrojím tuhletu stranu CD, která je rovnoběžná s tou AB. Průsečík úhlopříček rovnoběžníku označte S. A teď mám sestrojit trojúhelník AS'B. A já vím, že S' má být v osové souměrnosti podle přímky p. Takže vy už teď víte, že když mám v osové souměrnosti přenést tenhle bod, no tak si tady udělám tu kolmici na tu osu souměrnosti. A ten bod S' bude ve stejné vzdálenosti od té osy souměrnosti. Jsme u příkladu 16. Máme přímku p, na ní bod A. Máme sestrojit bod B na přímce p, takže vzdálenost AB jsou 4 cm. No tak to je jednoduché. Sestrojte přímku q, která je kolmá na přímku p a prochází bodem B. Na přímce q sestrojte bod T, aby BT bylo 3 cm. A teď, body A a B jsou vrcholy trojúhelníku ABC a T je těžištěm. A teď, kdo si nepamatuje, co jsou to těžnice, co je to těžiště, tak skončil. Těžnice spojuje protější vrchol se středem té strany. A kde se vám ty těžnice protnou, tak tam je těžiště. To znamená, já určitě vím, že když tady takhle proženu tu čáru, tak vlastně budu mít tu těžnici. A ta správná cesta k vrcholu C bude určitě přes tu těžnici TC. Já bych od vás určitě čekal, že si rozpůlíte tu úsečku AB, a zde mám střed. Takže ta těžnice TC půjde odkud? No, bude ze středu té strany AB, skrz to těžiště T, a bude takhle. No, a teď vlastně asi ten nejjednodušší postup, jak najít ten vrchol C, spočívá v tom, že si budete pamatovat jednu důležitou věc, přátelé. A je to fakt důležitý. Těžiště vám rozděluje ty těžnice v poměru dva díly ku jednomu dílu. A vždycky ty dva díly jsou od těžiště k tomu vrcholu, takže tady jsou dva díly, a od těžiště ke středu strany je jeden díl. Vy prostě máte těžnici TC a my víme, že to těžiště T nám ji rozdělilo v poměru 1 ku 2. A tady bude ten vrchol. A kdo tohle to ví, tak už má vyhráno, protože ten někdo si tady naměří tu vzdálenost ke středu. To je ten jeden díl. No a potom už ten díl tady přenese dvakrát. A tady najednou ví, že je co? Vrchol C. Pokračujeme příkladem 17. Máme sestrojit rovnoběžník ABCD. Víme, že přímka p prochází středy protějších stran. Bod F je střed strany BC. A úsečka AF je jednou z výšek. Vy si teď musíte uvědomit, hele, tahle strana AD tady rozhodně takhle nepůjde, protože tohle je výška, to znamená, ono to na ni bude kolmé. Takže vy si uděláte tu úsečku AF, což je ta vaše výška. A teď, protože je to výška k té straně, tak tady musíte udělat kolmici. A já vím, že ta přímka p prochází středy stran. To znamená, odsud je to stejně daleko jako sem. Takže já už teďka vlastně bodnu to kružítko sem, odměřím si, a rovnou vím, že tady je ten vrchol D. A teď už máte vyhráno, protože já vím, že F je taky středem té strany BC. Příklad 18, máme sestrojit kosočtverec ABCD. Bod S je střed souměrnosti toho kosočtverce. To znamená, že ten kosočtverec já můžu podle toho středu překlopit. Protože ty úhlopříčky jsou na sebe kolmé a půlí se, tak já vlastně ten kosočtverec můžu takhle přeložit a ten bod D se mi obtiskne do bodu B a bod C se mi obtiskne do bodu A. Kdo tohle to ví, tak jednoduše si tady takhle naznačí ty úhlopříčky. A teď už vlastně ví, že ten bod A se mu musel přenést do toho bodu C. A teď já dál si pamatuju, že ty úhlopříčky jsou na sebe kolmé. Takže tady takhle udělám kolmici. Protože vím, že vrchol D taky leží na přímce p. To znamená, já teď vím, že vlastně tady musí být ten D. A v tu chvíli už vlastně máme vyhráno, protože víme, že úhlopříčky se taky půlí. To znamená, já když si takhle vynesu tuhle vzdálenost, tak vlastně tady takhle budu mít ten vrchol B. A nyní pokračujeme s příkladem 19 a 20. Máme sestrojit trojúhelník ABC, kde známe délku strany AC 6 cm a délku strany BC 5 cm. To znamená, vy jste si vynesli do kružítka 6 cm z bodu A a 5 cm z bodu B. A v tomto průsečíku zkonstruujete trojúhelník. Bod B' je obrazem bodu B ve středové souměrnosti se středem S. A my máme nalézt ten střed S. Když tenhle bod je obrazem se středem S, tak to funguje tak, že ten obraz, bod B', bude vlastně na přímce od toho středu, ale na druhou stranu ve stejné vzdálenosti. Vidíte, že my už tady máme ten vzor a ten obraz a potřebujeme najít ten střed, no tak to je jednoduché, že jo? Vy jste si řekli, že vlastně tady musíte rozpůlit tuhle úsečku B, B' a pokud se vám to podaří, tak naleznete ten střed S. A teď jste měli v té úloze 19 udělat ten obraz tohohle původního trojúhelníku, takže bod B' máte. Teď potřebuju udělat obraz toho bodu C, tak ten udělám takhle tady, C', a toho A. Druhá část toho příkladu, příklad 20, je o tom, že my máme vlastně sestrojit kružnici opsanou a kružnici vepsanou. Víte, že středem kružnice vepsané je průsečík os úhlů. Takže si teď tady ukážeme jednoduše, jak najdeme osu úhlu. Já chci rozpůlit tento úhel a udělám čáru, která půjde přesně prostředkem. Já si takhle tady udělám pomocný oblouk, který mi vlastně tady vyznačí tyhle dva body, které jsou ve stejné vzdálenosti od toho vrcholu A. A teďka tyhle dva body mi poslouží k tomu, abych já rozpůlil tu vzdálenost mezi nimi. A tahle modrá čára je osa úhlu. Ale abych já našel střed té kružnice vepsané, tak já potřebuji ještě jednu osu úhlu. Takže zopakuju celou operaci ještě jednou. A jejich průsečík je můj střed. A víte, že kružnice opsaná, která prochází vrcholy toho trojúhelníku, tak ta bude mít střed kde? V osách stran. Hele, osa strany prochází středem té strany a je na tu stranu kolmá. A teďka v trojúhelníku ABC sestrojte alespoň jednu těžnici a v trojúhelníku A', B', C' alespoň jednu výšku. Vzpomínáte si, co je to těžnice? Těžnice spojuje střed strany s protilehlým vrcholem. A v tom druhém trojúhelníku mám zkonstruovat alespoň jednu výšku. Ta nejde do středu strany, ale ta výška musí být na tu stranu kolmá. Najděte množinu všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od bodu B a bodu B' a označte ji p. Množina všech bodů, které mají stejnou vzdálenost od bodu B a B', bude co? No, to bude přece přímka, která bude kolmá na tuhle úsečku BB'. Takže vy si spojíte ten bod BB', najdete střed a uděláte kolmici na tu úsečku a ta kolmice je vlastně ta vaše množina všech bodů. Tak, to je z dnešní lekce všechno. Vy, myslím, že jste získali velkou praxi teďka v konstruování těch rovinných útvarů a myslím, že už trošku víte líp, jak zacházet s tím pravítkem, kružítkem, úhloměrem a tak dále. Zopakovali jsme si čtverec, obdélník, trojúhelník a potom samozřejmě ty čtyřúhelníky, což ty hlavní vlastně jsou rovnoběžník, lichoběžník a kosočtverec. To jsou ty hlavní, se kterými se můžete u přijímacích zkoušek setkat. Ale to hlavní, přátelé, co jste si měli odnést, je nějaká ta vaše schopnost přemýšlet nad tím zadáním, rozebrat si to zadání, udělat si nějaký náčrt. Postupně, krok za krokem, jsme si u všech těch úloh ukázali, jak vlastně nad nimi máte přemýšlet. A to je to hlavní, co byste si měli odnést. Další věc, snažte se rýsovat pokud možno pečlivě, tak, aby vám ty průsečíky odpovídaly, natrénujte si obtahování všeho propiskou, nezapomínejte označovat ty útvary a zejména jejich vrcholy. Takže to je pro dnešek všechno. Já doufám, že se vám lekce líbila a že jste se hodně nového naučili, nebo že jste si hlavně spíš hodně zopakovali. A budu se těšit na viděnou zase u příští lekce. Mějte se hezky a nashledanou.