Příklad 5: Osový řez válce a výpočet objemu a rozměrů

V příkladu 5 máme zadán rotační válec, to znamená válec, který má všude stejný průměr. Je to stejný rotační válec. A teď je to důležité slovíčko, jehož osový řez. A já jenom se chci ujistit, že všichni rozumíme tomu, co je osový řez. Představte si, že se díváme na ten válec zhora, tak vlastně vidíme kruh. A kdybychom teďka vzali sekeru a rozsekli ten válec, ze zhora takhle přímo sekerou, kdo z vás štípe možná polínka, tak to zná, tak vlastně dostaneme dvě půlky toho válece. A vlastně tady v tom řezu, který jde právě středem, proto je to osový řez, tak vlastně vznikne tahle rovina, tahle ten obdělník. A to je ten osový řez. Takže myslím, že si to umíte všichni představit. Ještě jednou ukážu. Zkusím tady, že pokud svijdu z toho svého papíru ten válec, takhle, a teď bych ho vlastně rozsekl přesně středem, tak dostanu dvě poloviny. A vznikne mi tam ten obdělník vlastně rovný. Takže to je vlastně on. A to je to, co tady nazývám osový řez. S a ten má, tady když takhle udělám ty vrcholy, ABCD, tak vlastně to je ten obdělník. Tak já ho tady ještě jednou takhle nakreslím, že vlastně se bavíme o obdělníku ABCD. A jeho obsah S je 192 cm2. Tak a vy potom ještě kromě toho víte, že vlastně průměr toho válce D, tak vlastně má nějaký vstak s výškou a víme, že ta výška je vlastně trojnásobek toho průměru. Jo, ta výška je trojnásobek průměru. A váš úkol je určit výšku válce, určit poloměr podstavy, poloměr a objem válce. Tak, jak na to? Kdo mi poradí? Takže ty dvě strany si dáme do průměru. Ty dvě strany? Tak pojďme si to ještě jednou, jako by já možná to nakreslím, aby se mi to, aby se mi do toho hezky kreslilo. Tak tohle to takhle smažu, to nepotřebujeme. A ještě jednou tady nakreslíme ten obdělník, o kterém se vlastně bavíme. A udělám tady vlastně ty jeho dvě strany. Pojďme říct, že tohle to bude třeba strana A a tohle bude strana B toho obdělníků. To je vlastně ta výška a tohle je průměr ty podstavy. A teď mi ještě jednou řekněte, co byste s nima udělali. Že bych to dal do poměru. Do poměru. Tak jo. Tak vlastně my víme, že tohle to je jeden díl a tohle to jsou tří díly. Jo, to asi souhlasíte. Takže můžu napsat, že prostě A kubé v tom poměru je tedy jedna ku třem. No, ale co s tím dál? Obsah tady pořád výšu je 192 cm členečních. Tak. No a to je to 192 vydělíme čtyřmi? No. Tom je právě ten problém. 192 vydělíme čtyřmi. To nemůžeme. A je to vlastně jedna z nejčastějších chyb, která se v tomhle příkladu dělá. Proto jsem vlastně tady s vámi ten příklad chtěl probrat. A to by šlo. Ty díly bychom sčítali, tak jak jste zvyklí, pokud bychom vlastně znali třeba obvod. Jo? Protože vy samozřejmě víte, když už to tady rozeberu, že jo? Že když mám ten obdělníček, mám ho třeba takhle, tohle to je to A a B, tak kdyby třeba obvod, jo, toho obdělníku byl plácnout třeba 60 a bylo to vlastně jeden díl a tři díly, tak víte, že byste vzali polovinu z těch 60, to je 30, to je vlastně délka těch čtyřech dílů a těch třicet byste vydělili čtyřmi a dostali jste ten jeden díl. To by šlo, protože ten obvod vznikl jako součet délek stran. Proto ty díly můžete sčítat. No jo, ale my neznáme obvod, my známe obsah. Jak vznikl obsah, přátelé? Jako? Jak vznikl obsah tohodle obdělníku? O stranách A a B. Jak spočítám obsah obdělníku o stranách A a B? No jasně, jasně. S je A krát B. Tak, to znamená, vy teď víte, že vlastně 192 je A krát B. Jak bude vypadat ta vaše rovnice, ze které to teda spočítáte? No už to je rovnice, ale máte teďka dvě písmenka, že jo? A my využijeme ty poměry, abychom vlastně si to vyjádřili jedním písmenkem. Jak to vyjádřím? Čemu se rovná to B, když to chci nahradit třeba tím Ačkem? 3A. No jasně. Takže přesně tak. Takže ta naše rovnice, ze které spočítáme vlastně délky těch stran, bude A krát 3A. Přesně tak. A krát 3A. Tak, kolik je A krát 3A? 3A na druhou. Výborně. Takže 192 se rovná 3A na druhou. Jo? Tak. Teď vlastně vydělíme tu rovnici obě dvě strany třemi a dostaneme co 64. Je to tak? 63 krát 6, 18, 64. Jo? To znamená dostaneme 64 se rovná A na druhou. No a odmocníme a dostanete, že vlastně A, kdybychom to už nepsal je obráceně, A se rovná 8 cm. Jo? Takže v tu chvíli my vlastně víme, že průměr toho pálce je 8 cm a jeho výška je vlastně 3 krát 8, protože je trojnásobná. Jo? To znamená 24 cm. Jo? A vlastně pokud už chcete odpovědět, takže to Ačko, ta otázka A, byla určité výšku válce, to znamená výška rovná se 24 cm. Bčko. Určité poloměr podstavy, to je vlastně poloměr, je půlka, že jo? R. To znamená R rovná se 4 cm. A pojďme ještě spočítat to C. Tak. Jak spočítám objem válce? Rotačního. Objem tohohle válce je co? Obsah podstavy krát výška. Ano, to je krásný vzorec, já souhlasím. Obsah podstavy krát výška. Vy víte, že podstavou, já jsem to tady měl před chvílí nakresleno, je kruh. To znamená, obsah kruhu je P krát R. Druhou krát výška. Tedy bude ten vzoreček, že jo? Když do toho dosadíme, tak máme P krát R, jsou 4, to jsme si řekli. To znamená, vy počítáte krát 16 a výška je 24. Jo? Výška je 24. 24. A vlastně, teď když už to jenom vynásobíme, tak bychom dostali 1205,8. Jo? Za P jsem dosadil 3,14. Takže to tady ještě napíšu. 3,14 krát 16 krát 24 je 1205,8. Jo? To už si když tak přepočítáte v klidu doma. Tak, centimetru krychlových. Takže to je objem 1205,8 cm. Tak. Ten součin zamotný už není tak důležitý, že jo? To byste zvládli pod sebou na papíru určitě. Ale co je vlastně to nejdůležitější, to, co si z toho musíte potrhnout a odnést, je to, že se vždycky zamyslíte, co vlastně máte zadáno. Jo? A tady jsme měli zadán obsah toho obděleníku. A hned se zamyslím vždycky, jak vlastně mě to číslo, jak vzniklo. Jak vzniklo. A obsah vznikne jako součin těch dvou stran. Ne součet. Proto vlastně, když si tady, to byl takový skvělý nápad, vyjádřím ty díly, že jo? Že tohle je jeden díl a tohle jsou tři díly, tak já vlastně musím ty díly násobit. Násobit. Jo? Proto vlastně, já jsem potřeboval to udělat jako A krát 3A. Ne A plus 3A. To znamená, není to 4A, nýbrž 3A na druhou. Protože se jedná o obsah. Takže nenechte se nachytat, je to ta nejčastější chyba v těchto úlohách z početní geometrie, že vlastně máte nějaký obvod a máte nějaké díly a tam musíte ty díly sečíst. A nebo máte nějaký obsah a máte nějaký díly a ty musíte vynásobit. Tak jenom tohle si prosím pamatujte. Konec. A nebo se tí