Příklad 18: Výpočet poloměru kružnice pomocí tětiv a Pythagorovy věty

V příkladu 18 máme následující zadání. Máme kružnici. A máte tam dva trojuhelníky. Já ho tady dokončím takhle. Tím, že spojím takhle tak. A tady máme druhý. U obou dvou trojuhelníků víme následující informace. Že jsou rovnoramené. To znamená, pokud tady mám 7, tak vlastně tady bude také 7. Pokud tady mám 1, tak tady bude také 1. A vím, že vlastně ty vrcholy, ten a ten, vždycky a ten a ten leží na kružnici. A mám určit poloměr té kružnice. Jenom se zeptám, jestli někoho napadá nějaký nápad. Jak bychom se vlastně k tomu poloměru mohli dostat? Pythágorová věta. Bude tam Pythágorová věta. Já s váma souhlasím. Ale záleží na tom, kde vlastně bude. A ten úpládník s tím největší tady. No, ten tady je. Mě napadlo si udělat, jak jsou tam ty, na toho naručité, sami to od toho udělat osu, tak jak to říct. Rozumím. Po tohle poloměr. A pak, jak bych se udělal, to bych to udělal, až bych měl to. No, ale jak to budeme počítat, jakoby čísly. Geometrický rozum je osu úplů tady, že bych udělal. Pojďme si to probrat ještě úplně jakoby z toho velkého trojuhelníku. Pythágorovou větou, když spočítáme, tak dokážeme říct, že 7 na druhou je 49, 7 na druhou je 49, to je 98. Tahle ta délka téhleté přepony je odmocnina z 98 cm. To mi úplně nepomůže. A nutně vlastně, že tohleto neleží, vlastně jakoby neprondíná střed té kružnice. My trošku jakoby tady to je těžší v tom, že my si musíme vlastně vzpomenout na několik věcí. Když se vás zeptám, když bych takhle třeba, já to pak zase smažu, ale udělám přímku, která mi takhle protne kružnici. Jak se říká té přímce? Sečna. Sečna. Tahle to takhle sekne. Sečna. Kdyby se dotýkala v jednom bodě, tak by to byla tečna. Ale tady máme sečnu. A teďka části té sečny, která vlastně leží takhle uvnitř, ta úsečka, která je daná vlastně těmi krajními body, která leží na kružnici, se říká jak? Vzpomeňte si na lukostře. Tětiva. Tětiva. Správně. Tahle ta část je tětiva. A teďka, já to teda smažu, když už jsme si teďka dali ten úvod do toho, co vlastně je sečna a tětiva. Můžete se být společně vstát o toho důvodníci? Ne nutně. Ne nutně tady. Tady ne. Tady jde o to, že vlastně teďka, pokud vlastně souhlasíme, tak si řekneme, že tohle to je jedna tětiva. Souhlasíte? Tohle je jedna tětiva. Jakou délku má ta tětiva? Kolik centimetrů? Osm. Výborně. A tady takhle je druhá tětiva. Souhlasíte? Ta tětiva je tady. Ta má jakou délku? Taky osm. A teď totiž platí to, že vlastně střed té kružnice leží v čem? V osách tětiv. Co je to osa úsečky? Když bychom si řekli, že máme nějakou úsečku AB, a já jsem po vás chtěl, a to můžeme za chvíli, no moc času na konstrukce dneska my nebudeme, ale když tak příště. A já bych po vás chtěl zkonstruovat osm té úsečky. Co to vlastně je osa té úsečky? To je nějaká si čára, která je v polovině té úsečky, a je jaká? Kolmá. Výborně. To znamená, vy si rozpůlíte tu úsečku a tady takhle uděláte kolmici. Je to osa úsečky. No a tady vlastně v tomhle příkladu je důležité si uvědomit, že vlastně platí, že pokud já vlastně rozdělím tu tětivu, tak vlastně střed té kružnice bude ležet na osách těch tětiv. To znamená, tady je osa jedna, a tady vlastně téhle té tětivy takhle bude osa dvě. Jo? Takhle. Rozumíme všichni, jak jsem se dostal k tomu středu? Vytvořil jsem, nebo představil jsem si osy těch tětiv. OK? Jo nebo ne? Jo? Tady mám tětivu a rozdělil jsem ji na půl, tady mám tětivu a rozdělil jsem ji na půl a představil jsem si osu ty tětivy. OK? Tak. A teď. Když si představíme ten náš poloměr, který hledáme, jo? Tak vlastně, když se podíváme, tak já vlastně uvidím, že ten můj poloměr, když si ho představím třeba takhle sem, takhle sem, jo? Tak vlastně, kolik je délka, já takhle tady umožu tu sedmičku, aby nás to nemátlo a dám ji někam stranu trošku. Takhle tady, já ji tady ani nebudu psát, jo? Víte, že to je stejně dlouhé. Tady je sedm a tady je sedm. Spíš mě zajímá, víte, jaká je délka, zkuste mi zjistit, jaká je délka vlastně poloviny. Tady. Čtyři. Čtyři centimetry. Přesně tak. My víme tuhletu délku čtyři. A dokážete mi říct vlastně, jaká je délka tady? Takhle. Zamyslete se. Celá ta tětiva byla dlouhá, to jste říct. Tři. Tři. Tady bude tři, přesně. Protože celá tětiva je osm, tady je jedna, to znamená, tady vlastně zbývá, tady zbývá, takhle to je čtyři vlastně od toho prostředku, jo? Tady je jedna, takže tady je tři. No. A teď vlastně už všichni vidíte, že ten polovněr té kružnice je vlastně přepona pravouhůlého trojuhelníku, který nám tady vznikl, kde vlastně dvě jeho odvězny mají délku. Jedna má délku čtyři a jedna má délku tři. To znamená, to znamená ten polovněr, r na druhou, je tedy vlastně čtyři na druhou, plus tři na druhou, to znamená šestnáct plus devět, to znamená dvacet pět, a to je r na druhou, tudíž vlastně r je odmocnina z dvaceti pěti, tedy pět centimetrů. Takže vlastně tohle je těžký příklad. Opakuje tu látku o tětivách v kružnici a to, že vlastně, když máte libovolné dvě tětivy, ty tětivy nesmí být rovnoběžné, samozřejmě, ale pokud nejsou rovnoběžné, tak vlastně osy těch tětiv se protínají ve středu kružnice. Zkuste si to skonstruovat na libovolné kružnici doma, že si vezmete dvě tětivy pod libovolným úhlem, zkusíte si najít jejich osy a zjistíte, že průsečíkem je střed té kružnice. Potom vlastně šlo o to si uvědomit, kam vlastně, jak si znázorníme ten pohloměr, abychom vlastně dostali přesně ten pravouhlý trohuhelník. Vlastně je potřeba si uvědomit, co známe a přijít na to, jak dokážeme dopočítat ten poloměr. Takže to je ukázka takového relativně složitého, ne na výpočet, vidíte, že výpočet byl jednoduchý, ale na tu představivost příkladu. Nemyslím si, říkám to rovnou, že takovýhle příklad bude u přijímaček. Na druhou stranu, myslím si, že je užitečné si zopakovat tu látku, kdyby náhodou tam bylo cokoliv, co se týká dětiv, tak už teď víte, co je dětivá, víte, jak souvisí se středem kružnice a máte nějakou představu, jak se dá třeba využít. K tomu je ten příklad užitečný. K tomu je ten příklad.