Příklad 17: Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek

V příkladu 17 máme určit, kolikrát je největší společný dělitel čísla 72 a 56 menší než jejich nejmenší společný násobek. Takže je to takový ten trénink, ten základní na výpočet největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku. V těch dalších slovních úlohách si pak ukážeme, jak se vlastně používá. Tento příklad je hlavně o tom, abyste si potrénovali, jak se počítá a co to je. Takže máme čísla 72 a 56. Máme čísla 72 a 56. Máme určit, začneme třeba tím největším společným dělitel. Tak já to zapíšu, že budu určovat dělitele čísla 56 a čísla 72. Je jedno, v jakém pořadí je napíšu do ty závorky. Tak, jak vlastně, nebo než si řekneme, jak ho najdu, tak si řekneme, co to vlastně je ten největší společný dělitel. Jo? Největší společný dělitel je největší číslo, kterým můžeme vydělit číslo 72 a číslo 56 bez zbytku. Největší možné. Představte si to třeba také tak, že vlastně pokud chcete rozdělit číslo 72 a číslo 56 na stejně velké co největší díly, tak to je ten váš největší společný dělitel. Možná si to třeba představte tak, že byste měli pozemek, a to pak uvidíte nějaké podobné příklady, který by měl jeden rozměr 72 a druhý 56 a otázka by byla, chcete ho ten pozemek třeba oplodit a chcete, aby ty svoubky plotu byly ve stejných, co možná největších zdálenostech. Typický příklad, jo? Tak je jasný, že vlastně my budeme hledat největšího společného dělitele tohodle rozměru a tohodle rozměru, protože vlastně to bude tam zdálenost mezi těmi sloubky, tak aby vlastně na těch obou dvou stranách, které mají různý rozměr, byla stejná. Takže to je největší společný dělitel. Takže teď víme, co to je a řekneme si, jak ho určíme. K tomu největšímu společnému děliteli potřebujeme vlastně rozklad, prvočíselný rozklad těch čísel, ze kterých vlastně toho dělitele určujeme. Tak já tady tohle si takhle umažu, abych tady měl místo a ukážem si ho. Ten prvočíselný rozklad můžete získat různě. Jedna z těch možností jsou takové ty typické stromečky rozpadávající se. Pojďme si to ukázat. Číslo 56 je v sudé, půjde určitě dělit dvěma. Dva je prvočíslo, dvakrát co je 56? Dvakrát 28, že jo? Dvacet osm je 56, zase 28 mohu rozdělit na dvakrát 14, že jo? Dva je prvočíslo, tady je taky prvočíslo, 14 není prvočíslo, dvakrát 7, jo? Je to prvočíslo, je, už dál nedělím, jo? Jakmile teda se vlastně ta moje větev dostane do slavu, že už je tam prvočíslo, tak už dál vlastně nerozděluji, že jo? Protože víme, že prvočíslo je číslo, které je dělitelné pouze jedničkou a samo sebou. Tak, udělám tady ještě tu 72, takže vy jste si takhle vlastně měli dobře. 72 je taky dělitelný dvěma, to je vlastně dvakrát 36. 36 si mohu říct, že je zase dvakrát co 18. 18 si můžu říct, že je dvakrát 9 a 9 vím, že je 3 krát 3. To znamená, je prvočíslo, je, je, je a je. Takže máme ty prvočíselné rozklady. Teď vlastně ty prvočíselné rozklady napíšeme pod sebe. Tak já je tady napíšu, no? 2 x 2 x 2 x 7, to je to číslo 56. A pod to tady takhle napíšu rozklad toho čísla 72. To je 2 x 2 x 2 x 3 x 3. Tak, a teď když máte ty dva prvočíselné rozklady. Tak, my jsme si před chvílí říkali, že největší společný dělitel je vlastně největší číslo, kterým můžeme bez zbytku vydělit číslo 72 a číslo 56. Z toho principu vlastně plyné, že pokud já si označím všechna prvočísla, která jsou v obou dvou těch prvočíselných rozkladech, to znamená, určitě je tam prvočíslo 2, je tam ještě jednou prvočíslo 2 v obou dvou a je tam ještě jednou prvočíslo 2 v obou dvou. A prvočíslo 7 je jenom v jednom a prvočísla 3 a 3 jsou taky jenom v jednom. To znamená, rozhodně v tom našem děliteli nebude sedmička, protože tohleto druhé číslo nejde dělit sedmi. Vidíte, že vlastně 72 nemá nikde v tom prvočíselném rozkladu sedmičku. Jo, nejde. A úplně stejně zase platí, že vlastně číslo 56 nejde dělit trojkou. Jo, nejde dělit trojkou. Nemá to v tom prvočíselném rozkladu. To znamená, tyhle ty čísla, tyhle prvočísla, nemohou být součástí vlastně největšího společného dělitele. Nemůžou. Jo? Mohou tam být jenom ty, které jsou v obou dvou. No takže já teď vlastně, protože jsou v obou dvou, tak vlastně platí, že tam beru tuhle dvojku krát. Takže rozhodně tou obě dvě čísla dělit dvojku. To jo. Půjdou taky dělit, že jo, čtyřkou, protože vlastně ty dvojky tam jsou dvakrát, ale půjdou taky vlastně dělit osmičkou, že jo? Protože vlastně ty dvojky tam jsou třikrát. Zouhlasíte? To znamená, dvakrát dvě jsou čtyřikrát dvě a odsum. To znamená, největší společný dělitel čísla 72 a 56 je číslo 8. Jo? Nenajdete žádné větší číslo, který byste ve zbytku mohli vydělit 72 a 56. Tak. Takže to je ten největší společný dělitel. No. A teď si vlastně ukážem ještě ten, protože my máme určit, co, kolikrát je větší, největší společný dělitel a největší společný, jo, kolikrát je větší společný dělitel, samozřejmě menší, že jo, než nejmenší společný násobek. To znamená, my teď potřebujeme určit ten nejmenší společný násobek. Už v podstatě máme skoro hotové, jo? Jenom ten určení toho násobku se bude lišit. Hele, já tady smažu ty rozklady, abych tady měl místo a ukážu si ten násobek. Pro ten násobek vlastně budeme, nebo potřebujeme ty samé rozklady. To znamená, já už je tady mám, jo, já už je tady mám. Ale napíšu tady znova, budu chtít násobek, to znamená nejmenší společný násobek, čísla 56 a 72. A zase opíšu si ty prvočíselné rozklady. 2 x 2 x 2 x 7 a to bylo to číslo 56 a 2 x 2 x 2 x 3 x 3 to je to číslo 72. Jo, vidíte, že je ten úplně stejný ten postup, jo? A teďka, co je to ten nejmenší společný násobek? To je vlastně nejmenší možné číslo, které můžete bez zbytku vydělit čísli 56 nebo 72. Jo, ještě jednou zopakuju. Co je nejmenší společný násobek tyhle těch dvou čísel? To je číslo, které můžete bez zbytku vydělit čísli 56 a 72. Stejně, jako jsme si tady ukazovali tu představu, k čemu je dělitel, když jsme rozdělovali ten pozemek na stejně vlastně velké vzdálenosti, abychom tam mohli dát i sloupky, tak u násobku si to představte tak, že vlastně, když budete mít tu vzdálenost 56 a tu vzdálenost 72, která je delší, tak vlastně představte si, že těch 56 takhle budete opakovat. Tady budete opakovat 72. A vlastně v určitou chvíli, mi to nevíde, udělám to tady takhle, tak jo, v určitou chvíli, aby to bylo pěkně v prostředku, tak v určitou chvíli se vám stane, že vlastně to opakování po 56, 56, 56, 56 a 56 a 72, 72, 72, takže vám vlastně ty vzdálenosti, ten součet výjde stejný, výjde stejné číslo. Po prvním to nevíde, že jo, tady je 72, tady je teprve 56. Po dvou, že jo, tady vlastně, když vezmeme dva, tak vlastně tady je 112, a tady je buď 72, anebo 644, že jo. Takže vidíte, že to nevychází, ale vlastně v tu chvíli, kde to výjde, tak vlastně to je, kde to výjde poprvé, tak je to vlastně nejmenší společný násobek. Vidíte, že to je společný násobek, že jo. A když se to stane poprvé, tak je to vlastně nejmenší společný násobek. To znamená, tohleto číslo, tuhletu vzdálenost, můžete bez zbytku vydělit 72 i 56. Jo, tak to je vlastně ta představa toho násobku. No, a teď, když už víme, co je ten násobek, tak vlastně si musíme ještě říct, jak ho určíme, jo. Určíme ho úplně podobně. Zase je potřeba si vlastně uvědomit, co to je, že jo. Je to to nejmenší číslo, které jde bez zbytku vydělit 56 i 72. Nejmenší. Kdybychom spočítali násobek, normální násobek, tak můžeme udělat třeba 56 x 72. A to by bylo 2 x 2 x 2 x 7 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3. Zkuste si to nakalbulej se. To je 56 x 72. To je rozhodně násobek, ale není nejmenší. A ten nejmenší se z něj stane tak, že vlastně z toho součinu všech těchto těch prvočísel, my úplně stejně si spojíme ty, která jsou v obou dvou prvočíselných rozkladech. A ty vlastně do toho našeho násobku dáme jenom jednou. Tím jsme vlastně z toho násobku 56 x 72 udělali nejmenší. Protože ty prvočísla, která jsou v obou dvou, tak jsme tam dali jenom jednou. Zkuste se nad tím zamyslet. To znamená, ten násobek bude obsahovat vlastně ty čísla, prvočísla 2, z těchto těch dvou zase 2, z těchto těch dvojice zase 2. Ale protože to musí být násobek, tak vlastně tam musí být všechna další prvočísla, která se nespojila, která se nezmenšila. To znamená, bude tam tahle ta sedmička, bude tam tahle trojka a bude tam tahle trojka. Takže když to teďka vynásobíme, tak dostaneme vlastně 504. Já to teď nebudu takhle rychle násobit, dostanete 504. Takže 504 je nejmenší společný násobek tyhle těch dvou čísel, kdež to 8 je největší společný dělita. Tak a my jsme měli určit, kolikrát je ten dělitel menší. To znamená, nám už stačí udělat jen 504 děleno 8 a dostanete 63. Takže 63 krát je vlastně ten dělitel menší než násobek. To už je detail. Celý ten příklad byl o tom, že jsme si vlastně zopakovali, co to je ten dělitel, jak se spočítá, jak vlastně vznikne a k čemu se používá. Úplně stejně pro ten násobek. Co to je, jak vlastně vznikne a k čemu se používá. Takže to je příklad 17. to vlastně použití toho násobkové dělitele, tak to potom je prostě ukázáno v těch následujících slovních úlohách.