Práce s daty a logika
Kombinatorické úlohy
Logická úloha s mincemi: Jak najít vždy obsazená políčka
1 Zadání příkladu
Zadání příkladu:
Příklad 20 Kupec se nudí a má 8 zlaťáků, které vyskládává na stůl, kde má nakreslených 11 čtverců tak, jako na obrázku níže. Zlaťáky vždy vyskládává tak, že všech 8 zlaťáků je položených hned vedle sebe. Urči, kolik je políček, ve kterých jsme si jisti, že vždy musí být položena mince.
Zobrazit zadání jako přístupný text
Velikost písma:
Příklad 20
Kupec se nudí a má 8 zlaťáků, které vyskládává na stůl, kde má nakreslených 11 čtverců tak, jako na obrázku níže.
Zlaťáky vždy vyskládává tak, že všech 8 zlaťáků je položených hned vedle sebe.
Urči, kolik je políček, ve kterých jsme si jisti, že vždy musí být položena mince.
Kupec se nudí a má 8 zlaťáků, které vyskládává na stůl, kde má nakreslených 11 čtverců tak, jako na obrázku níže.
Zlaťáky vždy vyskládává tak, že všech 8 zlaťáků je položených hned vedle sebe.
Urči, kolik je políček, ve kterých jsme si jisti, že vždy musí být položena mince.
2 Video řešení s lektorem
3
Správný výsledek
Zobrazit výsledek ▾
Skrýt výsledek ▴
4 Jak ti to šlo?
Ohodnoť, jak ti šel tento příklad. Uloží se ti do tvojí osobní historie pro opakování:
✅ Uloženo!
📊 Spočítáno: 0 / 248
Hodnocení můžeš kdykoliv změnit opětovným kliknutím.
5 Vysvětlení a postup výpočtu
Tento typ logických úloh prověřuje schopnost žáků pracovat s kombinacemi a systematicky uvažovat. Úkolem je zjistit, která políčka budou zaručeně obsazena 8 zlaťáky, pokud je kupec vyskládá v souvislé řadě do 11 připravených čtverců. Klíčem k řešení je uvědomit si, že zlaťáky lze posouvat zleva doprava a sledovat, kde se jednotlivé možnosti překrývají.
Nejjednodušší postup spočívá v porovnání dvou krajních situací. V první možnosti umístíme 8 zlaťáků od prvního políčka (obsadí pole 1 až 8). V poslední možnosti je posuneme zcela doprava (obsadí pole 4 až 11). Všechny ostatní varianty leží mezi těmito dvěma extrémy. Políčka, která jsou společná pro obě krajní pozice – tedy čtvrté až osmé políčko –, musí obsahovat zlaťák v každém možném uspořádání.
Matematicky můžeme úlohu vyřešit také přes počet volných míst. Celkem máme 11 čtverců a 8 zlaťáků, což znamená, že 3 pole zůstanou vždy neobsazená (11 - 8 = 3). Tato 3 volná pole mohou ležit na začátku, na konci nebo se rozdělit mezi obě strany. Výsledkem je, že 5 prostředních políček (8 zlaťáků mínus 3 volná místa) bude mince obsahovat vždy.
Nejjednodušší postup spočívá v porovnání dvou krajních situací. V první možnosti umístíme 8 zlaťáků od prvního políčka (obsadí pole 1 až 8). V poslední možnosti je posuneme zcela doprava (obsadí pole 4 až 11). Všechny ostatní varianty leží mezi těmito dvěma extrémy. Políčka, která jsou společná pro obě krajní pozice – tedy čtvrté až osmé políčko –, musí obsahovat zlaťák v každém možném uspořádání.
Matematicky můžeme úlohu vyřešit také přes počet volných míst. Celkem máme 11 čtverců a 8 zlaťáků, což znamená, že 3 pole zůstanou vždy neobsazená (11 - 8 = 3). Tato 3 volná pole mohou ležit na začátku, na konci nebo se rozdělit mezi obě strany. Výsledkem je, že 5 prostředních políček (8 zlaťáků mínus 3 volná místa) bude mince obsahovat vždy.
6
Přepis výkladu lektora
Zobrazit přepis ▾
Skrýt přepis ▴
Takže v příkladu 20. Kupec se nudí a má 8 zlatáků. Můžeš říct, kde? Můžeš. Bude na šestým, na sedmým, na osmým a na pátým a na čtvrtým. Vždycky, přesně tak. Ano. To jsou vlastně ty čtverečky, kde ty zlatáky budou vždycky. Protože my máme vlastně 11 čvrců a 8 zlatáků. Já jenom budu demonstrovat, jak jsme vlastně na to, jak je ta logická umaha. Vždycky ty zlatáky skládá za sebou. Nemůže přeskočit, vynechat čtvrtým. Tak když začne tady, tak vlastně první možnost má, že skládá takhle. A skončí tady. Další možnost má, že skončí takhle, že začne u druhého. A vlastně skončí takhle o jednu dál. Třetí může začít takhle tady. Já se budu snažit držet pořád ty sloupečky v těch čtverečcích. Takhle. A skončil tady. A potom vlastně ještě má tu možnost, že bych začal až tady. A vlastně zlaták by byl tady, tady, tady, tady, tady. A teď jsem vlastně u té poslední. A vlastně vy vidíte, že ty pole, kde se v libovolné z těchto verzí, ať už začnu od téhle konce, ať ten kupec začne ty zlaták se dávat od tohohle konce, nebo od tohohle konce, tak vlastně tady na tom políčku ten zlaták být nemusí někdy. Tady taky nemusí být. Tady taky nemusí být. Ale vlastně tady už nám začíná to místo, kde ten zlaták je ve všech těch možnostech. A úplně stejné je to zase od konce. To znamená vlastně zde, takhle, my máme přesně, jak si říkal, políčko 4, 5, 6, 7 a 8, které jsou obsazeny ve všech těch možnostech. Jo? Jinými slovy, pokud mám 11 čtverečků, na které dávám vlastně za sebou 8 zlatáků, tak vlastně budu mít těch 8 minus vlastně 3. Jo? 11 minus 8 jsou 3, takže vlastně vždycky 3 pole zůstanou volná. A protože ty zlatáků dávám za sebou, tak vlastně ty 3 pole budou od začátku, anebo od konce. Vždycky neobsazená. Jo? Jedno z nich. To znamená, těch 5 mezi musí být vždycky obsazeno. Tak výborně. Tak výborně kři půjčku. Titulky vytvořil JohnyX. Tak výborně. Titulky vytvořil JohnyX. Titulky vytvořil JohnyX. Titulky vytvořil JohnyX. Titulky vytvořil JohnyX. Titulky vytvořil JohnyX. Titulky vytvořil JohnyX. Titulky vytvořil JohnyX. Titulky vytvořil JohnyX. Titulky vytvořil JohnyX. Titulky vytvořil JohnyX. Titulky vytvořil JohnyX.