Zlomky, úpravy a výpočty

V této mikrolekci ukážeme úpravy zlomků. Zlomky jsou jednou z největších částí přijímací zkoušky z matematiky v testech CERMAT. Tedy je potřeba je zvládnout. Zlomky se objevují v každém z testů, nebo se zatím vždy objevily v každém z testů, a je to taková vaše jistota. To znamená, že je to něco, co chcete zvládnout bez chyby. Pojďme si ukázat, jak by měla vypadat taková úprava, jak vy nad tím přemýšlíte, jak to zapíšete tak, aby v tom vašem odpovědním archu, do kterého zapisujete ty odpovědi v testech CERMAT, bylo všechno tak, jak má být.Tedy vidíme, že tady máme nějaké zlomky, celá čísla, ale pozor, máme tady kromě sčítání a odčítání také dělení. Tentokrát tady nejsou žádné závorky v tomto příkladu. Vy víte, že násobení a dělení má přednost před sčítáním a odčítáním, tedy vy nejdříve vydělíte zde a vydělíte zde, a teprve výsledky toho dělení potom přičtete k té jedničce a respektive tento výsledek pak odečtete. Takže zkusíme to a řekneme si, jak vlastně máte uvažovat. Vidím jedničku, ale počítám zlomky, představím si ji jako jedna jednina. Určitě znáte. Teď jsme si řekli, že tohle je vlastně naše první priorita, první část, kterou si spočítáme. Tedy tu jedničku já opíšu zatím jako tu jednu jedninu, ta počká. No a mám tady tedy plus 5/3 a nyní máme děleno deseti. Tak, další věc, zase těch deset si napíši jako 10/1 a vím, že dělení zlomků vlastně se dělá tak, dva zlomky dělíme tak, že tento první zlomek vynásobíme tím druhým, ale převráceným. Zopakuju ještě jednou, dva zlomky vydělíme tak, že změním tady to dělení na násobení a tento zlomek převrátím. Tedy opsal jsem ten první, a přesně jak říkám, tady bude potom násobení a tady bude převrácený zlomek z jednin na jednu desetinu. Opíši mínus, tu jedničku už si zase zapíšu jako zlomek, to znamená opět jednu jedninu. A zopakuji to samé, co jsem říkal, tady bude krát a bude převrácený zlomek 5/3. Tak, nyní k tomu násobení. Další pravidlo, které budete mít vždy v hlavě, je, že než vynásobíte zlomky, přesvědčíte se, zda není možné je vykrátit. Krátit můžeme takto svisle, tzn. díváme se, jestli ten zlomek nejde vykrátit čitatel proti jmenovateli a samozřejmě kontroluji, zda mohu vykrátit takto křížem. Tak, a tady je vidět, že mohu vykrátit tu pětku s desítkou. Pozor, abych mohl krátit takto křížem, tak mezi těmi zlomky musí být krát. Pokud tam je plus, tak to nejde. Tak, tedy pětku s desítkou. A teď ten zápis toho krácení, prosím, takhle přeškrtněte to jednou, tak aby bylo vidět původní číslo a nad to napište novou hodnotu po vykrácení. Samozřejmě vy víte, že v odpovědních arších, tak jak budete v testech CERMAT zapisovat vaše řešení, tak vy zapisujete postup úpravy zlomků. To znamená, že bude tady jednička a zapíšete dvojku, čitelně. A nyní už nám nebrání nic, já budu pokračovat na dalším řádku, už nám nebrání provést součiny, to násobení. Tedy opíšu tu jednu jedninu, ta počká, a vynásobím jedna krát jedna je jedna, tedy mám jedna, a tři krát dva je šest, mínus, jedna krát pět je pět, a jedna krát tři jsou tři, to znamená, mám pět třetin. Tak, další věc. Teď se často setkávám, i tento týden jsem to viděl opět v kurzu, že když máte tři zlomky a máte je třeba sečíst nebo odečíst, tak vlastně to děláte po dvou. Že si vždycky prostě sečtete dva, a když máte tu hodnotu, tak k tomu pak přičtete ten třetí a děláte to takhle jako po částech. Je to úplně zbytečné. Představte si, že byste těch zlomků měli šest, tak byste to dělali takhle jako postupně dlouho, a vlastně všechny ty zlomky sečtete nebo odečtete na jedné společné zlomkové čáře. Všechny ty zlomky musíte rozšířit na stejného společného jmenovatele. Víme všichni, že zlomky můžeme sčítat nebo odčítat, pokud mají stejného jmenovatele, stejný základ. Tedy tady vidíme 1, 6 a 3, pro tyto tři čísla vy hledáte co? Hledáte nejmenší společný násobek, nebo jinými slovy, řekl bych, řekněte si v hlavě, je to číslo, které, pokud možno co nejmenší, které mohu bez zbytku vydělit jedničkou, šestkou a trojkou. Které to je? Šestka. Správně. Tedy šest je náš společný jmenovatel. Tady šestka není, tedy tento zlomek musíme rozšířit tak, aby tady šestku měl. Jo? Je to zlomek jedna jednina, tedy jedna. Jak zapíšeme, a píšeme zlomek jedna jednina, aby měl dole šestku. No, rozšíříme ho, tedy vynásobíme čitatele i jmenovatele šestkou. Vlastně rychle, když to budete trénovat, tak si vždycky řekněte, jo, zkuste to teďka zopakovat po mně. Šest děleno tím dole, takže šest děleno jednou je šest, krát to nahoře je šest. To znamená, samozřejmě šest šestin je to samé jako jedna. 6/6 je 1, krát 1 je 1, takže zde máme 1. 6/3 jsou 2, krát 5 je -10. Tak, takže vidíte, že jsem rozšířil všechny ty zlomky. Ještě jednou vysvětlím, 1/1 je 6/6, 1/6 je, to zůstala jedna šestina, protože tam už ta šestka byla, a 5/3 je 10/6, že jo, dvakrát se to rozšířilo, aby byla tohle šestka. Doufám, že je to jasné. Tak, a tedy máte 7 - 10, máte -3/6. Tak, to bychom mohli považovat za výsledek, nicméně pozor, ve všech testech CERMAT zatím vždy bylo u přijímacích zkoušek požadováno uvést ten výsledek v základním tvaru. Co je to základní tvar zlomku? No je to tvar, který už se nedá dál krátit. Co to znamená? Že nedokážu najít stejné číslo, kterým bych mohl vydělit to číslo nahoře, toho čitatele i toho jmenovatele bez zbytku. A to tady, takové číslo existuje. Vy samozřejmě vidíte, že když vydělím trojkou čitatele i jmenovatele, tak dostanu mínus jedna polovina, což je ten výsledek toho našeho konání, toho našeho počítání, naší úpravy tohoto příkladu se zlomky. Teď jsem byl trochu rozvláčný, ale zkusil jsem ukázat, jak nad tím příkladem přemýšlet a jak ho vzorově do odpovědních archů v testech přijímacích zkoušek napsat. Tak, přátelé, pokračujeme v naší mikrolekci na zlomky. Na rozdíl od minulého příkladu, kde závorky nebyly, tak tady vidíme, že závorku máme. Co nám ta závorka říká? Říká "spočítej mě jako první". Tedy to násobení musí počkat až poté, co budeme znát hodnotu té závorky. Samozřejmě někteří z vás si mohou říct, že můžeme roznásobit, což samozřejmě můžeme, ale do toho bych se nepouštěl. Přijde mi to zbytečné to násobit, jednodušší bude to asi sečíst a potom vynásobit. I když možná mi tady napovídá, nebo si napovídám, že i to roznásobení by možná nebyl až tak špatný nápad, protože vidím, že tady by se mi hodně pokrátila ta čísla. Rozhodně za domácí úkol si to můžete zkusit, ale já teď budu postupovat takovou tou klasickou cestou, tedy tyhle dvě čísla si nejdříve sečtu. Tedy máme co? Chceme najít společný jmenovatel čísla 21 a 14, což bude číslo jaké? Číslo 42. Tedy společný jmenovatel bude 42, a ono je vidět, že ten příklad je připraven tak, že se nám pak těch 42 hezky vykrátí. Ty příklady v těch testech jsou tak připraveny, že to na sebe hezky navazuje a když něco uděláte správně, tak vás ten příklad odmění tou jednoduchostí. Naopak, pokud píšete ten test a ten příklad vás spíš trestá, že se to stává těžším a těžším, tak jste někde udělali chybu. Většinou ty příklady jsou vymyšleny velice dobře. Máme 42 společný jmenovatel, já jsem vysvětloval, co to znamená. Tedy děleno 21 jsou 2, krát -5 je -10. Tedy víme, že -10/42 je to samé jako -5/21. Tedy tady máme 14, 42/14 tedy jsou 3, krát 3 je 9. Máme tedy +9 a zde máme tu naši 42/5. Už je vidět, že řešení je téměř na dosah, 42 a 42 se nám pokrátí. A přepíšeme si to tedy na -10 + 9, máme -1/1, a zde máme 1/5. Tak to byl velice jednoduchý příklad. Pokračujeme na dalším řádku. 1 × 1 = -1 a 1 × 5 = 5. Tedy výsledkem příkladu je 1/5, respektive -1/5. Takže jsme si ukázali řešení příkladu se zlomky se závorkou. V příkladu 3 naší mikrolekce vidíme další typ příkladu, tak jak se objevuje u přijímacích zkoušek CERMAT, a to tak, že máme závorku a teď je tady děleno, ale není tady zlomek, ale je tady celé číslo. Zase někdy to studenty trošku znervózní, jak vlastně to vyřešit. Máme tady krát, tady máme děleno, rovnou si to zapíšeme jako dvě jedniny, tím se nám ten příklad stane trošku přátelštější, protože už máme všude zlomky. Opět platí to, co jsme si řekli u minulého příkladu. Nejprve v té závorce provedeme rozdíl, odečteme ty dva zlomky a potom můžeme vydělit tu závorku a vynásobit těmi 10/13. 10/13 v této chvíli opíši a bude tady krát. Vytvořím si zase společný jmenovatel desítky a osmičky, což bude číslo 40. Rozšířím oba dva zlomky na čtyřicítku, tedy 40/10 jsou 4 x 7 je 28, mínus 40/8 je 5 x 3 je 15, budu mít tedy 15. A toto číslo pak se dělí také, já to zatím opíšu dvěma jedninami, a nebo už jsem mohl rovnou napsat co, krát jedna polovina. To jsem mohl. Tak, to znamená, já mám 10/13 krát odečtu 28 - 15 je 13. Vidíte, jak už jsme si říkali, že nás ty příklady odmění, když počítáme správně, to znamená, že budeme moct výrazně krátit. Budeme mít krát a tady budeme mít jedna polovina, což už je to děleno dvěma jedninami. Samozřejmě nebudu teď tady tvořit nějakých 130 a tady něco dalšího obrovského. Těch třináct a třináct si pokrátíme. A pokrátíme si co ještě? Pokrátíme si deset a čtyřicet. Tedy tady bude jedna a tady bude čtyřka. No, nic víc už tady pokrátit nejde. A velice se nám to zjednodušilo. Vidíme, že jedna krát jedna krát jedna je jedna. A jedna krát čtyři krát dva je osm. Dostali jsme výsledek tohoto příkladu jako jedna osmina. Takže vidíte, že ty postupy jsou velice podobné a jediné, co potřebujete, je dodržovat to, že závorku počítáte jako první, potom násobíte nebo dělíte a teprve naposledy sčítáte nebo odčítáte. Pokud sčítáte nebo odčítáte, tak rozšiřujete ty zlomky na společný jmenovatel a naposledy krátíte tam, kde to lze. Zkoušíte krátit co nejvíce, protože čím víc vykrátíte, tím menší čísla dostanete a tím lépe se vám s nimi bude počítat. A taková nápověda pro váš dobrý pocit během té úpravy, když vás ten příklad odměňuje tím, že se vám ta čísla hezky krátí, tak pravděpodobně počítáte správně, že ty příklady jsou vymyšleny velice chytře. Takže to byl příklad 3 naší mikrolekce zlomků. Příklad 4 našeho mikrokurzu o zlomcích, máme jiný případ, kde máme závorku děleno závorkou. V těch závorkách jsou zlomky. My si spočítáme hodnotu každé z těch závorek a pak je vydělíme. V té závorce víme, že násobení má přednost před odčítáním, nebo sčítáním, pokud by tady bylo. Tedy opíšeme si tu závorku a tu dvojku a provedeme násobení. Než budu násobit, podívám se, jestli bych nemohl něco zkrátit. Můžu, když se tady dívám, šestku a trojku, můžu zkrátit třemi, to znamená, tady budu mít dva a tady jedna. Nic víc už se zkrátit nedá teďka, to znamená, budu mít čitatel krát čitatel, dva krát čtyři je osm, to znamená, budu mít -8, a pět krát jedna je pět, to znamená, mám osm pětin. Zde budu mít děleno a zde si spočítám ten rozdíl. Pozor, tady se nesmí nic krátit, ono to ani nejde tady, ale pokud mám mezi zlomky plus nebo mínus, tak nesmím mezi nimi takhle křížem krátit. To mohu pouze pokud je tam krát, to víte všichni. To znamená, zde si zapíšu 20 jako společný násobek pětky a čtyřky, tedy jejich společný jmenovatel, děleno pěti jsou čtyři. Krát sedm mám 28, mínus 20/4 je 5, a 5 krát sedm je 35. Takže mám 35. Tak je to tak. Píši rovná se. Nyní spočítám tento rozdíl zde v závorce. To znamená, tu dvojku si zapíšu jako dvě jedniny, abyste hezky viděli, že ve jmenovateli máte jedničku a pětku. To znamená, že společný jmenovatel váš bude 5. 5/1 je 5, krát 2 je 10. To znamená, že jste zapsali ty dvě jedniny jako 10 pětin. Mínus 10 a 5, děleno 5 je 1, krát 8 je 8. Takže tam ten zlomek opíšete, protože vidíte, že ten jmenovatel je stejný. No a zde už napíšeme krát. Víme, že v čitateli budeme mít to, co je tady ve jmenovateli, protože my víme, že dělíme tak zlomky, že násobíme zlomkem převráceným. To znamená, tento zlomek já teď převrátím, takže vidíte, že to, co bylo ve jmenovateli, tedy dole, bude nahoře, to znamená, bude 20, a 28 - 35 je -7. To znamená, já si to teďka tady, já tu -7 napíšu sem, jo, abych tam nemusel dělat tu závorku, a nebo, aby to bylo ještě tady hezčí, tak já to zapíšu, ono je jedno, kde to mínus je, ale bude to tedy -20 a tady mám těch sedm takhle. Tak, takže jsem to přepsal takhle. Je to jedno, ale takhle si myslím, že trošku někdy vím, že studenty trápí, když mají prostě to mínus v tom jmenovateli. Což nemusí, ale je to takhle asi snadnější. To znamená, provedu zde rozdíl, mám 10 - 8, to znamená dvě pětiny. A mám tedy krát, a abych oddělil tady znamínka, tak se tam nechá ta závorka, a mám tedy 20/7. Tak, než budu násobit, tak provedu to vykrácení křížem. Tady je krát, tady mohu, to znamená 1 a 4, to je vše. A tedy vidím, že mám kladné krát záporné, tedy napíši si mínus, 2 x 4 je 8, 1 x 7 je 7. To znamená správný výsledek našeho příkladu 4 je -8/7. Pokud jste zvládli sami, jste na dobré cestě. Gratuluju, je to dobré. Tak a máme tady poslední pátý příklad našeho mikrokurzu na zlomky. Vidíte, že tentokrát ten příklad, když ho někdy vidí studenti, zdá se jim takový divný. Proč? No, protože máme zlomky. Máme desetinná čísla ve zlomcích. Máme je tady v čitateli, v čitateli i zde ve jmenovateli. Já takovou udělám odsuvku od zlomků, dám si třeba 1,5 lomeno 3,2. Se nemusíte bát, protože vy vždycky víte, že jste schopni si ta desetinná čísla převést na čísla celá v těch zlomcích. Jak? Tak, že rozšíříte ten zlomek takovým počtem řádů, který potřebujete. Ale pozor, pokud mluvím o rozšiřování, tak to znamená, že ten zlomek násobíme, ale musí to být stejné číslo v čitateli i ve jmenovateli, tedy násobíme to de facto jedničkou. Tady to vynásobíme deseti desetinami a náhle z toho máme krásný zlomek 15/32, se kterým umíte pracovat. Dám jiný příklad, třeba budu mít 1,44/1,2. V takovém případě, aby se mi s ním dobře pracovalo, co mohu udělat? Rozšířím ho, tedy vynásobím opět jedničkou, ale vyjádřenou jako 100 setin. Tedy 1,44 x 100 = 144 a 1,2 x 100 = 120. To znamená, vidíte, že nyní už to můžete krátit a tak dále, daleko lépe se vám s tím pracuje, než když jste měli ten zlomek s desetinnými čísly. Takže to je taková ta hlavní rada k příkladům. Pokud v letošním testu k přijímacím zkouškám z CERMATu budete mít desetinná čísla ve zlomku, rozšiřte si ten daný zlomek desítkou nebo stovkou, to by mělo stačit, si myslím. Pokud byste měli tři řády, tak tisícem. Tisíci. Když se podíváme tady, tak máme dvě možnosti. Buď bychom si to mohli začít takhle rozšiřovat, a nebo si ukážeme ještě jiný způsob. Když se dívám na ten příklad, tak vidím, že tady je plus a tady je krát. To znamená, že já bych začal nejdříve řešit to krát, protože má přednost. Těch 180 si mohu zapsat jako 180 jednin. V tu chvíli už vidíme, že křížem takhle mohu krátit, tedy tady budu mít jedničku a tady budu mít takhle osmnáctku. To znamená, že v tu chvíli je možné asi i dobré si rozšířit tento první zlomek. Takže budu mít 1,44 lomeno 0,01. Tady budu mít krát 100 a krát 100, tedy násobím jedničkou, plus. A zde mám jednu setinu, už to nemusím psát ve zlomku, protože tady jsou všude ve jmenovateli jedničky. Takže mám setinu krát osmnáct. A tedy už jsme téměř na dosah toho vítězství. Vy podle tohoto vzoru vidíte, že zde bude sto čtyřicet čtyři... jedním jsem chtěl napsat, že jedna setina krát sto nám dá tu jedničku, a zde tedy máme 18 krát jednu setinu. Tedy máme 18 setin. To znamená, my budeme mít 18 setin. Takhle. V tu chvíli už vlastně pouze sečteme, to znamená, zde máme 144 + 18 setin, tedy máme 144,18. Můžeme podtrhnout a máme výsledek příkladu. To znamená, pokud příklady budou s desetinnými čísly u přijímacích zkoušek ve zlomcích, nebojte se toho, asi nejlepší máte rozšířit si ten zlomek, tak, abyste se těch desetinných čísel zbavili. To je poslední příklad tohoto mikrokurzu na zlomky. Pokud chcete pokračovat ve složených zlomcích, tak máme mikrokurs na složené zlomky. Pokud chcete víc zlomků, víc vysvětlování, víc společného počítání, spoustu zlomků najdete buď v našem opakovacím kurzu pro 6. a 7. třídu, nebo opakovací kurz, ono to je pro 8. třídu, ale je to opakovací kurz matematiky 6. a 7. třídy, tam počítáme zlomky po mnoho hodin, nebo potom v 9. třídě v přípravném kurzu komplet najdete také celé lekce zlomků. Takže přeju hodně štěstí, ať se vám příprava daří.