Složené zlomky, úpravy a výpočty

Dobrý den, já vás zdravím u dalšího mikrokurzu. Tento mikrokurz se bude věnovat složeným zlomkům. Složené zlomky jsou takové zlomky, kde máme nějaké zlomky v čitateli tohohle velkého zlomku a zlomky ve jmenovateli. Určitě jste si všimli, že v testech Cermat se složené zlomky objevují často, jsou téměř v každém testu, proto je jejich správné řešení důležité pro váš úspěch. Tedy, jak řešíme ty složené zlomky, aby nám výsledek vyšel správně, rychle a bez problémů? Vy se na ten příklad můžete dívat jako na dva příklady, které na začátku budeme řešit, jeden tady v čitateli a jeden tady ve jmenovateli tohohle zlomku. Až budeme mít výsledek, tedy zlomek v čitateli a zlomek ve jmenovateli, tak si vzpomeneme na to, že zlomek je jen jinak zapsané dělení a ty dva zlomky vydělíme. A tím se tedy zbavíme potom nakonec této poslední zlomkové čáry. Takže jdeme na to. Zlomkovou čáru si opíšu. Tady vidím, že mám součet. Vidíte, že je to past. Kdo z vás by chtěl krátit, tak to nejde. Už jsme si vysvětlovali. Je potřeba rozumět, že pokud je mezi zlomky plus nebo minus, nemůžeme krátit, ale musíme oba dva zlomky převést na společného jmenovatele. To znamená pro čtyřku a trojku je to dvanáctka, a máme dvanáct děleno čtyřmi jsou tři, krát tři je devět. Tedy znovu opakuji, zlomek tři čtvrtiny je tentýž zlomek jako zlomek devět dvanáctin. Devět dvanáctin je pouze rozšíření těch tří čtvrtin. A tedy úplně stejně rozšířím čtyři třetiny. Tady zase si řeknu 12 děleno třemi je 4 x 4 je 16. Tedy zase tvrdím, že 16/12 je tentýž zlomek jako čtyři třetiny. Ale už teď je mohu sečíst, protože oba dva mají společný jmenovatel, tedy 12. Kdežto zde, tady vidíme, že je krát a mohu postupovat jinak. Víme, že násobíme zlomky, takže násobíme čitatel x čitatel, jmenovatel x jmenovatel. Ale než to provedu, tak se podívám, jestli můžu krátit. A zde ano, křížem vidíte, že můžu zkrátit 14 a 7. Takže ze 7 zbyde 1 po vykrácení a 14/7 jsou 2. Tedy co je toto krácení? No já vydělím obě dvě čísla jejich největším společným dělitelem, a ten je tady v tom případě sedmička. Takže sedm děleno sedmi je jedna, čtrnáct děleno sedmi jsou dva. No a nyní, když provedu to násobení, tedy pět krát dva je deset a jedna krát tři jsou tři. Takže v tu chvíli už vlastně se blížíme tomu našemu kýženému stavu, že máme jeden zlomek v čitateli a jeden zlomek ve jmenovateli a budeme je moci vydělit. 9 plus 16 je 25/12 a zde máme 10/3 ve jmenovateli. A teď, protože to je náš první příklad v tomhle mikrokurzu, tak já to ještě napíši s tím dělením. Příště si ukážeme, že to rovnou přepíšeme do násobení. To znamená, co teď vlastně říkám. 25/12 říká, že musíme vydělit, což je tahleta zlomková čára, deseti třetinami. A teď si vzpomeneme na to, co víme o dělení zlomků, že zlomky dělíme tak, že tedy násobíme zlomkem převráceným. Tedy já 25/12 vynásobím třemi desetinami. No a zase platí, že než zlomky vynásobím, podívám se, jestli je můžu vykrátit, no a mohu je vykrátit velice hezky. Vidíme, že společný dělitel 25 a 10 je 5, tedy řeknu si 25 děleno 5 je 5, 10 děleno 5 jsou 2. Pro 3 a 12 je ten společný dělitel 3. Tedy vydělím 3, dostanu 1, vydělím 12 třemi a dostanu 4. No a já tady začnu takhle na nový řádek. A tedy ten součin, jo, dělám 5 x 1 je 5, a 4 x 2 je 8. 5/8 je výsledek té úpravy tohoto našeho složeného zlomku. Já doufám, že je to jasné.

Máme tady příklad druhého mikrokurzu, opět složený zlomek a tentokrát už je trošičku těžší. Asi jste si všimli, že teď už máme ve jmenovateli dole 3 zlomky a ještě je tam nachystaná taková past. To znamená, zkuste se zamyslet, co asi může způsobovat chyby a trápit některé z vašich kolegů, studentů, když tenhle příklad řeší. Já se k tomu dostanu, ale nyní začnu řešit. Takže se tedy budu věnovat čitateli. Vy už víte, že tady se nic krátit nesmí. Máme tady mínus, to znamená, společný jmenovatel jednoznačně 14, děleno sedmi jsou 2 x 6 je 12, -14 děleno 14 je 1 x 9 je 9. Tak, no a teď se dostávám k té pasti. Kde je ten problém? Tady tyhle dva zlomky vypadají hrozně lákavě k tomu, abych je sečetl. Vypadají, ale nemohu je sečíst. Vy dobře víte, že násobení a dělení má přednost před sčítáním a odčítáním. Dejte si na to pozor, u přijímacích zkoušek Cermat vás tohle velice rád takhle používá v podobných tvarech, tak aby nalákal ty, kteří nejsou tak zkušení a udělali tu chybu. Vy to ale neuděláte. Tedy opíšete si 8 sedmin, to musí počkat, a vyřešíme si to dělení. Tedy my budeme mít 6 sedmin a vynásobíme zlomkem převráceným, to znamená dvěma třetinami. Tak. A nyní provedeme krácení, tedy trojkou, to znamená, zde budeme mít jedničku a zde dvojku. Tak, napíšu rovná se. 12 - 9 to jsou 3 čtrnáctiny, máme v čitateli. 8/7 zůstává a provedeme to násobení, teď součin. A máme 2 x 2 = 4 a 7 x 1 = 7. To znamená, půjde to krásně sečíst, protože máme stejného společného jmenovatele a můžeme napsat, že to jsou 3/14 / 12/7. A teď už provedu to, co jsem už říkal minule, že to nebudu zapisovat jako dělení, ale rovnou to napíšu jako násobení. Takhle udělám tady druhý řádek. A budou to tedy 3/14, ale pozor, že zlomky dělíme tak, že tohle je to dělení, a zlomkem převráceným, tedy budu mít 7/12. Všimněte si, 12/7 převrácený na 7/12. Tady je děleno, tady je krát, já myslím, že je to jasné. A nyní ze 14 a 7 budu mít teda 2 a 1 po vydělení 7, a ze 3 a 12 po vydělení 3 budu mít 1 a 4. 1 x 1 = 1 a 2 x 4 = 8. Tedy náš výsledek, správný tohoto složeného zlomku, je 1/8. Znovu zdůrazňuji těch několik pravidel. Dejte si pozor na pořadí těch operací a myslím si, že zbytek byl asi zcela jasný. Tak.

Tak, přátelé, pokračujeme v našem mikrokurzu. Máme příklad 3, je to opět složený zlomek. Tentokrát už vidíme, že možná se nám to aspoň ve vašich očích třeba trošku zase ztížilo, tím, že máme tady závorku v čitateli a ještě děleno, takže musíme udělat nějaký součin, nějaké násobení. Vy zase víte, že ty závorky mají přednost před sčítáním a odčítáním a tedy i před násobením a dělením samozřejmě. To znamená, my si nejdříve spočítáme tu závorku a potom vydělíme. Tady dole si uděláme ten součin rovnou, možná si to předtím vykrátíme a uvidíme, co nám z toho vyjde. Udělám zlomkovou čáru. A to hlavní, co tady musíte dodržet a nad čím přemýšlet, je, že spočítám si závorku jako první. Udělám si společného jmenovatele pro tento rozdíl. To znamená, že společný jmenovatel bude 4, 4/4 je jedna, krát 3 jsou tři, mínus, 4/2 jsou dva, krát jedna jsou dva. Tak, a já už si to tady rovnou napíši jako krát a převrátím ten zlomek. To znamená krát dvě třetiny, zlomek převrácen. Tady dole vidíte, že máme celé číslo, krát zlomek. Já si tady takhle jako představím, aspoň, a klidně si to takhle dopište, jo, u těch přijímaček, to vůbec nevadí, tu jedničku dole, abyste krásně viděli, že máte čitatel, dvojku, a tady vlastně křížem máte proti osmičku ve jmenovateli, to znamená tu dvojku s tou osmičkou můžete zkrátit dvěma. Společný dělitel, to znamená máme jedna a čtyři. A vlastně v tu chvíli máte ten součin hotový, protože je to pět čtvrtin krát jedna, že jo? To znamená píši pět čtvrtin. Tak, já doufám, že je to jasné tohle. Zde si tedy dopočtu ten rozdíl, to znamená, mám 1/4 krát, že jo, byl 3 - 2, to znamená jednou čtvrtinu, a 2/3. A v tom jmenovateli mám tedy 5/4. Tak. No a už se blížíme, to znamená, vykrátím si dvojku a čtyřku, takže tady budu mít jedničku a dvojku. A mohu provést to násobení, ten součin, jedna krát jedna je 1, a 2 x 3 je 6, v tom jmenovateli mám 5/4. No a už jsme zase v tom kýženém stavu, že máme zlomek v čitateli, zlomek v jmenovateli, a můžeme je vydělit, tedy dá se říct, že zlomek 1/6 vynásobíme převráceným zlomkem čtyřmi pětinami. Ukážu, to znamená, jedna šestina bude krát 4 pětiny. Tak a zase vidíte, jako před každým násobením, dodržuji to, že vykrátím, to znamená dvěma to půjde, máme dva a máme tři. Tedy dostal jsem 1 krát 2 jsou 2, 3 x 5 je 15. To je výsledek 2/15. Než půjdete na další příklad, ujistěte se, že ten váš výsledek je v základním tvaru. A ano, 2 a 15 už zkrátit nepůjdou, to znamená, že máme výsledek v základním tvaru, můžeme ho podtrhnout a jít řešit další příklad.

Tedy pokračujeme k příkladu čtyři našeho mikrokurzu o složených zlomcích. Máme tady další nový příklad. Asi když se na to díváte, vidíte, že tady budeme pravděpodobně krátit, protože jinak bychom dostali velká čísla. To znamená, vždy se snažte před tím násobením, přátelé, krátit. Hrozně vám to usnadní život. Spoustu chyb, které vídám v kurzu, plynou z toho, že studenti nekrátí. Pak dostanou příliš velká čísla a už je často pozdě, protože to krácení už pak jim jde jako ztěžka s těmi velkými čísly. My se tady podíváme na toho čitatele a vidíme, že 27 je násobkem devítky, že jo, 3 x 9 je 27. To znamená, devítka je jejich společný dělitel a vydělením 27 devíti dostanu 3, 9 / 9 je 1. 28 a 2 půjde alespoň zkrátit dvěma, že jo, společný dělitel je 2, to znamená, zde bude jednička a 28/2 je 14. Tak, to znamená, protože tady jsem dostal jednu jedninu, tak vlastně mám spočítaného toho čitatele, to znamená, mám 3 čtrnáctiny, a zbývá mi tady spočítat toho jmenovatele. Jedničku, jak už jsem říkal v tom minulém příkladě, takhle si představím nebo připíšu dolů tu jedničku a udělám si společného jmenovatele pro jedničku, trojku a sedmičku. Vidíte sami, že nám nezbyde nic jiného než 3 x 7 je 21. Tedy napíšeme 21. A nyní vlastně všechny ty zlomky rozšíříme na zlomky s jmenovatelem 21. Tedy 21/1 je 21 x 1 je 21. Asi všichni souhlasíte, že 21/21 je jednička. Máme jedničku. Dám mínus, 21/3 je 7 x 5 je 35, takže budu mít 35. 21/7 = 3 x 2 je 6, takže budu mít +6. A nyní zase napíši rovná se, v čitateli opíši 3 čtrnáctiny. A teď vlastně mi zbývá, že jo, zde opíšu 21, a zbývá mi spočítat 21 - 35, tak to vidíme, že je tedy -14, a -14 + 6 máme -8. To znamená, že máme -8/21. Tak, a teď tedy napíšu rovná se a opět už jakoby dělím 3/14 / -8/21. Nezapomeňte na znaménka. Častá chyba je v tom, že vám někde to mínus ztratíte, že jo? Prostě vám někde vypadne. Kontrolujte si výsledek, je jasný, že bude záporný, protože zde mám kladné číslo, zde mám záporné číslo. To znamená, píšu 3/14 x (-21/8). Často se mě někdy ptáte, proč vlastně tady ta závorka. Ta závorka je tady proto, aby vlastně jakoby oddělila to krát od toho mínus. Jo? Protože pak by to vypadalo jak zmatek, kdybychom to neměli nějak oddělené. To znamená, je to jen kvůli tomu mínusu, jinak to nic nemění. To znamená, my teď vidíme 3 s 8, zkrátit nemůžeme, ale vidíme, že pro 14 a 21 máme společného dělitele číslo 7. To znamená, zde dostaneme 2 a zde dostaneme 3. To znamená, 3 x 3 je 9, -9 a 2 x 8 je 16. Tedy máme mínus, já to takhle zvýrazním, -9/16. To dvakrát podtrhneme, je to v základním tvaru, zkrátit to nejde. Teď mě napadá, ještě zase někdy se mě studenti ptají, jestli záleží na tom, jestli výsledek napíší jako -9/16 nebo jako -(9/16). V tom výsledku je to jedno. Oba ty výsledky budou brány jako správné. V zásadě rozdíl v tom, abyste tomu rozuměli, je to, že zde vlastně říkáme, že máme číslo -9 a dělíme ho číslem kladným 16. A zde máme -1 x kladných 9 / kladných 16. Nicméně víte, že cokoliv, když kladné číslo vynásobíme -1, tak je zase záporné. To znamená, oba dva ty výsledky jsou záporné, oba dva jsou shodné. Nezáleží, jestli to mínus v testech u Cermatu napíšete před tu devítku, jako já třeba tady, anebo před ten zlomek.

Takže máme příklad 4 našeho mikrokurzu. Pokračujeme k dalšímu příkladu našeho mikrokurzu. Máme tady opět složený zlomek. Když se na něj podíváte, mělo by vás napadnout následující. To násobení má přednost, tedy rozhodně první budu násobit, potom přičtu, tady sečtu a výsledky potom vydělím. Další věc, co by vás mohla napadnout, je, že zde mám kombinaci zlomku a desetinného čísla, zde vidím ve jmenovateli stovku, bude pravděpodobně výhodné si tady zapsat to desetinné číslo také zlomkem. Uvidíme, jak to dopadne. Tak pojďme na to. Takže, to naše násobení, zase už poněkolikáté, tady připisuji takhle jedničku. A jak jsme si říkali, stojí za to krátit. Pokud můžete, kráťte. Rozumím, že vidíte, že pětka a stovka mají společného dělitele pětku, to znamená, zde napíšu jedničku a zde napíšu dvacet. Proč? Protože pětkrát dvacet je sto. Vidíte, jak jsem si usnadnil život. Místo 35 setin já mám najednou jenom 7/20. Je to hezčí mnohem. Zde mám tu jednu setinu. Už tak to slyšíte, jedna setina. To znamená, já jsem to mohl napsat jako jednu setinu. To znamená, já to ještě jenom napíši takhle, aby to bylo vidět. Takže máme sedm dvacetin, to je výsledek z toho násobení, z toho součinu. A zde budu tedy přičítat jednu setinu. Zde musím sečíst, takže opět budu mít společného jmenovatele, ten bude tedy dvacet pět. Dvacet pět děleno pěti je pět krát dva je deset plus a 25/25 je 1 x 2 je 2. Já doufám, že je to jasné, jak to rozšiřujeme ty zlomky. A nyní tedy. Když se dívám do čitatele, tak společný jmenovatel bude 100. 100 / 20 je 5 x 7 je 35. Trochu vidíte, že jsem těm 35 neutekl. Je to tak, ale myslím si, že to, abyste se naučili tu praxi krátit, stojí za to, i když tady vidíte, že ta setina mě přinutila se zase vrátit zpátky na tu stovku, takže ano, ten z vás, kdo si říká, že on vlastně nic neušetřil tady tímhletím, tak má pravdu. Ale patří to k takové dobré zavedené praxi, prostě krátit, když můžeme. To znamená, jsem zpátky na 35 setinách a přičtu jednu setinu. Zde mám dvanáct dvacetin pětin, a tedy mám třicet šest setin, a mám krát, že jo, dvacet pět dvanáctin. No a teď vidíte, že budeme velice krátit, jo, protože jinak bychom dostali obrovská čísla a to nechceme. Tedy 25 a 100, vidíme, že máme 1 a 4, a 12 a 36, tedy máme 1 a 3, protože 12 je v 36 třikrát. No a tím pádem máme spočítáno, protože 1 krát 3 jsou 3, a 4 x 1 jsou 4, tedy výsledek příkladu jsou 3/4. To znamená, vidíte, že ta úprava i takhle jako poměrně, nechci říct hrozně vypadajícího, ale složitě vypadajícího zlomku, složeného zlomku není těžká, pokud budete dodržovat ta základní pravidla, o kterých jsme si v tomto mikrokurzu říkali. To je pro dnešek všechno. Já vám děkuji za pozornost a těším se na viděnou u některého dalšího mikrokurzu anebo dokonce u některého z našich kompletních kurzů. Mějte se hezky, přeji krásný den a hlavně přeji hodně úspěchů u přijímacích zkoušek. Na shledanou!