Tahák z matematiky pro 9. třídu k přijímačkám
Shrnutí matematiky pro 9. třídu v jednom PDF. Zdarma.
- 12 KAPITOL, 60 stránek
- Doporučené postupy řešení úloh
- Nejčastější chytáky v CERMAT testech
- Přehledně vysvětlené základy matematiky
Ochutnávka z e-booku
Vybrali jsme pro vás 3 klíčová témata, která v testech dělají problémy.
Základní početní operace a zlomky: Jak nechybovat
Statistiky ukazují, že zbytečné chyby v prioritách operací stojí žáky cenné body. Pojďme to napravit.
1. Pořadí početních operací
Matematika má přísná pravidla. Postupujte vždy v tomto pořadí:
( ) pak [ ] pak { }
Přednost před sčítáním!
Zleva doprava
Typový příklad:
$$ 3 \cdot 8 - 4 \cdot 2 + 8 + 3 $$Tento postup je špatně!
Správný postup (nejdříve násobení):
$$ \underbrace{3 \cdot 8}_{24} - \underbrace{4 \cdot 2}_{8} + 8 + 3 $$ $$ 24 - 8 + 8 + 3 = 27 $$Radek radí:
- Podtrhávejte si: V dlouhém příkladu si tužkou podtrhněte násobení a dělení.
- Závorky od středu: Začněte v nejhlubší závorce (srdci příkladu) a jděte ven.
2. Záporná čísla
Pamatujte na pravidla pro znaménka:
Proč je mínus mínus plus?
"Když máte 9 Kč a někdo vám odpustí (odečte) dluh (dluh je záporná hodnota) 8 Kč, proto odpuštění dluhu zapíšeme jako \( -(-8) \), je to stejné, jako by vám 8 Kč dal."
$$ 9 - (-8) = 9 + 8 = 17 $$
3. Zlomky
A) Sčítání a odčítání
Musíte najít společného jmenovatele.
Společný jmenovatel je 30:
$$ \frac{50}{30} + \frac{36}{30} - \frac{15}{30} = \frac{71}{30} $$B) Násobení
Násobíme čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem. Ještě předtím se ale vždy snažíme krátit křížem.
Zkrátíme křížem (4 a 6 dělíme dvěma, 15 a 25 dělíme pěti):
$$ \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{3} $$Nyní vynásobíme:
$$ \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3} = \frac{10}{9} $$C) Dělení
Dělení převedeme na násobení tak, že druhý zlomek převrátíme (prohodíme čitatele a jmenovatele). První zlomek zůstává stejný.
Otočíme druhý zlomek a změníme znaménko na násobení:
$$ \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{14} $$Zkrátíme křížem (7 a 14 sedmičkou, 3 a 9 trojkou) a vypočítáme:
$$ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} $$D) Složený zlomek
Složený zlomek chápeme jako dělení. Vnější členy násobíme spolu (jdou do čitatele) a vnitřní členy spolu (jdou do jmenovatele).
Převedeme na klasické dělení:
$$ \frac{2}{5} : \frac{3}{10} = \frac{2}{5} \cdot \frac{10}{3} $$Zkrátíme a dopočítáme:
$$ \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} $$E) Řešený příklad (Kombinace operací)
U tohoto příkladu musíme dodržet přednost operací. Nejdříve vypočítáme závorku, až poté násobíme.
1. Vyřešíme závorku. Společný jmenovatel pro 4 a 6 je 12:
$$ (-3) \cdot \left( \frac{9}{12} - \frac{10}{12} \right)= $$2. Odečteme zlomky v závorce (9 mínus 10 se rovná -1):
$$ (-3) \cdot \left( -\frac{1}{12} \right)= $$3. Vynásobíme. Mínus krát mínus dává plus. Trojku si můžeme představit jako zlomek 3/1:
$$ \frac{3}{1} \cdot \frac{1}{12} = \frac{3}{12}= $$4. Výsledek zkrátíme třemi:
$$ \frac{1}{4} $$Tip: Desetinná čísla
Desetinná čísla převádějte na zlomky. Lépe se s počítá s \( \frac{3}{5} \) než s 0,6 a hlavně zlomky můžete krátit.
Pozor: Výsledek vždy kraťte na základní tvar! (\( \frac{5}{2} \), ne \( \frac{10}{4} \)).
Složené zlomky a slovní úlohy: Jak na ně vyzrát
Druhá lekce řeší dva časté problémy: jak se nezamotat ve složitých zlomcích a jak u slovních úloh jednou provždy pochopit rozdíl mezi Dělitelem a Násobkem.
1. Složené zlomky krok za krokem
Nejčastější chybou není neznalost, ale zbrklost. Složený zlomek musíte "loupat jako cibuli" – od vnitřku ven.
Typový příklad:
$$ \frac{\frac{1}{2} - (\frac{9}{4} - \frac{1}{6})}{19}= $$Krok 1: Vyřešíme závorku v čitateli
Najdeme společný jmenovatel pro 4 a 6 (to je 12):
Krok 2: Dosadíme zpět a upravíme čitatele
$$ \frac{1}{2} - \frac{25}{12} = \frac{6}{12} - \frac{25}{12} = -\frac{19}{12} $$Krok 3: Vyřešíme složený zlomek
Nyní máme v čitateli \( -\frac{19}{12} \) a ve jmenovateli \( 19 \) (neboli \( \frac{19}{1} \)). Složený zlomek přepíšeme na dělení:
Krok 4: Zkrátíme a máme výsledek
Devatenáctky se vykrátí (zbydou jedničky):
Typový příklad:
Tento příklad vypadá strašidelně, ale stačí dodržet pravidlo: Vypočítej zvlášť čitatele (vršek) a zvlášť jmenovatele (spodek). Teprve nakonec je dáme dohromady.
$$ \frac{ \frac{5}{9} - \frac{3}{2} : \frac{3}{5} }{ \frac{2}{3} + \frac{1}{6} - \frac{7}{12} } $$1. Čitatel (vršek): Pozor na přednost operací! Dělení má přednost před odčítáním. Dělení zlomkem 3/5 převedeme na násobení zlomkem 5/3 a zkrátíme trojky:
$$ \frac{3}{2} : \frac{3}{5} = \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{2} $$Teď odečteme (společný jmenovatel pro 9 a 2 je 18):
$$ \frac{5}{9} - \frac{5}{2} = \frac{10}{18} - \frac{45}{18} = -\frac{35}{18} $$2. Jmenovatel (spodek): Najdeme společného jmenovatele pro 3, 6 a 12, což je 12:
$$ \frac{8}{12} + \frac{2}{12} - \frac{7}{12} = \frac{3}{12} $$Výsledek jmenovatele zkrátíme na 1/4.
3. Celkový výpočet: Dosadíme výsledky zpět do složeného zlomku a převedeme na dělení:
$$ \frac{ -\frac{35}{18} }{ \frac{1}{4} } = -\frac{35}{18} : \frac{1}{4} $$4. Otočíme druhý zlomek, zkrátíme (18 a 4 dělíme dvěma) a vynásobíme:
$$ -\frac{35}{18} \cdot \frac{4}{1} = -\frac{35}{9} \cdot \frac{2}{1} = -\frac{70}{9} $$Radek radí:
- Finta s jedničkou: Kdykoliv vidíte ve složeném zlomku osamocené celé číslo, hned si hoepište jako zlomek s jedničkou ve jmenovateli. Zabráníte chybám při otáčení.
- Smíšená čísla: Vidíte \( 1\frac{1}{4} \)? Okamžitě převést na \( \frac{5}{4} \)! Nikdy nepočítejte přímo se smíšenými čísly.
Převod smíšeného čísla na zlomek
Když počítáme se smíšenými čísly, nejlepší je převést je na nepravý zlomek. Děláme to "do kolečka": Celé číslo vynásobíme jmenovatelem a přičteme čitatele.
$$ 2\frac{3}{5} $$Jmenovatel (5) zůstane stejný. Do čitatele vypočítáme: 2 krát 5 plus 3.
$$ \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} $$Vynásobíme a sečteme:
$$ \frac{10 + 3}{5} = \frac{13}{5} $$2. Slovní úlohy: Dělitel, nebo Násobek?
Zapomeňte na složité definice. Ptejte se selským rozumem: Co se v té úloze děje?
NSD = ROZDĚLUJI
Mám něco velkého (tyč, pozemek) a chci to naporcovat na stejné kousky.
NSN = POTKÁVÁM SE
Něco běží dokola (autobusy, kola). Hledám čas v budoucnosti, kdy se to zase sejde.
Příklad A: Rozřezání desky (Klasické NSD)
"Máme desku 120 cm a 220 cm. Chceme ji rozřezat na co největší čtverce."
Úvaha: Řežu na menší kousky -> Hledám Dělitel.
Rozklad na prvočísla:
$$ 120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 $$ $$ 220 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 11 $$Výpočet NSD (Jen to, co tvoří dvojice):
V obou řádcích vidíme dvě dvojky a jednu pětku.
Příklad B: Autobusy (Klasické NSN)
"Jeden jede po 15 min, druhý po 20 min. Kdy se znovu potkají?"
Úvaha: Čas běží dál, hledám budoucnost -> Hledám Násobek.
Rozklad na prvočísla:
$$ 15 = 3 \cdot \mathbf{5} $$ $$ 20 = 2 \cdot 2 \cdot \mathbf{5} $$Výpočet NSN (Spáruj a přidej zbytek):
- Vidíme, že pětka je v obou řádcích. To je "pár", započítáme ji jen jednou.
- Všechna ostatní čísla (sirotci) opíšeme tak, jak jsou (3, 2, 2).
Pozor na slovíčkaření!
V testech je často chyták: "Na jaký nejmenší počet dílů musíme rozřezat tyč?"
Studenti vidí slovo "nejmenší" a začnou počítat nejmenší násobek. To je chyba! Použijte logiku: Abych měl co nejméně kousků, musí být ty kousky co největší. Takže i když se ptají na "nejmenší počet", počítám Největší Společný Dělitel (NSD).
Mocniny, odmocniny a úpravy výrazů
V této lekci se zaměříme na přesnost. Jediné zapomenuté znaménko nebo špatně použitý vzorec může změnit výsledek celého příkladu. Ukážeme si pravidla, jak postupovat správně.
1. Kam patří mínus?
Zásadní rozdíl je v tom, zda se mocnina vztahuje i na znaménko, nebo jen na číslo. Porovnejte tyto dvě situace:
Mocnina se týká pouze čísla 3.
Výpočet: \( -(3 \cdot 3) = -9 \).
Mínus pouze opíšeme.
Mocnina se týká i znaménka.
Výpočet: \( (-3) \cdot (-3) = +9 \).
Mínus krát mínus dává plus.
Typový příklad:
$$ -4^2 \cdot 2 $$Postup: Mocnina má přednost před násobením. Protože mínus není v závorce, umocníme pouze čtyřku:
$$ -16 \cdot 2 = -32 $$2. Operace se stejným základem
Pokud je číslo dole (základ) stejné, můžeme si práci zjednodušit prací s exponenty (čísla nahoře).
Základ opíšeme, exponenty sečteme.
Příklad:
$$ x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5 $$Základ opíšeme, exponenty odečteme.
Příklad:
$$ \frac{y^7}{y^3} = y^{7-3} = y^4 $$Pozor na mocninu mocniny
Když mocníme už umocněné číslo, exponenty násobíme.
$$ (a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6 $$Neplést s násobením! Zde je jen jeden základ.
3. Nulový a záporný exponent
Nezáleží na tom, jak složitý je výraz. Pokud je celý na nultou, výsledek je jedna.
$$ (5x^2 + 3)^0 = 1 $$Záporné znaménko nám říká: "Převrať mě do zlomku".
$$ 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} $$4. Pravidla pro odmocniny
Odmocninu si můžeme představit jako "obrácenou" mocninu. Platí zde přísná pravidla pro to, co můžeme rozdělit.
Násobení a dělení pod odmocninou můžeme "roztrhnout".
$$ \sqrt{36 \cdot 25} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{25} $$ $$ 6 \cdot 5 = 30 $$Sčítání a odčítání musíme nejdřív vypočítat!
$$ \sqrt{64 + 36} \neq \sqrt{64} + \sqrt{36} $$Správný postup:
$$ \sqrt{100} = 10 $$(Kdybychom to rozdělili, vyšlo by 8+6=14, což je chyba.)
5. Tři základní vzorce pro úpravu výrazů
Tyto vzorce nám usnadňují práci. Místo zdlouhavého roznásobování závorek můžeme použít následující pravidla.
$$ (A + B)^2 $$
- \( A^2 = (2x)^2 = 4x^2 \)
- \( 2AB = 2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x \)
- \( B^2 = 3^2 = 9 \)
$$ (A - B)^2 $$
- \( A^2 = 5^2 = 25 \)
- \( 2AB = 2 \cdot 5 \cdot 3x = 30x \) (pozor, před členem je mínus)
- \( B^2 = (3x)^2 = 9x^2 \)
$$ A^2 - B^2 $$
Vidíme stejné členy, liší se jen znaménkem. Nemusíme násobit "každý s každým".
- \( A^2 = (6x)^2 = 36x^2 \)
- \( B^2 = 3^2 = 9 \)
\( (A+B)^2 \) se nerovná \( A^2 + B^2 \)!
6. Roznásobování závorek
Pokud zadání neodpovídá žádnému vzorci, násobíme systémem "každý s každým".
Typový příklad:
$$ (x + 5) \cdot (x - 2) $$Postup:
$$ x \cdot x - 2 \cdot x + 5 \cdot x - 5 \cdot 2 $$ $$ x^2 - 2x + 5x - 10 $$Sloučíme členy s \( x \):
$$ x^2 + 3x - 10 $$Radek radí: Mínus před součinem závorek
Velký pozor, pokud máte mínus před násobením dvou závorek! Nejbezpečnější je mínus opsat, otevřít velkou hranatou závorku, v ní v klidu roznásobit závorky a teprve nakonec změnit znaménka.
❌ Častá chyba:
$$ -(x+2)(x-3) $$Student se snaží udělat vše najednou nebo "vstrčí" mínus a změní jenom první člen....
$$ (-x+2)(x-3) = -x^2... $$A už to máme špatně...
✅ Radkův bezpečný postup:
$$ -(x+2)(x-3) $$1. Mínus opíšeme a uděláme "ohrádku":
$$ -[x^2 - 3x + 2x - 6] $$2. Zjednodušíme vnitřek:
$$ -[x^2 - x - 6] $$3. Teď pustíme mínus dovnitř (otočíme všechna znaménka):
$$ -x^2 + x + 6 $$Líbí se vám styl vysvětlování? V e-booku toho najdete 10x tolik.
Stáhnout celý e-book zdarma